让学生走上讲台

问题在平面直角坐标系中,已知A(1,1),B(3,3),试在x轴的正半轴上找一点P使∠APB最大.解设P(x,0)(x>0),∠APB表示直线PB到直线PA的角,大小为θ,如图1.当x≠1,x≠3时,而kPA=1-1x,kPB=3-3x,tanθ=1k PAk-PAkkPPBB=x2-24xx 6=2x 6x-4≤262-4=62 2,当且仅当x=6时,∠APB最大值为arctan     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

一道高考题的解及其探究

<正>题目(2015年全国卷(新课标Ⅱ)第23题:选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,曲线C_1:x=tcosα y=tsinα(t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C_2:ρ=2sinθ,C_3     

给学生一个广阔思维空间,让他们自由去创造

题如图1,在y轴正半轴上给定两点A(0,a),B (0,b),(a>b>0),点C(x, 0)为x轴正半轴上的动点．试确定点C位置,使∠ACB取最大值．教师进行讲解时,想尽可能多给学生一点时间,让学生畅所欲言,收到了意想不到的效果．课后     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

对八六年一道高考试题的解法探讨

在这篇短文里,我们对一九八六年高考第五题的解法进行一些探讨,并寻找讨论该题的更一般情形。题;如图,在直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值。解法1 设点A(0,a)、B(0,b)(a>b>O) C(x,0)(x>O) ∠ACB∈(0,π/2) ∵ k_(CB)=-b/x,k_(CA)=-a/x。     

综合题新编选登

题149已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).1)若△ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;2)若∠A=π2,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.解1)设B(x1,y1),C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0),于是有x1220 y1216=1,x2220 y221     

一道课外练习题的简单解法

<正>《中学生数学》2014年第10期《课外练习题》初三年级的第2题为:如图正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=8/x(x>0)的图像上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y=8/x(x>0)的图像上,顶点A2在x轴的正半轴上,且     

一道高考题的溯源与引伸

1986年全国高考数学试题(理)第五题、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、β,试在x轴的正半轴(坐标原点除外),求点C,使∠ACB取得最大值(下面简称原题)。原题紧扣教学大纲,不偏不怪,体现了基础知识、基本技能的结合,实属一道好题。一溯源观其形,原题实际上是“在已知直线上找一点到已知直线外的定线段成最大张角”的一道人所熟知的平面几何命题。如图1,事实上,延长AB交定直线1于O,过A、B 作⊙~0＇相切于1的一点C,则C点即为所求。否则,在l上另取任意一点C＇,都有∠AC＇B<∠ACB、若oA=a,OB=b,那么C点的     

Shc 93的证明

设 P是△ ABC内任意一点 ,△ BPC、△ CPA、△ APB的外接圆半径分别为 Ra、Rb、Rc、∠ A、∠ B、∠ C的内角平分线分别为 wa、wb、wc,相应边上的中线分别为 ma、mb、mc.∑ 表示对 a、b、c循环求和 .刘健在文 [1 ]中提出了如下猜想 :Shc93　∑ Rama wa≥ 1 ( 1 )本文证明猜想不等式 Shc93成立 .先给出下面两个引理 :引理 1 [1] 　设 P是△ABC内任意一点 ,记∠ BPC=α,∠ CPA=β,∠ APB=γ,则有tan A2sinα tan B2sinβ tan C2sinγ≥ 2 ( 2 )引理 2　 ma wa≤acot A2 ,a2 ,当 A≤π- arccos13时 ;当 A≥π- arccos13时 .(…     

两角和正切公式与韦达定理

在两角和正切公式中有tanα+tanβ与tanαtanβ,而韦达定理中有两根和x1+x2与两根积x1x2.由此可知两角和正切公式与韦达定理有内在联系,二者的结合点是tanα、tanβ是某一元二次方程的两根,在解题中,若能够注意到这点,能迅速找到切入点,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1已知方程x2+6x+7=0的两根为tanα、tanβ.,求证:sin(α+β)=cos(α+β).分析要证sin(α+β)=cos(α+β),可     

一对姊妹图形助你跳出“题海”——从一道中考试题谈起

<正>图1考题(2013年四川巴中)如图1,一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=m x(m≠0)的图像交于一、三象限内的A、B两点,直线AB与x轴交于点C,点B的坐标为(-6,n),OA=5,tan∠AOx=43.(1)求反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积.析解(1)∵OA=5,tan∠AOx=43,∴点A(3,4),m=12,∴反比例函数的解析式y=12x.(2)根据y=12x,得交点B(-6,-2),那么△AOB的面积可以通过割补法来计算,有下面三种基本方法:方法1由A(3,4),B(-6,-2),利用待定系数法,得直线AB的解析式:y=23x+2.     

一道八年级数学期末试题

<正>1.试题呈现(2015无锡市新区八年级期末试卷27题(2013年浙江省湖州市的中考题的改编题))如图1,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,并且∠AOBk=60°,反比例函数y=k/x(k>0)在第一象限内的图像经过点A,与BC交于点F.     

为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数

在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修(A版)》(简称“人教A版”)中,三角函数采用了如下定义(简称“单位圆定义法”):图1“如图1,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)xy叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy(x≠0).可以看出,当α=2π kπ(k∈Z)时,α的终边在y轴上,这时点P的横坐标x等于0,所以tanα=yx无意义.除此之外,对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值…     

含参数二次函数题举例

<正>含参数二次函数题是一个重要题型,形式新颖、解法灵活、技巧性强,同学们解这类题常感困难,甚至不知从何入手,为帮助同学们解决这个问题,现举几例说明.例1已知抛物线y=x²-(k-1)x-3k-2交x轴于A(α,0),B(β,0)两点,且α2-(k-1)x-3k-2交x轴于A(α,0),B(β,0)两点,且α²+2β=17,求x的值.解∵抛物线y=x2+2β=17,求x的值.解∵抛物线y=x²-(k-1)-3k-2与x轴相交于A(α,0)、B(β,0),     

一道高考题引发的思考

2010年江苏高考数学第17题某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图1,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值;(2)该小组分析若干测得的数据后,发现     

一道2020年马其顿数学赛题的证法探究

<正>1题目再现(2020年马其顿数学奥林匹克竞赛试题2题)正实数x,y,z满足xy+yz+zx=27,求证:■,并求取等条件.2基础知识三角函数恒等变换有如下一题:已知锐角α,β,γ满足α+β+γ=■,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1;反之亦然.     

考点14 三角函数的最值及应用

1.(全国卷,7)当0相似文献   

圆锥曲线特征点和线的一组性质

圆锥曲线特征点指的是焦点、顶点以及准线与轴的交点 .特征线指的是过焦点、顶点且与轴垂直的直线和准线 .经研究 ,它们有如下一组新颖有趣的性质 .定理 1　 l是经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >b >0 )长轴顶点 A且与长轴垂直的直线 ,E、F是椭圆两个焦点 ,e是离心率 ,点 P∈ l,若∠ EPF =α,则α为锐角且 sinα≤ e或α≤ arc sin e(当且仅当 | PA| =b时取等号 ) .证明　如图 1 ,不妨设 A为右顶点 ( a,0 ) ,则 l的方程为 x =a,且点 P在x轴上方 ,记点 P为 ( a,y) ( y >0 ) .由两线所成的角得 图 1tanα =k PF - k PE1 k PFk PE…     

2003年湖南省高中数学竞赛试题及参考答案

选择题 (共 6小题 ,每小题 6分 ,满分 36分 )1　设函数f(x) =logax (a >0 ,a≠ 1) ,若 f(x1x2…x2 0 0 3 ) =8,则 f(x21) + f(x22 ) +…f(x22 0 0 3 )的值等于 (　　 )(A) 4 .　 (B) 8.　 (C) 16 .　 (D) 2loga8.解　f(x21) + f(x22 ) +… + f(x22 0 0 3 ) =logax21+logax22 +… +logax2 0 0 32 =2 (logax1+logax2 +… +logax2 0 0 3 ) =2logax1x2 …x2 0 0 3 =2 f(x1x2 …x2 0 0 3 ) =16 .故选 (C) .2　如图 1,S ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥 .O为底面ABC内一点 ,若∠OSA =α ,∠OSB =β ,∠OSC =γ ,则tanαtanβtanγ的取值…