抽象函数问题的求解策略

<正>抽象函数是指没有给出具体的解析式,只给出了其它的一些条件(如函数的定义域、经过的点,递推式,部分图象特征等)的函数问题.此类问题在高考中颇受命题者的青睐,做到了常考常新.此类问题主要分为两大类:一是主要以考察函数的基本性质(单调性、对称性和周期性)为主的试题,如2022年全国Ⅰ卷第12题,2022年全国乙卷理科第12题,2021年全国Ⅱ卷第8题,2022年全国甲卷理科第12题,     

例谈抽象函数的解题

抽象函数问题的解决必须通过对题目的特征进行观察和分析 ,通过类比联想寻找具体的函数模型 ,再由具体的函数模型的图象和性质 (奇偶性、周期性、单调性 )来指导我们对抽象函数问题的解决 .2 0 0 1年全国高考试题的第 (1 0 )、(2 2 )题都是抽象函数题 ,大约占总分的 1 2 .67 ,以往这类试题是作为选择题或填空题偶尔出现在高考试题中 ,而今年高考的最后压轴题也以它为背景 ,这势必会引起广大中学教师和学生的注意 .但是 ,抽象函数问题往往不是以单一的个别概念为基础 ,而是通过多个概念、原理及大量的经验为背景的共同作用 .学生对于抽象函…     

高观点试题与研究性学习--浅析2003年北京卷数学科高考试题

所谓“高观点试题”,就是具有高等数学知识背景的试题 .主要表现为 :或以新符号 ,新概念出现或以高等数学的概念、定理作为依托 .新符号如 aij( i,j∈ N) (见北京卷 2 0 0 3年第 1 0题 )、∑、 等 ;新概念如函数的凹凸性、一致连续等 (见北京卷 2 0 0 2年第 1 2题、2 0 0 3年第 2 0题 ) .近年来“高观点”试题在高考试题中占有一定的比例 ,且有逐渐增大的趋势 .这是因为 :一方面 ,高考改革坚持“三个有助于”:有助于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于扩大高校办学自主权 .高考要为高校选拔出具有学习潜能的新生 ,就要在高考试…     

函数g(x)=(1+1/x)x+1的性质及其应用

近年高考时常出现与函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)有关的压轴题,如2007年四川理科卷的第22题及2001年全国理科卷的第20题,这两道题都涉及了函数f(x)的相关性质.有关函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)的两个重要性质以及结论,文献[1]中给出了总结和证明:     

试题研讨(2)

题 1　二次函数 f(x) =ax2 bx c(a为非零整数 )为偶函数 ,对于 x∈ R,f(x)≤ 1恒成立 ,且 f(1) =0 .( )求 f (x)的解析式 ;( )若 F(x) =f (x)- f(x)(0 F(- x) x;( )设 0 <|m|<1,0 <|n|<1,且 mn <0 ,试寻找使 F(m) F(n) <0成立的 m和 n还应满足的条件 .(2 0 0 2年 3月湖北省宜昌市高三试题 )命题溯源　在 2 0 0 0年之前的全国高考数学试卷中没有出现给出分段函数 (周期函数除外 )的解答题 ,自从 2 0 0 0年全国高考数学试卷第 2 1题出现分段函数的应用题以后 ,两年来关于分段函数与不等式的综…     

均值法求解一类多元复合最值问题

2009年普通高等学校招生全国统一考试海南(宁夏)卷第12题:已知函数f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),求f(x)的最大值;2006年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷第12题:已知函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R),求f(x)的最小值.综观近年高考试题、各地模拟试题及竞赛试题,常常出现这类在最大值中求最小值或在最小值中求最大值的问题.对于这种复合最值问题,如果是一元复合型,则考查的目标主要是数形结合,分段解析,观察取值;然而更多的复合最值问题,     

与反比例函数的图象有关的面积问题

以反比例函数的图象和性质为载体,与三角形、正方形、圆等几何图形的面积相关的综合性问题,作为一种新颖的试题,在中考或数学竞赛试卷中频频出现,这类问题将函数知识与平面几何知识有机地融合在一起,要求解题者不仅掌握反比例函数的图象和性质,而且要熟悉平面几何图形的性质,因而这类试题倍受命题者和中学生的青睐.例1(自编题)已知正比例函数y=ax和y=bx,(a>0,b>0)的图象与反比例函数y=2xc,(c>0)的图象在第一象限内分别相交于点A,B,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D.记△AOC,△BOD的面积分别为S1和S2,则S1和S2的大小关系怎样?解析在如图1中,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则S1=21x1y1,S2=21x2y2,而点A,B都在反比例函数y=2xc,(c>0)的图象上,所以,x1y1=2c,x2y2=2c,所以S1=S2.图1图2例2(改编题)已知,如图2,正比例函数y=k1x与反比例函数y=kx2的图象相交于A,B两点(k1>0,k2>0),A点坐标为(4,2),分别以A、B为圆心的圆与x轴相切,则图中两个阴影部分面积的和为.解析由反比例函数的图象关于原点对...     

2002年全国高考数学文史类试题考生常见错误分析

20 0 2年全国高考数学文史类试题注重对数学基本知识、基本技能的考查 ,特别注重对考生思维能力及应用数学知识解决实际问题能力的考查 ,本文拟对考生第 ( )卷答题中常见错误略作分析 .1 7题　如图 1 ,某地一天从 6时至 1 4时的温度变化曲线近似满足函数y =Asin(ωx φ) b.图 1( )求这段时间的最大温差 ;( )写出这段曲线的函数解析式 .评析　本题主要是考查正弦函数的基本概念、基本性质、读图识图能力和基本运算技能 .本题虽然难度不大 ,但从整体阅卷来看 ,考生此题得分率低 .除了学生对有关概念如振幅 ,周期理解不深刻外 ,最主要的…     

开放性试题呼唤开放式教学—2000年全国高考数学试题之我见

纵观 2 0 0 0年数学高考 ,笔者认为 ,最为显著的一个特点是 :开放、创新 !1　历年高考试题中开放性试题的特点与评价长期以来 ,开放性试题就一直是高考命题探索的重点和热点 .历年高考试题中出现的开放性试题可以概括为两类 :一类是存在型开放性试题 ,如 1 989年理科第 2 3题 ,1 995年理科第 2 5题 ;另一类是归纳型开放性试题 ,如 1 993年文科第 2 6题 ,1 994年理科第 2 5题 ,1 998年理科第 2 5题 ,1 999年理科第 2 3题 .这两类试题都突出了学生的创新思维能力和主动探索能力的考查 ,要求考生不但会演绎法 ,也必须会归纳法 ,不但要掌握逻辑…     

关于抽象函数题的练评课

抽象函数题在高中数学教材中找不到单独章节 ,然而在近年各地模拟试题中却出现许多抽象函数问题 .笔者有意收集这些问题并分类介绍如下 ,供读者在高三练评课时选用 .1　求定义域求抽象函数的定义域要注意中间变量的值域等同性 ,如在 f(g1(x) ) ,f(g2 (x) )中 ,g1(x)与 g2 (x)的值域应相同 .1函数 f(1x2 )的定义域为 [1 ,2 ],则f (1 - x)的定义域是 .2已知函数 f(3 - 2 x)的定义域为[- 1 ,2 ],则 f (x)的定义域是 .3函数 f (x)的定义域为 [0 ,1 0 ],求函数f (x2 - x - 2 )的定义域 .　　简答　 1 [0 ,34 ];2 [- 1 ,5];3 [- 3 ,- 1 ]∪ [2 ,4]…     

2010年高考数学北京卷第14题的背景研究

2010年高考数学北京卷文理科第(14)题,都是以沿轴滚动的正方形的一个顶点所形成的图形为着眼点,考查函数的性质以及平面图形的面积问题,视角独特,设计新颖,不失为一道优秀的试题:1试题的简解及分析题目(2010年北京卷理第14题)如图1放置     

求解抽象函数问题的方法

正抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出一些特殊条件(如函数的定义域、经过的特殊点、递推式、部分图像特征等)的函数.它是高中数学函数部分的难点,也是高考热点.因其抽象,学生对这类问题往往显得不知所措,无从下手.本文通过一些具体例题谈谈特殊化方法在解决抽象函数问题中的运用.     

关于一道高考模拟名题的深化

题目　已知函数f(x) =aa2 - 1(ax - a-x ) ,其中a>0 ,a≠1.( )判断函数f(x)在(-∞,∞)上的单调性,并根据函数单调性的定义加以证明;( )若n∈N且n≥2 ,证明:f(n) >n.这道题自从1995年出现在北京市崇文区二模后,先后出现在1996年天津市高中毕业班质量调查测试、1998年北京市西城区二模、2 0 0 2年广州市一模等试题中,《中国考试》2 0 0 3年3- 4期题卷荟萃·数学(新课程) (理)将此题改编为:已知函数y =loga(x+ x2 + 1) (a>1) )的反函数为f (x) .1)若f (x) 相似文献   

试题诚可贵 变式价更高——2020年高考数学全国卷Ⅱ理科第21题本源探究

对于一些经典试题,通过合理的变式处理和解法探究,不仅能拓展解题的思维空间,挖掘试题的变化规律,而且能揭示试题的命制背景,传承解题思想方法,提升学生的数学素养.题1(2018年高考全国卷Ⅰ理科第16题)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是____.     

1999年部分高考试题编拟说明

1　理解数学关系　切实考查“双基”——理科第 ( 19)题 ,文科第 ( 19)、 ( 2 0 )题编拟说明文、理科卷的第 ( 19)题都是涉及对数函数的题目 .作为解答题的第一个题目 ,命题的立意是着重考查基础知识 ,难度控制为容易题 .指数函数、对数函数是初等函数中的主要部分 ,由试题搭配组合的结果 ,决定以这些知识点作为本题的考查内容 .从数学上看 ,不等是绝对的 ,相等是相对的 .不等的事件到处都有 ,而相等则只在某个瞬间出现 .因而数学上所面对的问题主要是不等式问题 ,困难的也是不等式问题 ,在求解不等式问题中 ,由确定不等式开始成立的瞬间而…     

一道引领教学走出"题海战术"的好题——评析2005年全国高考数学卷第22题

2005年全国高考数学卷第22题为(Ⅰ)设函数f(x)=xlog2x (1-x)log2(1-x)(0相似文献   

数列、排列、组合、概率、统计——系列讲座(三)

【热点透视】1.等差数列和等比数列的判定和性质 (如 2 0 0 3年高考·北京春季卷·理科第 (2 1)题 ,2 0 0 4年高考·四川、吉林、黑龙江、云南、贵州卷·理科第 (19)题等 ) .2 .等差数列和等比数列的基本运算 (如 2 0 0 3年高考·北京卷·理科第 (16 )题 ,2 0 0 4年高考·浙江卷·理科第 (3)题等 ) .3.等差数列和等比数列的综合、实际应用 (如2 0 0 3年高考·全国卷·理科第 (7)题 ,2 0 0 4年高考·重庆卷·理科第 (2 2 )题等 ) .4 .利用数列的递推关系求通项公式 (如 2 0 0 4年高考·安徽春季卷·第 (18)题 ,2 0 0 3年高考·江苏卷第 (2 2 …     

中考函数与圆综合题例析

函数与圆分别是初中代数与几何的重点内容 ,近年来各地中考试题中频频出现函数与圆相结合的综合题 ,以考查学生运用“方程思想”、“数形结合思想”及“分类思想”等基本思想和方法 ,综合运用函数与几何知识解决问题的能力 .这类题涉及到的知识、方法较多 ,综合性较强 ,解法较灵活 ,本文仅就 2 0 0 3年部分省市中考题中的函数与圆综合题例析如下 :例 1、(广西壮族自治区 )如图 ,以A( 0 ,3 )为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O ,与 y轴相交于点B ,弦BD的延长线交x轴负半轴于点E ,且∠BEO =60°,AD的延长线交x轴于点C ,( 1 )分别求点E、C的…     

2004年湘沪两地高考数学试卷的分析、比较及启示

一、2 0 0 4年湖南省高考数学试题的命题特点 :　　2 0 0 4年全国高考不再是全国统一的一份试卷 ,有不少省份单独命题。笔者手头就是一份湖南省的数学试卷。该试卷几乎涵盖了所有重要的知识点 ,试题安排由易而难 ,有一定的层次 ,在客观题中已经出现了综合性的试题 ,最后两道综合题落脚在解几何题中和数列上 ,还结合了向量、导数等新知识 ,除了知识上综合性较强外 ,还涉及了数形结合 ,分类讨论等数学思想方法的考查 ,这是一份全面考查数学知识能力的试卷。1 .试题在综合能力上有要求(1 )理科一/ 6题　设函数f(x) =x2 +bx +c,(x≤ 0 )2　　　…     

设计素质化的高考试题——2001年高考数学试题的评析及启示

20 0 1年高考数学卷 ,再次展示近几年来保持稳定 ,锐意创新的风格 ,把“基础与能力”作为命题的轴心 .充分体现”有助于高校选拔人才 ,有助于中学实施素质教育 ,有助于高校扩大办学自主权”的原则 .本文在分析试题的特点的基础上谈点个人的看法 .1　试题中的显著特点1 1　体现创新特色高考试题力求在“立意、情景、设问”上不断创新 .今年的试题这一特征十分明显 .如理科第(1 1 ) (1 2 ) (1 9) (2 0 ) ,文科第 (1 1 ) (1 2 ) (2 0 ) (2 1 )等都有立意好 ,情景新 ,设问巧的特点 .如文、理中的第 (1 1 )题 :按不同的方法盖一间民房 ,在屋顶斜…