再谈线性空间到欧氏空间的映射与线性映射

设 V、W是线性空间 ,本文用“VW”表示 V到 W的所有映射的集合 ,L( V)表示 V的所有线性变换的集合 ,L( VW)表示 V到 W的线性映射的集合。本文假定 V是实数域上的线性空间 ,W为欧氏空间。[1 ]证明了如下定理 :定理 1 [1] 　设σ是欧氏空间 V的一个变换 ,φ∈ L ( V)且可逆 ,则对 α,β∈ V,均有 (σα,σβ) =( φα,φβ) ,当且仅当存在 V上正交变换 T,使 σ=Tφ。[2 ]推广 [1 ]的结果得 :定理 2 [2 ]　设 A,B∈ VV( 1 )若 B可逆 ,则有 α,β∈ V,( Aα,Aβ) =( Bα,Bβ) ,当且仅当存在 V的正交变换 T使 A=TB。( 2 )若 B…     

关于线性空间到欧氏空间的映射与线性映射

文[2]推广了文[1]的全部定理,文[3]又推广了文[2]的全部定理,本文进一步推广了文[3]的全部定理,且证法简洁明快.本文约定,若V,ω是线性空间,则Vω表示V到ω的所有映射的集合,L(Vω)表示所有V到ω的线性映射的集合,L(V)表示V的所有线性变换的集合.本文总假定V是实数域上的线性空间,ω,ω1,ω2,…,ωn为欧氏空间.引理1　设A,B∈Vω,Ct,Dt∈Vωt(t=1,2,…,n),若α,β∈V有(Aα,Bβ)=∑nt=1(Ctα,Dtβ)(1)则x1,x2,…,xr,　y1,y2,...,ys∈R(r,s∈N)α1,α2,…,αr,　β1,β2,...,βs∈V,有(∑ri=1xiAαi,∑sj=1yjBβj)=∑nt=1(∑ri=1x…     

欧氏空间正交变换判别法讨论

关于欧氏空间正交变换的判別,文[2]、[3]给出如下结论,这里采用文[1]的术语与符号叙述为: 定理设σ是欧氏空间V(维数不限)的一个线性变换,则σ是正交变换的充分必要条件是,σ保持任两向量ξ与η的距离不变,即     

欧氏空间的变换是正交变换的条件

本文讨论欧氏空间的变换在什么条件下是正交变换. 文中所用术语与符号的意义同[1] 以下总设V是一个欧氏空间(维数不限). 定理1 设σ是V的一个变换.若对任意     

全矩阵环的一类基

设P是一个域,Fij(i,j=1,2,…,n)是全矩阵环Mn(P)中n2个n×n矩阵,且满足FijFkl=δjkFil(i,j,k,l=1,2,…,n),其中δij={1,i=j0,i≠j为Kronecker符号.则或者所有Fij(i,j=1,2,…,n)全为零,或者存在可逆矩阵T∈Mn(P),使得Fij=T-1EijT(i,j=1,2,…,n),其中Eij表示(i,j)位置是1,     

关于强P除环上方阵的酉相似理论的一点注记

在文[1]中定义了强p除环Ω,即满足如下条件(1)—(4)的除环Ω: (1)存在Ω的对合反自同构σ(即σ为反自同构,且σ(σ(α))=α Aα∈Ω) (2)Aα_i∈Ω,i=1,…,n(n∈N) sum from i=1 to n(α_iσ(α_i)=0 α_i=0,i=1,2,…,n)。 (3)命R={α∈Ω|σ(α)=α},则R含在Ω的中心中。 (4)Aα_i∈Ω,i=1,2,…,n(n∈N)方程x~2-sum from i-1 to n(α_iσ(α_i))=0在Ω中有且只有两解。 事实上,除了平凡的情况外,强p除环Ω就是R上的四元数除环。确切地说,我们有 定理1 设Ω为强p除环,则Ω为(1)R,(2)R+R_i或(3)R上的四元数除环。这里     

关于误差方差估计渐近正态收敛速度的上,下界

考虑线性回归模型 Y_■=x_4~′β+e_■ i=1,2,…设误差序列■,i≥1满足条件:e_■ i≥1 i.i.d.,Ee_1=0,Ee_1~2=σ~2>0,∞>Var e_1~2=τ~2>0。记■_n~2=1/(n-r){sum from j=1 to n e■-sum from k=1 to r (sum from j=1 to n a_(akj)■_j)~2} δ(n)=τ~(-2)E(■_1~2-σ~2)~2I_((|■-σ~2|≥■τ)+τ~(-3)n~(1/2)|E(■_1~2-σ~2)~3I_((|■_1~2-σ~2|<(nτ)~(1/2))+τ~(-4)n~(-1)E■_1~2-σ~2)~4I_((|■-σ~2|0使得■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|≤C(δ(n)+n~(-1/2)) ■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|+n~(-1/2)≥C_1δ(n)。     

奇完全数的两个猜想

运用初等方法讨论有关奇完全数的两个猜想.证明了:(i)如果n=p~αq_1~(2β_1)q_2~(2β_2)…q_s~(2β_s)是奇完全数,其中P,q_1,q_2,…,q_s是不同的奇素数,α,β_1,β_2,…,β_s是正整数,p≡α≡1(mood4),而且q_i≡-1(mod m)(i=1,2,…,s),m是大于2的正整数,则.1/2σ(p~α)必为合数;(ii)如果n=a~2~x+b~2~x,其中a,b,x是适合ab,gcd(a,6)=1,2|ab的正整数,则当x≥log_2log_2log_2 a时,n不是奇完全数.     

星图上非线性分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性

该文运用Banach压缩映射原理和Schaefer不动点定理研究星图上的非线性分数阶微分方程边值问题{CDα0,xui(x)=fi(x,ui(x),CDβ0,xui(x)),0 ＜ x ＜li,i =1,2,…,k,u′i(0) =ui(1) =0,i =1,2,…,k,u″i (li)=u″j(lj),i,j =1,...     

Cantor极小动力系统生成交叉积C~*-代数的K_0群

设(X,α)为一个Cantor极小系统,C(X)×_αZ为相应的交叉积C~*-代数,U,V为X内的两个clopen集.证明了如果[j_α(1U)_0=[jα(1_v)]_0∈K_0(C(X)×_αZ),则存在α的一个拓扑全群元素σ,使得σ(U)=V.