常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题，一般地，可以通过给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的某一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的方式叫做数列递推方式．     

分式线性递推数列的通项

分式线性递推数列an＋1=aan＋b/can＋d就是一个很值得研究的典型题例，本文给出它的一个重要性质并由此得到其通项的一般求法．     

常见递推数列通项公式的求法

递推数列求通项问题是高考与竞赛的热点问题,本文按照数列递推式的发展演化递进顺序,运用化归与转化的思想,简述了九类递推数列通项公式的求法.     

再谈一类递推数列通项的求法

已知an＋1=can^2＋dan＋e/aan＋b, a1=t, ac≠0,e=b/a^2（ad-bc）,求an。     

有关数列通项的常见类型及其求解策略

数列通项问题是数列部分的一个重要且典型的问题 ,是中学数学教学的一个难点 ,现结合教学 ,对有关数列通项的常见基本题型及其求解思维策略作一探索归纳 ,供参考 .1　给定数列前几项求其一个通项公式思路　观察分析 ,归纳猜想 .例 1　求下列数列的一个通项公式 .1) 1,3,6 ,10 ,… ;2 ) 74× 6 ,- 95× 7,116× 8,- 137× 9,… .分析 :1)观察项之间的关系有 :ａ2 -ａ1=2 ,ａ3-ａ2 =3,ａ4 -ａ3 =4,…猜想ａｎ-ａｎ -1=ｎ .将以上各式两端分别相加可得ａｎ-ａ1=2 3 4 … ｎ ,∴ａｎ=1 2 3 … ｎ =ｎ(ｎ 1)2 .经验证此为所求的一个通项公…     

含根式的数列递推式的通项公式求法探讨

数列通项公式在各类数学竞赛中既是一个重点，又是一个难点．成为难点的一个原因，就是求通项公式的方法灵活多样，分析、推理、综合等能力较强．下面仅就含根式的数列递推式的通项公式求法给予探索和分析．     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式：（1）Sn=a^n＋b^n=（a＋b）Sn-1-abSn-2；（2）Sn=a^n＋b^n＋c^n=（n＋b＋c）Sn-1-（ab＋bc＋ca）Sn-2＋abcSn-3．     

探究递推数列an=c·an-1+d·bn的通项公式

文[1]变题2的点评如下:“形如a_n=c·a_(n-1) d·b~n(c≠0,c≠1,d≠0,b≠0)的递推关系式均可由a_n λb~n=c(a_(n-1) λb~(n-1))构造等比数列处理.”文[2]指出该点评不妥之处:c=b时无法求出待定的λ,还应加上c≠b这一条件,并举例说明c=b时数列通项的求法.细读两文,深受启发,但感     

递推数列an＋1-p＋q／an的通项公式及其性质

文 [1]中给出并证明了以下命题 .命题　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且实数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 满足ｘ1=ａ ｂｘｎ,ｘ2 =ａ ｂｘ1,…ｘｎ=ａ ｂｘｎ - 1.则当ｎ为奇数时 ,ａ1=ａ2 =… =ａｎ;当ｎ为偶数时 ,ａ1=ａ3 =… =ａｎ- 1,ａ2 =ａ4 =…=ａｎ.上述命题实际上给出了满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ 的数列 {ａｎ}的一个性质 .经研究 ,本文拟给出满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ的数列 {ａｎ}的通项公式 ,并以此为基础给出比文 [1]更为深刻的结论 .现在记 ｆ(ｋ) =Ｃ1ｋｂｋ- 1 Ｃ3 ｋ 1ｂｋ - 2 … Ｃ2ｋ- 3 2ｋ- 2 ｂ1 Ｃ2ｋ- 12ｋ- 1ｂ0 (ｋ≥ 1,ｋ∈…     

常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法

设数列为,若有正整数K和K＋1个实常数使对任意自然数n都成立,则称阶常系数线性递推数列,（l）式称为递推公式．彭咏松先生在文［l」中利用等比数列和线性方程组的一些知识,研究了常系数齐次（ho一O）线性递推数列的通项公式．本文利用矩阵理论讨论了一般的常系数线性速推数列通项公式．则（1）变为：将（2）式反复迭代,则有：当矩阵E－A可逆时,由于从而（3）式变为当时,,于是可见求数列（n｝通项公式的关键就是求矩阵A的n次方幂,利用矩阵理论可解决此问题．下面举例说明（X。）的通项公式的矩阵求法．例至已知X;一O,X。一1,…     

数学竞赛中的递推数列问题

在各级各类的数学竞赛中 ,大量的数列问题都是由递推关系给出的 .建立递推关系是研究数列的各种性质以及许多综合数学问题的有效手段 (例如某些组合数的计算问题 ) .因此 ,运用递推关系解决问题是一种非常重要的途径 .本文我们讨论处理递推关系的一些常用方法 .1　迭代法　迭代法就是反复运用题设所给数列 {ａｎ}的递推关系进行代换 ,每代一次 ,脚标ｎ就往下降 ,直到能用初始值表示ａｎ 为止 .但是在大多数情况下 ,迭代之后不能写成简单的形式 ,因此迭代不出任何结果 ,这时也可考虑进行适当的变换 ,然后再进行迭代 .例 1　 (1996年全国高中…     

由几种典型的递推式构造新数列求通项的方法

已知数列的递推式求其通项公式的方法一般有三种 :“归纳、猜想、证明”、“错位相消 (约 )法”以及构造法 .本文将针对六种最典型的递推式 ,谈谈构造新数列求数列的通项公式的方法 .类型 1　ａｎ +1=ｑａｎ+Ｐｋｎｋ+Ｐｋ - 1ｎｋ- 1+… +Ｐ1ｎ +Ｐ0 (ｑ≠ 0 ,1,ｋ∈Ｎ) .例 1　数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ +1=2ａｎ+ 3,求ａｎ.解　令ａｎ +1+ｘ =2 (ａｎ+ｘ) ,可得ｘ =3,故ａｎ+1+ 3=2 (ａｎ+ 3) .又ａ1+ 3=4 ,可见 ,数列 {ａｎ+ 3}是首项为 4 ,以 2为公比的等比数列 ,从而 ,ａｎ+ 3=4·2 ｎ - 1,得ａｎ=2 ｎ +1- 3.例 2　数列 {ａｎ}中 ,…     

递推数列通项的矩阵解法

分情形讨论递推数列求通项的问题,介绍相应的矩阵解法,并借助实例说明其应用。     

二阶线型递推数列通项公式的求法

求递推数列的通项公式，既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，近三年新课程高考压轴题都是求这类数列通项公式的问题．文[1]介绍了一些常见递推数列通项公式的求法，本文就求二阶线型递推数列通项公式，介绍一种通用的方法．     

双连环递推数列通项的求解策略

两个数列的连环递推，我们称之为“双连环递推”，其一般特征是：两个数列的通项由它们的首项和两个相互联系、相互制约、相互依存的递推关系联合限制给出。     

常见的非线性递推数列通项公式求法

我们经常遇到含有分式根式或二次式等非线性递推关系．如何根据这些非线性递推关系求数列的通项公式呢？     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6：已知数列{an}中,a1=5,a2=2、an=2an-1＋3an-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式？这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升．本文试从这道题的类型展开加以研究．     

递推数列求通项大观

数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,因此经常渗透在高考试题和竞赛中.本文对几类常见的递推数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.类型 1　由an与Sn给出的数列递推关系,可利用an与Sn的关系求通项此类题一般不直接给出数列 {an}中an+1与an的递推式,而给出Sn与Sn-1或Sn与an的递推式,这时要用an+1 =Sn+1 -Sn(n∈N* ),转化为an+1与an的递推式.例 1　设数列 {an}的首项a1 =1,前n项和Sn满足关…