三角形内任意点的又一个新的不等式

第37届IMO有一道预选题,设O是△ABC的外心,连OA延长交△BOC的外接圆于A′,类似连OB,OC延长分别交△AOC与△AOB的外接圆于B′,C′,求证:OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·OC·(1)交[1]以△ABC内的内心、垂心、重心来代替不等式(1)中的外心O,证得不等式(1)仍归成立,本人也曾证得对三角形的费马点,勃罗卡点不等式(1)亦成立,此外本人曾企图对三角形另外的一些特殊来证明不等式(1),却屡屡不能得手,功夫不负有心人,近日本人却意外地证得不等式(1)对三角形内任意一点都成立,以下设O是△ABC内任意一点,其余条件不变来证明(1)式成立·…     

关于三角形与点的一个不等式

涉及三角形与一个动点的不等式是一类有趣的几何不等式.在文献[1]中作者曾运用重要的惯性极矩不等式证明了下述不等式:对△ABC与平面上任一点P有PA2sinA/2+PB2sinB/2+PC2sinC/2≥3r2,(1)其中r为△ABC的内切圆半径.……     

关于Fermat点的一个猜想不等式

设△ＡＢＣ的各内角都小于１２０°，Ｆ是△ＡＢＣ内部一点，且使∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡ＝∠ＡＦＢ，则称Ｆ是△ＡＢＣ的Ｆｅｒｍａｔ点．陈计先生在文［１］末尾提出如下猜想设△ＡＢＣ的旁切圆半径是ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，角平分线长是ｗａ，ｗｂ，ｗｃ，中线长是ｍａ，ｍｂ，...     

一个三角不等式又一证法

笔者在《中学生数学》2008年2月（上）P29的文《西部数学奥赛一题的三角证法》中给出如下试题：     

费尔马定理的又一证法及费马点轨迹初探

“最短网络”问题 ,是美国贝尔电话公司收费时所遇到的 .它的历史可以追溯到费马 .1 640年 ,费马提出如下问题 :在平面上给出Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点 ,求一点Ｓ使距离和ＳＡ +ＳＢ+ＳＣ达到最小 .该问题引起科学家的兴趣 .其证明方法多种多样 .但这些方法大多限于几何[1] .本文巧妙地利用初等数学中对称的思想 ,给出费马定理的一个简单证法 ,并由此探讨费马点的轨迹 ,最后给出一种特殊“最短网络”的铺设构想 .现将上述的三角形两个顶点Ａ ,Ｂ放置在直角坐标系中 ,且Ａ ,Ｂ在Ｘ轴同侧 ,记在Ａ ,Ｂ及Ｘ轴同侧求一点Ｓ ,使Ｓ到Ａ ,Ｂ及Ｘ轴的距离最短…     

一个著名不等式的又一证明

一个著名不等式的又一证明３３０３０４江西永修一中宋庆１９５６年．Ｊ．Ａｃｚｅｌ在《ＵｓｐｅｈｌＭａｔｊ上厂次提出并证明了以下不等式：等号当且仅当申一７—…一７一；时成立．翻阅近年国内数学期刊，Ａｃｚｅｌ不等式时有出现，不过证明手法一律是构造二次函数、...     

关于一个几何不等式

关于一个几何不等式苗相军（山东省济宁市实验中学２７２１２３）内接于给定三角形的任一三角形，必把前者分成四个较小的三角形．则内接三角形的周长决不能小于其它三个三角形每一个的周长．这个问题在国内最早出现在文献［１］中，随后收录在文献［２］（称之为ｗｈｃ１...     

关于一个不等式命题

本刊文 [1 ]给出了如下命题 :设 a、b、c∈ R ,n∈ N,则　 anb c bnc a cna b≥ (a b c) n-12 .3n-2 . (1 )但是 ,原文中对此命题的证明是不正确的 .这里 ,我们简捷地证明一个较上述命题更为深刻的结论 .定理　设 a、b、c∈ R ,n≥ 1 ,则　　　 anb c bnc a cna b　　≥     

关于三角形的一个不等式

关于三角形的一个不等式３１５２１１宁波大学数学系陈计１９９３年，管志宏［１］提出下列不等式：在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时等号成立．事实上，由熟知的几何不等式（见文［２］的２．１２及２．３３）：易知不等式（１）是平凡的．本文中，我们将不...     

关于四面体的一个不等式

文[1]给出了关于四面体内一点的一个漂亮不等式,即以下命题．     

关于四边形的一个不等式

受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍.     

关于一个不等式的隔离

关于一个不等式的隔离姜卫东华云（黑龙江省农业经济学校１５７０４１）《数学通报》１９９７年第１期文［１］给出如下一个不等式：设△ＡＢＣ的边长为ａ，ｂ，ｃ，傍切圆半径为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，则有ｂｃｒ２ａ＋ｃａｒ２ｂ＋ａｂｒ２ｃａ２ｒｂｒｃ＋ｂ２ｒｃｒａ＋...     

关于单形的一个不等式

§1.引言 设M为△B_1B_2B_3内任意一点,由顶点B_1、B_2、B_3与M联直线延长后分别交对边于C_1,C_2,C_3,则有     

关于Caflisch的一个不等式

Caflisch[1，2]在Euler方程存在光滑解的假设下，证明了Boltzmann方程存在一个解，且该解在平均自由程趋于零的极限下与Euler解一致．不幸的是Caflisch的证明有错误，其关键的引理6．1的结论太弱，不足以完成主要定理的证明．事实上，Caflisch在证明主要定理时，使用了比引理6．1更强的结论，但并未说明．本文改进了Caflisch的一个重要不等式；加强了原引理6．1的结论，并在修正了原主要定理证明过程中的其它错误后完成了它的证明．     

一个涉及Fermat点的不等式

命题　设△ ABC的三边和面积为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,延长 AF、BF、CF分别交对边于 A′,B′,C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.则　　 f2a f2b f 2c ≥ 33△ . ( 1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .证明　设 AF =x,BF =y,CF =z,则AA′=AF A′F =x 2 yzy zcos 6 0°=xy yz zxy z ,BB′=xy yz zxz x ,CC′=xy yz zxx y .又由面积公式易知xy yz zx =43△ .所以由上述式子易知 ( 1 )式 (以下用 ∑ 表示三元循环和 ,如∑x =x y z)等价于∑xy .∑ 1( y z) 2 ≥ 94 　…     

关于Georgonne点的不等式

关于Ｇｅｏｒｇｏｎｎｅ点的不等式吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）如所知，过△ＡＢＣ的内切圆的切点的三条Ｃｅｖａ线ｇａ，ｇｂ，ｇｃ交于一点Γ，且称点Γ为△ＡＢＣ的Ｇｅｏｒｇｏｎｎｅ点．本文将给出关于Ｇｅｏｒｇｏｎｎｅ点的几个不等式．定理１ｇｋ...     

关于几何不等式的又一证明

设则有式中的等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立。此即几何不等式,[1]中对它运用数学归纳法和凸函数理论给出证明;[2]中对它用初等微积分,给出一个新的证明。下面试用拉格朗日(法人,Lagrange,1736—1813)数乘法,给出     

费尔马小定理的一个初等证明

利用多元多项式定理,给出费尔马小定理的一种完全初等的证明.     

关于欧拉常数的一个不等式

本建立了关于驮拉常数r的一个不等式：m∑k=1 1/k-ln(n)-1/2n 1/12n^2-1/120n^4＜r＜n∑k=1 1/k-ln(n)-1/2n 1/12n^2-1/120n4 1/252n^6,改进了献[1],[2],[3]的结果。     

关于Steiner树的一个不等式

本文部分地改进了堵丁柱、黄光明所证明的Gilbert-Pollak关于Steiner树的一个猜想,提出一个新的不等式。