安徽高中数学竞赛题的变式与推广

<正>文[1]和文[2]分别给出了2006年安徽省高中数学竞赛初赛中的题目:"设x,y是实数,且满足x~2+xy+y~2=3.则x~2-xy+y~2的最大值和最小值是__."的三种思路三种解法与二种思路三种解法.笔者拜读了之后颇有感想,下面给出这个题目的一个变式,供大家参考.由于xy=x~2·y/x,y~2=xy·y/x,于是我们可     

一道高中联赛题的简解

1993年度全国高中数学竞赛有一这样一个题目:实数x、y满足4x~2-5xy 4y~2=5,设s=x~2 y~2,则1/S_(max) 1/S_(min)的值为______.本文给出它的两个仅用到初中知识的解法。     

对《不定方程x~2+y~2=z~2的若干推广与统一解法》一文的商榷

指出《不定方程x~2+y~2=z~2的若干推广与统一解法》一文的两处错误,给出两个反例,并将原文的结论予以修正.     

对一道最值问题的再研究

问题已知x,y∈R,x~2+y~2-3xy=2,求x~2+y~2的最值.文[1]从多种角度出发,给出该题四种各具特色的不同解法,读来使人受益匪浅.经进一步探索发现,该题还有几种不错的解法,现作为文[1]的补充介绍如下,供参考.     

换元法解一类取值范围题

例1实数x,y满足x~2+xy-2y~2=1,求S= 3x~2-y~2的取值范围。这是《数学通报》2006年第4期上《一类求取值范围问题的解法》中的一例,也是该刊2007年第9期上《二次方程约束条件下的一类取值范围问题》中的例题。前者用判别式法得到了一个不引人注目     

应用参数解方程组的若干技巧

初中课本《二元二次方程组》一章,给出了特殊的二元二次方程组的解法。笔者认为:在教学中如能适当地指导学生引入参数解题,不但可以简化计算,而且有利于启迪学生思维,培养解题能力。本文通过实例,阐述引进参数解方程组的若干技巧。一引进参数确定方程组中未知数的比值例1 解方程组 4x~4-3xy~3-54y~4=4, x~2-3y~2=1. 分析:这类方程组的特点是:每个方程,除常数项外,关于未知数x,y是齐次的,可用如下     

不求交点的技巧

《解析几何(平面)》课本P.116页,例3.“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。”课本中通过解方程组求出椭圆与双曲线的交点坐标,然后再分别求出椭圆、双曲线在交点处的切线方程,进而由两切线斜率的乘积为-1,得到切线互相垂直的结论。思路自然,但解题过程却比较烦琐。其实本题有如下简捷的解法。证明:设两曲线交点为(x_o,y_o),则过交点的两曲线的切线方程分别为:     

n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法

通过引入n个积分因子,给出了n阶常系数线性微分方程y~(n)+p_1y~(n-1)+p_2y~(n-2)+…+p_(n-1)y′+p_ny=f(x)的积分因子解法,并进而得到n阶欧拉方程x~ny~(n)+p_1x~(n-1) y~(n-1)+…+p_(n-1)xy′+p_ny=f(x)的积分因子解法.该方法对任意的可积函数f(x),均可给出其通解形式,具有一定的理论研究价值和实际应用价值.     

探析一道与面积有关解析几何问题的多种解法

<正>直线与圆锥曲线关系中涉及三角形面积的问题是一类常考常新的题型,下面我从不同角度出发,给出一道圆锥曲线面积最值问题的多种解法.此题以圆和椭圆两种曲线为载体,综合性强,体现高考的方向,很有代表性:(2018年模拟试题)已知椭圆C1:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)和圆     

从一道习题谈起

高中《平面解析几何》课本第125页有一个题目:圆x~2 y~2=4经变换后成为椭圆x＇~2/4 y＇~2=1。反之,这椭圆经上述变换的逆变换     

一道赛题解法的探究

2006年安徽省高中数学竞赛初赛中有一道题：设x,y是实数,且满足x~2 xy y~2=3,则x~2-xy y~2的最大值与最小值是( )．本题属于多元最值问题,把该题的解法在所学范围内作尽量彻底的研究,有助于同学们综合知识能力的提高．笔者发现至少有以下三     

对一个问题的进一步推广

读贵刊82年第一期张宏志《淡浅解题》一文,受益不浅,作者把题目:当x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z=1时,试求x~(1/2)+y~(1/2)+z~(1/2)的最大值与最小值(即求证不等式1≤x~(1/2)     

一道竞赛题的简解

题目试对一切不全为0的实数x,y,z,w,给出代数式(xy+2yz+zw)/(x~2+y~2+z~2+w~2)的一个上界,(你给出的上界越小,你得的分数越高)。 (1985年奥地利和波兰联合数学竞赛题),文中介绍了用爬坡式推理解决这道题的方法。下面我们给出这道题的一个简解: (2~(1/2)+1)x~2+(2~(1/2)-1)y~2≥2xy (1) 2(y~2+z~2)≥4yz (2) (2~(1/2)-1)z~2+(2~(1/2)+1)w~2≥2zw (3)     

用凑微分法解微分方程25例

<正> 有些微分方程题目用凑微分的方法来解比较简单,本文举出25个例,前二个例是93年研究生入学试题。例1 求微分方程x~2y~1+xy=y~2满足初始条件y|_(x=1)=1的特解。(答案:y=2x/(1+x~2))     

不定方程 x~3+y~3=z~2与 x~3+y~3=z~4

在 x,y 互素的条件下,本文给出不定方程 x~3+y~3=z~2所有的整数解,并证明不定方程 x~3+y~3=z~4无 xyz≠0之整数解.     

解析几何问题多种解法欣赏

<正>题目如图1,已知椭圆E:(x~2)/4+y~2=1的左、右顶点分别为A,B,圆x~2+y~2=4上有一动点P,P在x轴上方,C(1,0),直线PA交椭圆于点D,连接PB,DC,已知直线PB与DC的斜率存在且分别为k_1,k_2,若k_1=λk_2,求λ取值范围.这是高三解析几何深度复习中遇到的一道典型题,也是解析几何复习中教师必选的一道题,其解法多而精彩.众所周知:只有建立函数关系才能求λ的取值范围,那么以什么参数     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

关于教材教法的点滴认识

(一)统编教材《高中数学》第四册习题二有一题:“求下面数列的前n项和: x+1/y,x~2+1/y~2,x~3+1/y~3,…x~n+1/y~n….”此题的解答无论是在师生中广为流传的《全国统编教材高中数学习题解》(以下简称《题解》)或高中数学第四册《教学参考书》(人民教育出     

关于丢番图方程x~2+y~2=p与x~2+2y~2=p的整数解

利用p次单位根e~((2πi)/p)作为原始材料,通过不同层次的组合,当p≡1(mod 4)时,给出了方程x~2+y~2=p的整数解.在此基础上,当p≡1(mod 8)时,进一步给出了x~2+2y~2=p的整数解.     

Stokes方程非协调混合元的特征值下界

通过利用Crouzeix-Raviart元({1,x,y}),旋转元({1,x,y,x~2-y~2}),拓广旋转元({1,x,y,x~2,y~2})以及拓广Crouzeix-Raviart元({1,x,y,x~2+y~2})这四种混合有限元(参看正文中示图)来提供求Stokes特征值下界的方法.并找到恰当的理论框架,重要的是证明不仅统一,而且出奇的短,仅需几行.最后给出相关的数值结果来验证本文的理论分析.