未知棱的二面角的一种求法

求二面角的大小是立体几何的一个重点和难点 ,其关键在于作二面角的平面角 ,但在实际解题过程中 ,我们常会遇到未知二面角的棱 ,仅知二面角两个面的一个交点 ,而求二面角的大小的问题 ,通常需先作出二面角的棱 ,再找平面角 ,这就增加了作二面角的平面角的难度 .这里我们介绍一个定理 ,不须作二面角的棱而可直接作出平面角 .定理　如果有两条平行直线分别在二面角图 1的两个半平面内 ,过二面角棱上的一点 ,作它们的垂线 ,则两垂线所成的角即为二面角的平面角 .利用线面平行的判定及性质和二面角平面角的定义即可证明这个结论 .如图 1 :二面角…     

二面角

二面角是立体几何的基本概念之一,是组成空间图形的重要元素．涉及二面角的度数或二面角彼此相等时,一般应先考虑它的平面角,我们可以根据定义在给定图形中找出二面角的平面角,若题设图形中没有给出,则需要根据图形的实际情况作出平面角．     

如何求作二面角的平面角

同学们在平常求解关于求二面角的大小的习题时总觉比较棘手,究其原因,主要是不知如何作出二面角的平面角。事实上,二面角的平面角大都可通过垂直关系(线线垂直,线面垂直,面面垂直)作出来,下面通过几个例题说明。     

公式S2α,C2α的联用三部曲

二倍角公式ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα与ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α ,虽然是两角和的正弦与余弦公式的特殊情况 ,但在其应用上具有高度的灵活性和交互性 .1　正向联用例 1　 ( 1998年上海高考试题 )设α是第二象限角 ,ｓｉｎα =35,求ｓｉｎ( 37π6 - 2α)的值 .解　由ｓｉｎα =35,且α是第二象限的角 ,得ｃｏｓα =- 45.∴ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα =- 2 42 5,ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 α =72 5.∴ｓｉｎ( 37π6 - 2α) =ｓｉｎ( π6 - 2α)=ｓｉｎ π6 ｃｏｓ2α -ｃｏｓ π6 ｓｉｎ2α=12 ·72 5- 32 ·( - 2 42 5…     

求二面角大小的展平法

在立体几何中,求二面角大小是高考考查线面关系最综合、最见数学功力、最能体现能力、倍受专家青睐的地方,是年年有题、卷卷有题的热点．方法灵活多变,若按作、证、算的传统方法求解其大小,入门关和拦路虎是作二面角的平面角．本文给出一个化难为易的通用方法一展平法．     

四法求解无棱二面角

众所周知,二面角既是立体几何的一个重点,也是立体几何的一个难点,难主要难在不知如何作出二面角的平面角,特别是无棱（所求二面角中两个平面没有公共棱）二面角更不知从何下手．我在学习之余收集了几个这方面的题目,并加以整理,介绍求解无棱二面角大致的几种方法,希望能对大家有所启迪．     

浅谈向量法求二面角

求二面角是立体几何中的重点和难点,也是高考中的热点问题．用以往“从形到形”推理方法,即要求学生根据提设条件,找到二面角的平面角,再由线面、线线等关系计算出结果．但对许多学生来说,掌握这种“从形到形”的推理方法比较困难．若利用向量法求二面角操作起来简单易行,学生容易接受．下面介绍利用向量法求二面角的两种解法．     

二面角概念教学后的反思

二面角是立体几何中的一个重要内容,二面角的大小是通过二面角的平面角来度量的,以下是笔者一次在引进二面角的平面角的概念时的教学情境.这是一节公开课,内容为二面角,目的是理解有关概念,掌握二面角的初步求法.上课后,在多媒体的展示下,同学们很快理解了二面角的定义,接着开始引进二面角的平面角的概念.请同学们带着问题阅读课本:二面角的平面角指的是什么?为什么这样规定?通过阅读课本,同学们很快理解了.因为从二面角棱a上的任意的点O分别在α与β内作垂直于a的射线OA与OB时,射线OA与OB组成∠AOB大小与O在棱a上的位置无关,所以我们…     

求二面角平面角的“三节棍”法

本文介绍求二面角平面角的一个向量解法——称之为“三节棍”法,用这种方法求二面角大小的思路如下：     

三面角的二面角和棱面角的计算及应用

立体几何中的角有平面角、二面角、三面角等 .在空间中 ,由自一点引出不在同一平面内的三条射线 ,以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形叫做三面角 .其中组成三面角的射线叫做三面角的棱 ;这些射线的公共端点叫做三面角的顶点 ;相邻两棱间的平面部分叫做三面角的面 ;每个面内由两条棱组成的角叫做三面角的面角 ;相邻两个面间的二面角叫做三面角的二面角 ;每条棱和相对的面所在平面所成的角叫做三面角的棱面角 .一个三面角有一个顶点、三条棱、三个面、三个面角、三个二面角和三个棱面角 .在三面角中 ,已知三个面角的大小 ,那么三个二面…     

一个公式的推广

高中立体几何中有这样一个公式:如图1,若面ADC⊥面BDC,则有:cos∠BDA=cos∠BDC×cos∠ADC①①式被广泛运用于     

求解二面角问题的基本方法

二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系 ,具有综合性强 ,灵活性大的特点 ,因此 ,一直成为高考、会考的热点 .求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类 .1　直接法直接法就是根据已知条件 ,首先作出二面角的平面角 ,再求平面角大小的方法 ,求作二面角平面角的方法主要有 :①利用定义即在二面角α -ｌ- β的棱ｌ上任取一点 ,然后在两个半平面内分别作棱的垂线ａ ,ｂ ,则这两条垂线ａ ,ｂ所成的角即为二面角的平面角 .例 1　在三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中 ,∠ＡＰＢ =∠ＢＰＣ=∠ＣＰＡ =6 0°,求二面角Ａ-ＰＢ-Ｃ的余…     

对二面角的平面角定义合理性的探究

1 问题的提出人教A版教材“必修2”对二面角的平面角是这样定义的：“在二面角α—l—β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．     

不用平面法向量求二面角的简单方法

立体几何较难的是求二面角的平面角,传统的综合法作二面角较难,空间向量的方法写起来繁,同时,求二面角的大小需要判断是锐二面角还是钝二面角,有时要依赖观察,但在复杂的立体图中,要准确判断有时是困难的．本文结合2013年高考题,给出一种不依赖于求两个半平面法向量的求二面角的方法,且计算量相对于求法向量来说也不大．     

立体几何中有关“角”的几个结论

立体几何中的角包括两条直线的夹角、两条异面直线所成的角、二面角以及直线和平面所成的角 .在立体几何中经常出现有关这些角的计算或论证问题 ,对这些问题 ,本文所给出的几个结论是非常有用的 .定理 1　如果二面角Ａ-ＰＣ-Ｂ为直二面角 ,∠ＡＰＣ =θ1 ,∠ＢＰＣ =θ2 ,∠ＡＰＢ =θ ,则ｃｏｓθ=ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 .证明　(1 )若θ1 、θ2 都是锐角 ,过Ａ在面ＡＰＣ内作ＡＤ⊥ＰＣ于Ｄ ,则ＡＤ⊥面ＰＢＣ .在面ＰＢＣ内作ＤＥ ⊥ＰＢ于Ｅ ,连结ＡＥ ,由三垂线定理 ,ＡＥ⊥ＰＢ .所以ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 =ＰＤＰＡ· ＰＥＰＤ =Ｐ…     

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法

立体几何中的求二面角大小问题,是高考重点考查内容,法向量法是求二面角大小的一种主要方法.我们知道:二面角大小与其两个平面的法向量的夹角相等或互补.但到底是相等还是互补,教学中很多师生采用直观判断,参考资料涉及此问题也回避不谈.文[1]给出了一种很好的判定方法,本文给出