另辟捷径求最值

<正>在解决一些求最值问题时,若利用常规的方法求解,有时过程繁琐,甚至无从下手,但若挖掘与其它知识之间的联系,以相关的知识作为桥梁,很多问题就可以迎刃而解了.例1求函数t=(1-10~(1/2)sinα)/(3+cosα)的值域.解(利用直线和圆的位置关系)原函数变形为槡10~(1/2)sinα+tcosα+3t-1=0,则点(sinα,cosα)在直线槡10~(1/2)x+ty+3t-1=0上,又该点在圆x2+y2=1上,则问题转化为直线槡10x+ty+3t-1=0和圆x2+y2=1有交点,     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

一道习题的启示

题目椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于M、N两点,且OM⊥ON,则必有1/a2+1/b2=2.下面给出一种比较简单的证法.证明不妨设M(r1cosθ.r1sinθ),N(r2cos(θ+π/2),r2sin(θ+π/2)),则由M、N在椭     

参数几何意义的选择题

1 直线l的参数方程为{x=-1+1/2t,y=2-3(1/2)/2t}。 M_0(-1,2)和M(x,y)分别为l上的定点和动点,则t的意义是 (A)M_0m,(B)MM_0,(C)|M_0M|。 2 设点M(4cosθ,3sinθ)是椭圆x~2/16+y~2/9=1在第一象限的点。∠MOX=a、且a、θ为锐角,则有     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

2006年上海市高考数学模拟试卷

一、填空题(本大题满分48分)1.若集合M={x|x2 5x=0},N={x||x|≤3},则M∩N=.2.若tgα·cosα<0,且ctgα·sinα>0,则α是第象限角.3.若α、β是方程x2-x 6=0的两个根,则|α|2 |β|2=.4.设a→、b→是平面内的两个向量,若|a→|=|b→|,则(a→ b→)·(a→-b→)=.5.若函数f(x)=sinωx-sinωx 3π(ω>0)的周期是2π,则ω=.6.(理)在极坐标系中,点A2,2p到直线ρcosθ-ρsinθ=0的距离是.(文)圆x2 y2-8x 12=0上一动点到点P(0,3)的距离最大值是.7.(理)若二项式x-1a5的展开式中的第二项等于-20a(a为大于零的常数),则x=.(文)某工程的工序流程图如图(工…     

配凑二项平方和,巧解三角问题

配方法是广大同学非常熟悉的数学思想方法,但解题时,很多同学都不习惯于配凑二项的平方和,使配方法的作用大打折扣.下面结合一些三角问题,举例说明配凑二项平方和在解题中的应用.1　求值已知sinθ+cosθ=2 ,求log12 sinθ·log12 cosθ之值.解　由sinθ+cosθ=2 ,有2sinθ+2cosθ=2 ,即sinθ- 222 +cosθ- 222 =0 ,∴sinθ=22 ,cosθ=22 .故　log12 sinθ·log12 cosθ=14 .例2　已知α,β为锐角,且cosα+cosβ-cos(α+β) =32 ,求α,β之值.解　由已知,得4cos2 α+β2 - 4cosα+β2 cosα- β2 +1=0 ,即　2cosα+β2 -cosα- β22 +sin2 α…     

2003年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学(理工农医类)试题及参考解答

一、填空题 (本大题满分 48分 )1 .函数 y =sinxcos x +π4 +cosxsin x +π4 的最小正周期 T =.2 .若 x =π3是方程 2 cos(x +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =.3.在等差数列 { an}中 ,a5=3,a6=- 2 ,则 a4+a5+… +a1 0 =.4.在极坐标系中 ,定点 A 1 ,π2 ,点 B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动 ,当线段 AB最短时 ,点 B的极坐标是 .5.在正四棱锥 P - ABCD中 ,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,则异面直线 PA与 BC所成角的大小等于 .(结果用反三角函数值表示 )6.设集合 A ={ x |x|<4} ,,B ={ x|x2 - 4 x+3>0 } ,则集合 { x|x∈ …     

上海市1991年高三年级数学竞赛试题

第一试 (1991年4月7日,上午8:30-10:30) 本试卷共20题,每题6分,满分120分。各题只要填写最后的结果,不必写出中间过程。 1.在(1 x)~n的二项展开式中,若第9项系数与第13项系数相等,则第20项系数为_____. 2.已知集合P={(x,y)|x=sinθ cosθ,y=sin20,0∈R},Q={(x,Y)}x-y 1=0},则用列举法表示P∩Q=__ 。 3.已知p≠0 ,cos(a β)=p 1/2p~2,cos(a-β) =P-1/2p~2,则用p表示tgatgβ=__。 4.已知每项都是正数的无穷等比数列各项的和是5,首项a∈N,则公比9最小的可能值为__。 5.已知sinθ cosθ=2~(1/2),则(log1/2sinθ)(logzcosθ)的值为__。     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

一类含三角函数的初等函数取值范围问题的图象解法

一类求在给定条件下三角函数式的取值范围问题 ,已有多篇文章论及 (参见文〔1〕〔2〕〔3〕) ,但美中不足的是文中未给出如何揭示隐含条件以避免误解 .笔者发现这类问题通过构造合适的直线或圆锥曲线能充分揭示隐含条件 ,正确求解 .例 1　已知 sinα 2 cosβ=2 ,求 2 sinα cosβ的取值范围 .解　设 x=sinα,y=cosβ,t=2 sinα cosβ则有 x 2 y=2 ,2 x y=t( |x|≤ 1,|y|≤ 1) .t的取值范围即线段 x 2 y=2与平行线段 2 x y=t( 0≤ x≤ 1,12 ≤ y≤ 1)相交时 ,2 x y=t在 y轴上截距的取值范围 .由图 ( 1)易得 :当 2 x y=t通过点 B( 1,12 )时 ,t…     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

用三角代换解一类不等式问题

例1已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求ax+by的范围。解通过观察已知的条件我们不难发现:则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).由于-1≤cos(α-β)≤1,所以-1≤ax+by≤1.本题会出现许多的变式:变式1a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=9,求abcd最大值和ac+bd的最小值.变式2若x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的值域.     

考点14 三角函数的最值及应用

1.(全国卷,7)当0相似文献   

利用点重合巧解题

众所周知,点P(a,b)与Q(c,d)重合的充 要条件是a=b且b=d,利用这一条件解某些 数学问题,可以收到出奇制胜的效果,请看两 例. 例1 设n∈N且sinα+cosα=-1,求 sinnα+cosnα的值. 解 易知点P(sinα、cosα)既是直线x+y, =-1上的点又是圆x2+y2=1上的点,而该 直线和圆的公共点只有A(0,-1)和B(-1,0) 两点,所以点P与点A或点B重合,从而有     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

一道立体几何题的两个拓展结果

题目:设α-l-β是锐二面角,点A∈α,点B∈β,直线AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,点A,B到棱l的距离分别是d1和d2,则d1:d2,等于()(A)cosθ1/cosθ2(B)cosθ2/cosθ1(C)sinθ1/sinθ2(D)sinθ2/sinθ1重新审视这道题会得到以下结论命题1设二面角α—l—β的平面角是θ,点A∈α,点B∈β,AB=a,直线AB与α、β所成的角分别是θ2和θ1,点A、B到棱l的距离分别