从Riemann积分到Lebesgue积分——用完备化思想建立Lebesgue积分(连载)

<正> §3 Lebesgue 积分有了上一节的准备,现在可以引进Lebesgue 积分。定义3.1 设(a,b)为任意区间,f 是(a,b)上几乎处处有限的函数。如果存在c〔a,b〕(c_0(a,b))中的一个基本列{(?)_n}_(n-1)~∽以f 为极限,则称f 在(a,b)上Le-besgue 可积,简称(L)可积。当f∈c〔a,b〕     

从Riemann积分到Lebesgue积分——用完备化思想建立Lebesgue积分(续完)

<正> §5 空间L~p(a,b)(P≥1)Lebeague 函数空间L~p(a,b)及其各种变形在泛函分析中占有中心位置。这一节中我们用§3引进L(a,b)的同样方法来建立L~p(a,b)空间的理论     

从泛函延拓的视角看Lebesgue积分和Riemann积分

约定1〈p〈∞,定义空间Cp[a,b],证明Cp[a,b]是Lp[a,b]的子空间.利用Lebesgue积分和Riemann积分在Lp[a,b]和Cp[a,b]上分别定义线性泛函L和R,证明二者有界且有相等范数.利用Taylor定理和已得结论证明L是R从Cp[a,b]到Lp[a,b]的唯一保范延拓.     

用Riemann积分给出Lebesgue积分的新定义——应用泛函分析教学札记

<正> 在传统的Lebesgue积分教学中,需要花费相当的时间先介绍测度理论。但是苦于目前各院校开设应用泛函分析的学时不足,在教学中存在一定的困难。我们采用郑维行、王声望二位先生“积分是高一维的测度”的观点,同时也不同于黎茨、纳吉的论述,直接由Riemann     

非绝对积分概论(连载三)

Ⅱ非绝对积分及其性质§３Ｌ－积分、反常Ｒ－积分与ＫＨ－积分之关系前面我们已经看到,ＫＨ－可积函数类确比Ｌ－可积函数类广泛．例２．１４说明了反常Ｒ－可积函数也是ＫＨ－可积的．这一节我们将从理论上直接证明反常Ｒ－积分、Ｌ－积分都为ＫＨ－积分的特殊情况．首...     

Lebesgue积分的产生及其影响(迎接ICM2002特约文章)

这是一篇由法国科学院院士 Ｋａｈａｎｅ为纪念Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分 １００周年而写的文章,原文发表在《巴黎科学院通报》上,文章讲述了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分创立的历史背景及其影响,经作者同意,由武汉大学范爱华教授翻译成中文在本刊发表．     

用Lebesgue—Stieltjes积分定义的双曲型方程广义解

该文用Ｌｅｂｅｓｇｕｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ积分给出一个双曲型方程组广义解的新定义，在这个意义下证明了Ｃａｕｃｈｙ问题整体广义解的存在性。这种解自然地包含了δ－激波。     

用Lebesgue－Stieltjes积分定义的双曲型方程广义解

该文用Ｌｅｂｅｓｇｕｅ－Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ积分给出一个双曲型方程组广义解的新定义，在这个意义下证明了Ｃａｕｃｈｙ问题整体广义解的存在性．这种解自然地包含了δ－激波．     

从Riemann积分的定义看推广变量收敛理论的必要性

指出了R iem ann积分定义中积分和的极限已超出了数学分析中变量极限理论的范围,由此看出推广变量极限理论是必要的;简要地介绍了更一般的收敛理论,即网的Moore-Sm ith收敛理论,并通过这种收敛理论给出了定积分的严格定义.     

广义函数(连载)

<正> §5.数乘一个数λ与一个函数φ(x)的数乘运算λφ(x)有下列性质1°。如果φ_n(x)是基本列,则λφ_n(x)也是基本列。这个性质能使我们把这种运算推广到任意的广义函数f(x)=[φ_n(x)]上,只要假定     

广义函数(连载)

广义函数理论在工程技术中越来越被广泛应用,作为一个工程大学生米说,掌握有关广义函数的理论和方法无疑是必要的。然而现有有关这方面材料,都要求具有实分析基础,对工科院校是不适合的。为此,我们在这里系统介绍Mikusinski著的《广义函数》,供工科院校师生参考。这本《广义函数》只须具有微积分知识便可掌握。     

满足(accr)环的I-adic完备化及其平坦性

满足（ａｃｃｒ）环是比Ｎｏｅｔｈｅｒ环更广泛的一类环，本文讨论了满足（ａｃｃｒ）环的Ｉ－ａｄｉｃ完备化及其平坦性问题，把Ｎｏｅｔｈｅｒ环的有关结果推广到满足（ａｃｃｒ）环上，同时也改进了［１］中的结果．     

(N)模糊积分

本文定义了一种新的模糊积分,它较[2]所定义的模糊积分与Lebesgue积分有更多的相似之处。特别是作为人类思维过程的模拟,较[2]更切近于实际。文中研究了这种积分的性质,证明了类似Lebesgue积分中Levi定理、Fatou定理等关于积分序列的收敛性定理,给出了把一般的模糊测度空间上的(N)模糊积分转化为R¹上以Lebesgue测度为模糊测度的(N)模糊积分的公式。§4中引进了一类特殊的所谓λ次可加模糊测度空间,给出了这种测度空间上收敛性的Егоров定理和Riesz定理并得到了该空间上的(N)模糊积分在积分号下取极限的一些充分条件。     

组合论的渊源(连载)

数学史学家忽视了组合论。我们研究组合论的历史是因为它是数学的一门分支,它的发展史与算术、代数和几何的伟大的历史不是完全平行的。本文不讨论它的近代史即它有了自己的定义和定理并成为数学的一个分支之后的历史。本文涉及的是它的起源,粗略地说就是公元1650年前的历史。     

从变量数学到现代数学(续一)

§4新几何,新世界 1.直观几何学.从直观出发,我们会看清楚为什么会有多种几何学,而不是一种几何学.借此,我们也就容易理解在19世纪几何学中发生了什么.     

从改变量函数到微分(I)

基于无穷小量是极限为零的函数这一事实,视Δy=f(t)-f(x)和Δx=t-x为在点x的任一邻域上有定义的改变量函数,可准确地诠释导数f′(x)作为二函数之商的极限的本性,进而自然地揭示微分df(x)=f′(x)dx作为一个普通函数的实质.     

从变量数学到现代数学(续一)

3·函数概念的诞生与演变数学从对运动的研究中引出了一个基本概念,其后的200年里,这个概念在几乎所有的工作中占中心的地位,这个概念就是函数.近代数学的主体主要是围绕着函数和极限概念展开的.随着变量数学特别是数学分析的发展,函数概念也经历了深刻的变化,这主要是出于数学自身发展需要.函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(1667年)中.他定义函数是这样一个量:它是从一些其他量经过一系列代数运算而得到的,或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.自从牛顿于1665年开始微积分的工作后,他一直使用“流量”一词来表…     

从改变量函数到微分(II)

基于无穷小量是极限为零的函数这一事实,视Δy=f(t)-f(x)和Δx=t-x为在点x的任一邻域上有定义的改变量函数,可准确地诠释导数f′(x)作为二函数之商的极限的本性,进而自然地揭示微分df(x)=f′(x)dx作为一个普通函数的实质.     

从改变量函数到微分(Ⅰ)

基于无穷小量是极限为零的函数这一事实,视Δy=f（t）-f（x）和Δx=t—x为在点x的任一邻域上有定义的改变量函数,可准确地诠释导数f（x）作为二函数之商的极限的本性,进而自然地揭示微分df（x）=f（x）dx作为一个普通函数的实质．