等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

数列中的充要条件

充要条件是高中数学的一个重要概念 ,很多知识可以和它相联系 ,数列也不例外 .现总结一下 ,供同学们学习数列时参考 .命题 1　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是它的通项公式为ａｎ=ａ·ｎ ｂ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 2　已知数列 {ａｎ} ,Ｓｎ 为其前ｎ项和 ,则数列为等差数列的充要条件是Ｓｎ=ａｎ2 ｂｎ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 3　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是2ａｎ=ａｎ 1 ａｎ - 1(ｎ∈Ｎ 且ｎ≥ 2 ) .命题 4　三数ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列的充要条件是ｂ =ａ ｃ2 .命题 5　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=…     

数列

选择题1　数列 1,0 ,1,0 ,…的一个通项公式是 (　　 )(Ａ)ａｎ=1- (- 1) ｎ 12 .(Ｂ)ａｎ=1 (- 1) ｎ 12 .(Ｃ)ａｎ=(- 1) ｎ- 12 .　 (Ｄ)ａｎ=- 1- (- 1) ｎ2 .2　ａｃ =ｂ2 是ａ ,ｂ,ｃ成等比数列的 (　　 )(Ａ)充分不必要条件 .(Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .(Ｄ)既非充分也非必要条件 .3　在等差数列 {ａｎ}中 ,Ｓ15=15 0 ,则ａ8为 (　　 )(Ａ) 10 .　 (Ｂ) 12 .　 (Ｃ) 15 .　 (Ｄ) 16 .4　在等比数列中 ,ａｍ ｎ=Ａ ,ａｍ -ｎ=Ｂ ,则ａｍ 等于(　　 )(Ａ)ＡＢ .　　　　 (Ｂ)±ＡＢ .(Ｃ)Ａ Ｂ . (Ｄ) Ａ Ｂ2 .5　若数…     

一道数列综合题的解法分析

题 1　已知 {ａｎ}是等差数列 ,其公差为ｄ ;{ｂｎ}是等比数列 ,其公比为 ｑ >1 .若ａ2 =ｂ2 =2 ,ａ4=ｂ4.1 )比较ａ1与ｂ1,ａ3与ｂ3的大小 ;2 )猜想并证明ａｎ 与ｂｎ 的大小关系 (ｎ≥ 5 ) .这是成都市 2 0 0 0届高三第一次诊断考试理科数学第 2 3题 ,试题遵循了“能力立意、强调综合、注重数学思想和方法考查”的高考命题原则 ,载体平凡 (等差数列和等比数列 ) ,综合度高 (基础知识和基本数学思想方法两方面都有体现 ) ,总体难度较大 ,可谓整套试卷的把关题之一 ,下面就解题思路的获得和解题方法的优化等谈谈我们的看法 ,供读者参考 .1　…     

构造数列的和或积证明不等式

一类与自然数有关的不等式证明题是高考的热点问题 ,最常规的证明方法是数学归纳法和放缩法等 .但数学归纳法证明往往过程较繁 ;用放缩法时则盲目性较大 .对于两个数列 {ａｎ}与 {ｂｎ} ,有下面的结论 :1)若ａｎ<ｂｎ,则ａ1+ａ2 +… +ａｎ<ｂ1+ｂ2 +…+ｂｎ;2 )当ａｎ>0 ,ｂｎ>0时 ,若ａｎ<ｂｎ,则ａ1·ａ2 ·…·ａｎ<ｂ1·ｂ2 ·…·ｂｎ.证明某些数列不等式时若能利用此性质 ,则可使证明过程简捷明快 .1　ａ1+ａ2 +… +ａｎ<Ｂｎ 型可以构造数列 {ｂｎ} ,使得ｂ1+ｂ2 +… +ｂｎ=Ｂｎ,只需证明ａｎ<ｂｎ 即可例 1　 (1992年“三南”高考试…     

综合题新编选登

题 4 9　 设数列 {ａｎ}为等差数列 ,且ａｎ<ａｎ + 1,前 6项的平方和为 70 ,立方和为0 .1 )求 {ａｎ}的通项ａｎ;2 )在平面直角坐标系内 ,直线ｌｎ 的斜率为ａｎ,且与曲线 ｙ =ｘ2 相切 ,与 ｙ轴交于Ｂｎ,记ｂｎ=|Ｂｎ + 1Ｂｎ| ,求ｂｎ;3)对于 2 )中数列 {ｂｎ},求证 :ｓｉｎｂ1+ｓｉｎｂ2 +… +ｓｉｎｂｎ <32 .解　 1 )依题意 ,有 :ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ24+ａ25 +ａ26=70 ,ａ3 1+ａ3 2 +ａ3 3 +ａ3 4+ａ3 5 +ａ3 6=0 .∵ {ａｎ}为等差数列 ,∴ａ1+ａ6=ａ2 +ａ5 =ａ3 +ａ4.若ａ1+ａ6>0 ,得到 :ａ3 1+ａ3 6=(ａ1+ａ6) (ａ21+ａ1ａ6+ａ26)>0…     

用一个数列题的求解来看此题的设计

1　一个数列例题例题　在数列 {ａｎ}中 ,Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ,ａ1 =1 .(ｎ∈Ｎ)(1 )设ｂｎ =ａｎ 1 - 2ａｎ,求证 :数列 {ｂｎ}是等比数列 .(2 )设ｃｎ =ａｎ2 ｎ,求证 :数列 {ｃｎ}是等差数列 .(3 )求数列 {ａｎ}的通项公式及前ｎ项和公式 .如果按部就班地做 ,这道题并不难 .但是若抛开 (1 )、(2 )问直接解答 (3 )就需要坚实的数列基础知识 ,分析如下 :解　由Ｓｎ 1 =4ａｎ 2　　① ,知Ｓｎ 2 =4ａｎ 1 2②② -①得 :Ｓｎ 2 -Ｓｎ 1 =4(ａｎ 1 -ａｎ)即 :　　　ａｎ 2 =4(ａｎ 1 -ａｎ)转化为已知首项ａ1 =1及连续三项的递推关系式 ,求ａｎ …     

高二同步测试题

数　　列选择题1　互不相等的三正数ｘ ,ｙ ,ｚ成等比数列 ,则三个数ｘ ｙ ,ｘｙ ｙｚ,ｙ ｚ成 (　　 )(Ａ)等差数列 .　　 (Ｂ)等比数列 .(Ｃ)常数数列 .(Ｄ)既非等差又非等比数列 .2　在△ＡＢＣ中 ,ｔｇＡ是以 - 4为第三项 ,4为第七项的等差数列的公差 ,ｔｇＢ是以 13为第三项 ,9为第六项的等比数列的公比 ,则这个三角形是(　　 )(Ａ)钝角三角形 .　 (Ｂ)等腰直角三角形 .(Ｃ)锐角三角形 .　 (Ｄ)非等腰的直角三角形 .3　已知等比数列 {ａｎ}的公比 ｑ =- 13,则ａ1 ａ3 ａ5 ａ7ａ2 ａ4 ａ6 ａ8等于 (　　 )(Ａ) - 13.　 (Ｂ) - 3.　 …     

1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

数列极限、数学归纳法

选择题1　下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,则ｌｉｍｎ→∞ａ2 ｎ=α2 .(Ｂ)若ｌｉｍｎ→∞ ａ2 ｎ=α2 ,则ｌｉｍｎ→∞ａｎ=±α.(Ｃ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=β,则ｌｉｍｎ→∞(ａｎｂｎ) =αβ .(Ｄ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=∞ ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=0 ,则ｌｉｍｎ→∞ ａｎ·ｂｎ=0 .2　若 |ａ 2 | 2ｂ - 1=0 ,ａ ,ｂ∈Ｒ ,则无穷等比数列ａｂ ,ｂ ,ｂａ ,…的各项和为 (　　 )(Ａ) - 2 .　 (Ｂ) - 23.　 (Ｃ) 34 .　 (Ｄ) 2 .3　若ｌｉｍｎ→∞[12 - (ｒ1 ｒ) ｎ]=12 ,则ｒ的取值范围是(　　 )(…     

正项等比数列的一个性质

设 {ａｎ}是以 ｑ为公比的正项等比数列 ,则有　 ｎａ1ａ2 …ａｎ=ｎａ1·ａ1ｑ·…·ａ1ｑｎ -1=ｎａｎ1ｑｎ(ｎ -1)2 =ａ1ｑｎ -12 .设ｍ <ｎ2 ,则ｎ - 2ｍ ａｍ 1ａｍ 2 …ａｎ -ｍ=ｎ - 2ｍ ａ1ｑｍ·ａ1ｑｍ 1·…·ａ1ｑｎ -ｍ -1=ｎ - 2ｍ ａ1ｎ -2ｍｑ(ｎ -1) (ｎ -2ｍ)2 =ａ1ｑｎ -12 .∴ ｎａ1ａ2 …ａｎ=ｎ- 2ｍ ａｍ 1ａｍ 2 …ａｎ -ｍ(1 )这就是说正项等比数列的前ｎ项的几何平均数等于这ｎ项的中间ｎ - 2ｍ (ｎ >2ｍ)项的几何平均数 .记数列前ｎ项的积为 ｎ,则 (1 )式可以写成ｎ ｎ=ｎ- 2ｍ ｎ -ｍ ｍ (2 )对于 (2 )…     

一道竞赛试题的推广

20 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题中的第 1 5题是这样的 :设数列 {ａｎ}是一个公差不为零的等差数列 ,ａ5 =6 .1 )当ａ3 =3时 ,请在数列 {ａｎ}中找一项ａｍ,ｍ >5,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｍ 成等比数列 ;2 )当ａ3 =2时 ,若自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,… ,满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,且ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…是等比数列 ,求ｎｔ.3)如果存在自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,…满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…构成一个等比数列 ,求证整数ａ3 必为 1 2的正约数 .这是一道很好的考题 …     

函数观点下的等差数列

等差数列是一类特殊函数 ,用函数思想理解等差数列能加深对其概念和公式的理解和运用 ,加强知识点间的联系 .1　一次函数等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+ (ｎ - 1)ｄ =ｎｄ+ (ａ1-ｄ) ,它是关于ｎ的一次函数 ,其图象是一条直线上的点 ,求和公式Ｓｎ=ｎａ1+ ｎ(ｎ - 1)ｄ2 可变形为 Ｓｎｎ =ａ1+ ｎ - 12 ·ｄ ,也是关于ｎ的一次函数 .因此 ,对于涉及到等差数列的有关问题 ,有时可利用一次函数的性质及图象求解 .例 1　在等差数列 {ａｎ}中 ,ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ(ｍ≠ｎ) ,求ａｍ +ｎ.解　设等差数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则ａｎ=ｎｄ +(ａ1-ｄ)是关…     

从2000年高考（上海）卷第12试题谈起——新题型．导向功能．一点建议

上海 2 0 0 0年高考文、理卷的第 1 2题 ,是一道首次露面的类比猜测的新题型 :“在等差数列 {ａｎ}中 ,若ａ1 0 =0 ,则有等式ａ1 ａ2 … ａｎ =ａ1 ａ2 …ａ1 9-ｎ(ｎ <1 9,ｎ∈Ｎ)成立 .类比上述性质 ,相应地 :在等比数列 {ｂｎ}中 ,若ｂ9=1 ,则有等式　　　　　成立 .”这种新题型的特点在于 :明确要求用类比猜测的思考方法 ,将某个数学对象中的已知性质 ,合情推理出另一个数学对象中的相应结果 .其思维的推理过程区别于传统的逻辑推理过程 ,极具创造性 .1　类比猜测的解题思路本题规定用类比的方法推出结果 .这首先得明确这里要比较…     

等差数列的又一个有趣性质

在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ　若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ　若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- …     

等差数列中的线性关系及其功能挖掘

等差数列的通项公式为ａｎ=ａ1 (ｎ - 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,这表明ａｎ 与ｎ成线性关系 .它的前ｎ项和公式为Ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ - 1)2 ｄ ,变形后得 Ｓｎｎ =ｄ2 ｎ (ａ1- ｄ2 ) ,显然 ｆ(ｎ) =Ｓｎｎ 与ｎ也成线性关系 .从解析几何的观点看 ,点集 {Ｐｎ(ｎ ,ａｎ) }和{Ｑｎ(ｎ ,Ｓｎｎ) }中的点分别共线 ,把此关系与直线方程的形式作比较 ,不难得出关于ａｎ,Ｓｎｎ 的以下三种形式 :①ｄ =ａｎ-ａｍｎ -ｍ ;○1′ ｄ2 =Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ .② ａｎ-ａｍｎ -ｍ =ａｋ-ａｎｋ -ｎ ;○2′Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ =Ｓｋｋ - Ｓｎｎｋ -ｎ …     

涉及方阵、三角阵的数列新题型

20 0 1届高三毕业班复习中 ,我们选择了平时学生很少接触的一类值得回味的很有价值的新题型 ,特介绍给读者 .题目 1　ｎ2 (ｎ≥ 4 )个正数排成如下所表示的ｎ行ｎ列 ,其中每一横行均成等差数列 ,每一纵列均成等比数列 ,且公比相等 .ａ11　ａ12 　ａ13　…　ａ1ｎａ2 1　ａ2 2 　ａ2 3　…　ａ2ｎａ31　ａ32 　ａ33　…　ａ3ｎ……ａｎ1　ａｎ2 　ａｎ3　…　ａｎｎ若ａ2 4 =1,ａ4 2 =18,ａ4 3 =316,求 :ａ11 ａ2 2 ａ33 … ａｎｎ的值 .先给出本题的解法 .由ａ4 2 =18,ａ4 3=316知第四行公差ｄ4 =116.∴ａ4 4 =ａ4 3 ｄ4 =14.又每一列成等…     

对一类和式的估值

设 {ａｎ}为递增的正项等差数列 :ａｎ=ａ1 (ｎ -1)ｄ ,ｎ∈Ｎ ,其中ａ1 ,ｄ >0 ,本文讨论和式 ｎｋ =1 ａｋ=ａ1 ａ2 … ａｎ的估值不等式与近似值公式 ,并举例说明其应用 .定理 1　设ｄ≤ 10ａ1 ,则对任意ｎ∈Ｎ ,有　　ｍｎ≤ ｎｋ =1 ａｋ≤Ｍｎ (1)当且仅当ｎ =1时式中等号成立 ,其中ｍｎ =4ａｎ 3ｄ6ｄ ａｎ ｄ2 4ａｎ　 -(4ａ1 -3ｄ6ｄ ａ1 ｄ2 4ａ1) ,Ｍｎ =4ａｎ 3ｄ6ｄ ａｎ ｄ2 4ａｎ　 -ｄ3192 0ａ2ｎ ａｎ-(4ａ1 -3ｄ6ｄ ａ1　 ｄ2 4ａ1-ｄ3192 0ａ31 ａ1) .定理 1的证明要用到下面两个引理 .引理 1　设ｘ≥ 110…     

1999年高中数学联赛试题第五题的四种解法

题目　给定正整数ｎ和正数Ｍ .对于满足条件ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ的所有等差数列ａ1 ,ａ2 ,ａ3 ,… ,试求Ｓ =ａｎ 1 ａｎ 2 … ａ2ｎ 1 的最大值 .解法 1　 (判别式法 )设公差为ｄ ,则　　Ｓ =ａｎ 1 ａｎ 2 … ａ2ｎ 1=(ｎ 1)2 (ａｎ 1 ａ2ｎ 1 )=(ｎ 1)2 ( 2ａ1 3ｎｄ)=(ｎ 1) (ａ1 3ｎ2 ｄ) .令ｔ =ａ1 3ｎ2 ｄ ,则ａ1 =ｔ- 3ｎ2 ｄ ,ａｎ 1 =ａ1 ｎｄ .∵ａ21 ａ2 ｎ 1 ≤Ｍ ,∴ (ｔ- 3ｎ2 ｄ) 2 (ｔ- 3ｎｄ2 ｎｄ) 2 ≤Ｍ ,即 5ｎ2 ｄ2 - 8ｎｄｔ 4ｔ2 - 2Ｍ≤ 0 .∵ｄ∈Ｒ ,∴Δ =( 8ｎ…     

归纳、猜想、证明——求数列通项的一种思路

数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题的一种方法 .在解数列题中 ,我们可用数学归纳法得到所求数列的通项 ,当然 ,先要进行观察、归纳与猜想 .例 1　设无穷数列 {ｂｎ}的前ｎ项和为ｃｎ,且ｂｎ+ｃｎ=ｎ (ｎ∈Ｎ) .(1)求证 :数列 {1-ｂｎ}为等比数列 ;(2 )求ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 (ｃ1 +ｃ2 +… +ｃｎ) .分析　首先观察 :ｎ =1时 ,ｂ1 +ｃ1 =2ｂ1 =1有ｂ1 =12 ;ｎ =2时 ,ｂ2 +ｃ2 =ｂ1 + 2ｂ2 =2 ,有ｂ2=34;ｎ =3时 ,ｂ3+ｃ3=ｂ1 +ｂ2 + 2ｂ3=3 ,有ｂ3=78,……由 (1)提示知 1-ｂ1 =12 ,1-ｂ2 =14 ,1-ｂ3=18,……故猜想 1-ｂｎ=(12 ) ｎ,即　ｂｎ=1…