"若p则q"的否定是"若p则非q"吗

文 [1 ]认为 :“若ｐ则ｑ”的否定是“若ｐ则非ｑ” .文 [2 ]也说 :“应该明确 ,命题的非只否定结论” .而文 [3 ]则运用这样的方法 ,作出了命题 :ｐ :可以被 5整除的整数 ,末位是 0 .非ｐ :可以被 5整除的整数 ,末位不是 0 .并以这一对命题同为假命题作为反例 ,对新教材非ｐ的真值表提出质疑 .“若ｐ则ｑ”的否定果真是“若ｐ则非ｑ”么 ?否 !逻辑学告诉我们「 (ｐｑ) 「 (「ｐ∨ｑ)　　蕴涵等值式 「 (「ｐ) ∧ (「ｑ)　ＤｅＭｏｒｇａｎ律 ｐ∧ (「ｑ)　　　双重否定律也就是说“若ｐ则ｑ”的否定已不再是一个条件命题 (或蕴涵命题[4 …     

《关于命题的讨论》一文的一点瑕疵

文 [1 ]旨在对高中新教材中新增加的“简易逻辑”内容进行解释说明 ,对于不熟悉这部分内容的中学师生颇有参考价值 .但是该文中有一点瑕疵 ,今冒昧指出 .文 [1 ]在谈到关于命题的否定与否命题这一问题时认为 :“若ｐ则ｑ”的否定是“若ｐ则非ｑ” .这是一个错误观点 .事实上 ,“若ｐ则ｑ”等价于 (「ｐ)∨ｑ(文 [1 ]在谈到关于逻辑联结词与复合命题时也是这样说的 ) ,其否定应该是ｐ∧ (「ｑ) .ｐ∧ (「ｑ)读作“ｐ且非ｑ” ,习惯上也可以说成“虽然ｐ ,但非ｑ” .“若ｐ则非ｑ”等价于 (「ｐ) ∨ (「ｑ) .当ｐ为假时 ,「ｐ为真 ,于是 (「ｐ…     

争鸣

问　题　　 问题 36　 命题S为“若 p则 q” ,对于S的否定、否命题和┐S ,有下列观点 :观点 1　S的否定为“若 p则┐q” .观点 2　S的否定为“若┐p则q” .观点 3　S的否定为“若┐p则┐q” ,即它与S的否命题是一回事 .观点 4　┐S为“若 p则┐q” .按照观点 4的说法 ,若S为“若x≠ 1且y≠ 2 ,则x + y≠ 4” ,则┐S为“若x≠ 1且 y≠ 2 ,则x + y =4” .显然 ,S和┐S都为假 ,这与复合命题的真值表矛盾 ,这是什么原因呢 ?难道┐S不是“若 p则┐ q”吗 ?若不是 ,那又是什么呢 ?S的否定、否命题和┐S ,究竟有什么区别和联系 ,这正是许多师…     

何时使用符号“(非汉字符号)”?

“ ”是数学推理中经常使用的符号 .命题“若ｐ则 ｑ”为真时 ,我们记作“ｐ ｑ” .可见 ,“ｐ ｑ”所表示的不是一个等待判断真假的命题 ,而是一个已经证明为真的命题 .但不少人甚至某些所谓权威资料 ,往往错误的使用这个符号 .如错例 1　ａ ,ｂ都是实数 ,写出命题“ａ =0 ａｂ=0”的逆命题、否命题和逆否命题 ,并分别判断它们的真假 .解　①逆命题 :ａｂ =0 ａ =0 .逆命题为假 .②否命题 :ａ≠ 0 ａｂ≠ 0 .否命题为假 .③逆否命题 :ａｂ≠ 0 ａ≠ 0 .逆否命题为真 .不妨看一看语句① .一方面 ,用“ ”表示该命题 ,另一方面又将它判…     

“或”、“且”、“非”命题的判定及构造

若 ｐ ,ｑ表示命题 ,把“ｐ或 ｑ”、“ｐ且ｑ”、“非 ｐ”形式的命题分别简称为“或”命题、“且”命题、“非”命题 .要正确理解“或”、“且”、“非”的含义 ,只有掌握这三种复合命题的判定与构造 .下面就此谈谈看法 ,仅供参考 .1　“或”、“且”、“非”命题的判定含“或”、“且”、“非”的命题有的不是复合命题 ,如 :( 1 )实数的平方是正数或零 .( 2 )若ｘ >1或ｘ <- 1 ,则ｘ >0 .( 3)ｘ2 -ｘ - 6 <0的解是ｘ >- 2且ｘ <3.( 4 )一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .( 5)非零实数的零次幂等于 1 .容易看出 ,( 1 )、( 3)、( 4 …     

辨析命题的否定、命题的否命题

在简易逻辑这一节中,我们学习了命题的概念,在这一节中出现了两个极易混淆的概念:命题的否定与命题的否命题.有些同学在写原命题的否命题时,仅写了对结论的否定;还有一些同学用反证法证明问题时,却假设条件和结论都不成立.说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念.事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念,否命题既否定条件又否定结论,而命题的否定只否定结论.那么,它们是如何定义的呢?在解题中又应该注意那些问题呢?1.掌握一些常用词语的否定形式例如:等于→不等于;大于→不大于;小于→不小于;是→不是;都是→不…     

命题的引伸

命题 1　求证 :等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和等于一腰上的高 (义教初中几何第二册 197页Ｂ组第 2题的 (1) ) .证明　如图 1,设Ｐ为底边ＢＣ上任意一点 ,Ｐ到两腰的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,腰ＡＢ =ＡＣ =ａ ,腰上的高为ｈ ,连结ＡＰ ,图 1则　Ｓ△ＡＢＰ+Ｓ△ＡＣＰ=Ｓ△ＡＢＣ ,即　 12 ａｒ1 + 12 ａｒ2 =12 ａｈ .∴　ｒ1 +ｒ2 =ｈ .如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ,那么Ｐ点的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点” ,即有如下命题 :命题 2　已知等边△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离分别为ｒ1 、ｒ…     

关于“命题的否定”之我见

一次听课,听到老师这样给学生小结:否命题与命题的否定不是一回事,否命题是将原命题的条件和结论同时否定,命题的否定只要把原命题的结论否定就可以了,例如"若x>3则x>1"的否命题是"若x≤3则x≤1",命题的否定是"若x>3则x≤1",课后笔者与授课老师交换了意见,认为这番小结一半正确,一半不正确,不料这位老师说,他是根据教学参考书上小结的.     

一个逆否命题的辨析课例

导言 :前面我们学习了四种命题之间的关系 ,我们知道 ,将一个命题“若 ｐ则 ｑ”的条件和结论交换 ,并同时否定所得到的新命题“若┒ ｑ则┒ ｐ”就是原命题的逆否命题 ,根据这一法则 ,请同学们写出命题 :“若ａ ,ｂ全为 0 ,则ａｂ =0”的逆否命题 .抽一名中等水平的学生甲在黑板上写出 ,其余学生在下面练习 .学生甲写出的逆否命题是 :“若ａｂ≠ 0 ,则ａ≠ 0且ｂ≠ 0” .教师 :请同学们根据自己的思考 ,试判断学生甲写出的逆否命题是对还是错 ?学生乙 :甲写出的逆否命题正确 !教师 :请你 (学生乙 )说明你的判断理由学生乙 :因为一个命题与…     

一个几何极值问题

如图 1 ,在河岸ａ同侧有两个村庄Ａ ,Ｂ ,要在河边Ｃ处建一水泵站 ,并沿ＣＰＡＢ的路线铺设水管 ,怎样选择Ｐ ,Ｃ两点可使所用的水管总长最短 ?因为ＰＣ⊥ａ ,关键是确定Ｐ点的位置 .因而问题可以简述为 :Ａ ,Ｂ是直线ａ同侧两点 ,在平面上求一点Ｐ ,使Ｐ到Ａ ,Ｂ及直线ａ的距离之和最小 .以下称这一问题为问题Ｌ .设Ａ ,Ｂ在ａ上的射影是Ｄ ,Ｅ ,ＡＤ=ｐ ,ＢＥ=ｑ ,ＤＥ =ｓ.恒设ｑ≥ｐ>0 ,ｓ>0 .如图 2 ,取Ｄ为原点 ,直线ａ为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ(0 ,ｐ)Ｂ(ｓ,ｑ) .作ＡＥ′∥ＤＥ .交ＢＥ于Ｅ′ .显然 ,若Ｐ是问题Ｌ的最小值点 ,则…     

关于"若p则q"的否定

贵刊 2 0 0 1年第 7期《对“集合与简易逻辑”的教材分析与建议》一文在谈到否命题与命题的否定的区别时有下面这样一段话 :如果原命题是“若 p则 q”,那么这个原命题的否定是“若 p则非 q”,即只否定结论 ;而原命题的否命题是“若非 p则非 q”,即既否定条件又否定结论 .因此笔者认为 ,上面那一段话中将命题“若 p则 q”的否定说成是“若 p则非 q”是一种错误说法 .为清楚起见 ,列出真值表如下 :p q非 q若 p则 q若 p则非 q假假真真真假真假真真真假真假真真真假真假由上面的真值表可以看出 ,命题“若 p则非 q”与“若 p则 q”的真假性并不是…     

立体几何中的几个反例

我们知道 ,要断定一个命题是真命题 ,必须要进行严格的论证 ,即证明对满足题设的所有情况结论都正确 .但要否定一个命题却只要举出一个反例即可 .因此 ,当我们难以肯定一个命题是真命题时 ,就应考虑是否能够找到一个满足题设却不是题中结论的例子 (即反例 ) ,若能找到 ,便可以判定该命题是假命题 .现就立体几何中的几个假命题举反例如下 ,供大家参考 .命题 1　侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 .图 1　命题 1的反例示意图反例　如图 1,令三棱锥Ｖ ＡＢＣ中的棱ＶＡ=ＶＢ =ＢＣ =ＡＣ ,ＡＢ =ＶＣ ,ＶＡ≠ＡＢ ,则三棱锥Ｖ ＡＢＣ是…     

一类易错的命题构造问题

问题 原命题p:“若√a＞√b,则a＞b”.写出命题p的逆命题,否命题及逆否命题. 这是一道测试题,测试的结果是,年级400名左右的学生几乎都得出如下答案. 逆命题:“若a＞b,则√a＞√b”. 否命题:“若√a≤√b,则a≤b”. 逆否命题:“若a≤b,则√a≤√b”.教师也大都认同以上答案.参考答案也是如此.然而仔细想一想就会发现问题.     

关于抛物线的两个命题的推广

许多资料证明了下列两个命题 :命题 1　过原点Ｏ引抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的两条互相垂直的弦ＯＰ、ＯＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ,Ｏ)命题 2　设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )和原点Ｏ ,过定点Ｍ(2ｐ,Ｏ)的动直线ｌ与抛物线相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则∠ＰＯＱ恒为直角 .本文对这两个命题做一推广 .命题 1的推广　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上的定点Ａ(ａ ,ｂ)引抛物线的两条互相垂直的弦ＡＰ、ＡＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ａ ,-ｂ) .证明　设Ｐ ｙ21 2ｐ,ｙ1 、Ｑ ｙ222ｐ,ｙ2 (ｙ1 ≠ｙ2 ) ,则直线ＰＱ的方程为(ｙ-ｙ1 ) ｙ222ｐ- ｙ21 2ｐ …     

关于三角形面积划分的一个命题及其应用

关于三角形面积划分的一个命题及其应用２６４４００山东省文登市广播电视大学褚学璞已知凸ＡＢＣ三边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢｆｏｒ别有。＿＿＿＿ＢＰ．ＣＱＡＲ＿＿＿点Ｐ、Ｑ、Ｒ且干＞一Ａ，云生一Ｐ，三百一ｙ．求由”‘”””””“““ＰＣ’”’ＱＡ””ＲＢ’””““...     

争鸣

问题 6　 某教师在讲授“ａ ,ｂ全为0”的否定时 ,采用如下方式进行 .“ａ ,ｂ全为 0” ,即是ａ =0且ｂ =0 .我们把ａ =0且ｂ =0记作一个命题 ｐ ,只有当ａ =0且ｂ =0时命题 ｐ才是真命题 ,其它情况都是假命题 ,它们都属于非 ｐ .非 ｐ包含三种情况 :①ａ =0且ｂ≠ 0 ;②ａ≠ 0且ｂ =0 ;③ａ≠ 0且ｂ≠ 0 ,这三种情况概括为 :ａ ,ｂ中至少有一个不等于 0 ,即ａ ,ｂ不全为 0 ,因此“ａ ,ｂ全为 0”的否定 (即非ｐ)应该是“ａ ,ｂ不全为 0” .上述讲授方式是否科学 ?问题 7　 下面的陈述是否恰当 :“或”命题是两个命题至少有一个存在的复合命…     

正四棱锥的概念中几个易误判的命题

1　四个侧面是全等的三角形 ,且各侧面和底面所成的角都相等的四棱锥是正四棱锥图 1　问题 1图错　反例 :作菱形ＡＢＣＤ ,过对角线ＡＣ ,ＢＤ的交点Ｏ作平面ＡＢＣＤ的垂线 ,在垂线上任意取一点Ｐ ,连结ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ ,ＰＤ .则四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ满足题设条件 ,但它却不一定是正四棱锥 .2　各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥错　反例 :在上题中 ,适当地选取Ｐ点的位置 ,使ＯＰ =ＯＢ .一般地 ,当菱形的锐角为θ边长为ａ时 ,取ＯＰ =ａｓｉｎ θ2 ,则可得ＡＰ =ＡＢ ,ＡＰ =ＡＤ ,ＣＰ =ＣＢ ,ＣＰ =ＣＤ ,因而四棱锥Ｐ ＡＢＣ…     

上期课外练习参考解答

初一年级1.50 .2 .令　Ｃ =1× 2× 3×…× 10 0 2 ,Ｄ =2× 4× 6×…× 2 0 0 4 .∵　Ａ·Ｃ =Ｂ·Ｄ ,∴　 ＡＢ =ＤＣ =2 10 0 2 .3.周长为 3× ( 43) 3 =6 4初二年级1.∵　ｐ2 +ｑ2 =ｐ2 ·ｑ2 ,　∴　 1ｐ2 +1ｑ2 =1.∴　原式 =ｐ|ｑ|- ｑ|ｐ|.当 ｐ <0 <ｑ时 ,原式 =ｐ2 +ｑ2ｑ·ｐ =ｐｑ ,当ｑ <0 <ｐ时 ,原式 =- ｐｑ .图 12 .如图 1,由于ＡＢＣＤＥＦ的各内角都是钝角 ,那么ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三边所在直线 ;ＢＣ、ＤＥ、ＡＦ三边所在直线 ,分别可构成△ＰＱＲ、△Ｐ′Ｑ′Ｒ′ ,而∠Ｐ =∠ＡＢＣ -∠ＰＣＢ ,∠Ｐ′ =∠ＤＥＦ -∠…     

互否命题间的关系应用两例

当原命题与它的逆命题同时为真时,原命题的否命题也一定为真,因为两个互为逆否的命题等价。这种关系可简示为:“若A■B,则ā■■”,我们在解题时,经常碰到“已知A■B,求ā■?”形式的题目。若利用互否命题间的关系来求解,便有思路明晰,叙述清楚的优点。下面介绍两个例子。例1 求常数m的范围,沿曲线y=x~2上运动的不同的二点P、Q无论在什么位置时,二点P、Q均不对称直线y=m(x-3),(m≠0)。     

寻找亲和数的艰辛岁月

人和人之间讲友情,有趣的是,数与数之间也有相类似的关系．如数论中有一种数叫“亲和数”．什么叫亲和数？定义对于自然数ｐ和ｑ,若除ｐ本身以外ｐ的所有真因数之和等于ｑ,而除ｑ本身以外ｑ的所有真因数之和恰好等于ｐ,则ｐ和ｑ是一对亲和数．例如２２０的所有真因数...