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不等式的证明是高中数学的重要内容之一。由于不等式的证明灵活多样,技巧性强,因此有必要掌握几种特殊的证明方法或技巧,以提高证题能力. 相似文献
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对于一边是常数的数列不等式,在用数学归纳法直接证明时,归纳过渡往往有一定的困难,若利用不等式的传递性、可加性等性质,通过强化命题,放缩常数等技巧,就可顺利完成归纳过渡,下面举例说明. 相似文献
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本刊文[1]对文[2]中的第一个不等式给予推广,对第二个不等式的推广提出一个猜想:设xi〉0(i=1,2,3,…,n),n∑i=1xi=1.则n∏i=1(1/1-xi+xi)≥(n/n-1+1/n)^n. 相似文献
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教材中某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式 ,可根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明 ,下面试举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1 如果a ,b∈R ,求证 :a2 +b2 ≥ 2ab(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .证明 构造向量 p =(a ,b) ,q =(b ,a)由 p·q≤ |p||q|有2ab≤a2 +b2 .当且仅当 p ,q同向时 ,取“ =”号 .注意到 |p|=|q|,由 p ,q同向有p =q ,即 a =b .故当且仅当a =b时 ,取“ =”号 .例 2 求证 :a +b22 ≤ a2 +b22 .证明 构造向量p =12 ,12 ,q =(a ,b) ,由 ( p ,q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 a +b22 ≤a2 +b22 .例 3 已知a … 相似文献
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分式不等式的证明是高中数学中的难点之一,也是竞赛命题的热点,其方法多样、涉及的知识面广、灵活度大、技巧性强,是培养学生创新能力的好题型。 相似文献
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《中学数学教学参考》2002年第8期P27上有这样两个不等式: 已知a,b∈R~+,a+b=1,则 4/3≤1/a+1+1/b+1<3/2, 3/2相似文献
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高中《数学》第二册 (上 )第六章不等式中涉及到一类无理不等式的证明 ,本文先给出它们的一种巧证 ,然后将其作统一推广 .1 巧证引理 如果x≥ 0 ,那么x =x2 .例 1 (P15例 1)求证 :3+ 7<2 5.证明 3+ 7=( 3+ 7) 2=10 + 2 2 1<10 + 2 2 5=2 5.例 2 (P16题 1)求证 :6 + 7>2 2 + 5.证明 6 + 7=( 6 + 7) 2=13+ 2 4 2>13+ 2 4 0=( 8+ 5) 2 =2 2 + 5.例 3 (P17题 4 )求证 :1) 3+ 5<4 ;2 ) 13+ 2 >5- 2 .证明 1) 3+ 5=( 3+ 5) 2=8+ 2 15<8+ 2 16 =4 .2 ) 13+ 2 =2 - 3=( 2 - 3) 2=7- 43>7- 45=( 5- 2 ) 2 =5- 2 .说明 不等式 1)与 2… 相似文献
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使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式,关键的一步是寻求P(k 1)的证明,其技巧丰富多彩,下面介绍两种常用的技巧。 相似文献
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本刊 2 0 0 0年第 2期刊出了《一个不等式的另几种证法与推广》[1] ,读后受益匪浅 .1 一点商榷意见及修正意见文 [1 ]在证明a3 b3 c3≥ 3abc (a ,b ,c∈R )时 ,似有“循环论证”之嫌 .现恭抄其证明过程如下 : a3 b3≥a2 b ab2 ≥ 2a3b3, b3 c3≥b2 c bc2 ≥ 2b3c3, c3 a3≥c2 a ca2 ≥ 2c3a3,三式相加得a3 b3 c3≥a3b3 b3c3 c3a3 ≥ 33 a6 b6 c6 =3abc.在证明过程的最后 ,作者绕了一个大圈 ,最终还是利用a3 b3 c3≥ 3abc来证明a3 b3 c3≥ … 相似文献
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均值不等式的使用是一个学习难点 ,这里介绍 4个小技巧 ,帮助同学们熟悉并掌握其简单使用 .均值不等式中最常用的是a+b2 ≥ab(a ,b∈R+ ) ,下面以此不等式的应用为例说明 .1 简单累加累乘无需分组 ,对原有各组分别使用均值不等式 ,再做累加累乘即可 ,这应是优先考虑的情况 .例 1 已知a ,b,c >0 ,则a(b2 +c2 ) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2 )≥ 6abc .解 左边≥a·2bc +b·2ca +c·2ab =6abc.其中等号成立当且仅当a =b =c时成立 .(下面各例等号成立均为a =b =c,为简便计 ,均省略 )例 2 已知a ,b >0 ,则 1a+1b1a2 +1b2 (a3+b3)≥ 8.解 左… 相似文献
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《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97. 已知a ,b ,c∈R ,求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥814.下面给出此题的证明 .证 左边≥ 3 (a 1 ) (b 1 ) (c 1 )3 abc=3(a 12 12 ) (b 12 12 ) (c 12 12 )3 abc≥ 3·33 a4·33 b4·33 c43 abc =814.等号当且仅当a =b =c =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :a1,a2 ,… ,an∈R ,m ,n∈N ,求证 : (a2 1 ) ma1 (a3 1 ) ma2 … (a1 1 ) man≥ nmm(m - 1 ) m -1.证 左边≥n[(a2 1 ) (a3 1 )… 相似文献
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构造法 ,是高中数学竞赛的重点和难点 ,下面谈谈构造图形解题的一些技巧 .构造图形解题的最大特点在于直观 ,它能使抽象的数量关系在图形上表达出来 ,使问题变得简单 .而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想 .看下面几道例题 :例 1 已知v∈R ,u∈ [- 2 ,2 ],求证 :(u -v) 2 (2 -u2 - 9v) 2 ≥ 8.图 1 例 1图分析 不等式左边的结构类似于两点间距离公式 :d = (x2 -x1) 2 (y2 - y1) 2根号内的部分 .构造点 p(u ,2 -u2 ) ,Q(v ,9v) ,如图 1所示 ,点P位于半圆x2 y2 =2 (y≥ 0 )上 ,点Q位于双曲线xy =9… 相似文献
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