一道课本习题的推广

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3．5第7题．已知数列{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列．笔者通过探究,得到如下推广结论推广1已知数列{a_n}成等比数列,S_n是其前     

一道课本习题的推广

在人教社普通高中课程标准教科书数学选修2—1第50页上有如下一道题：     

一道课本习题的推广和应用

教材《解析几何》（必修）P88第8题为：命题1过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1；y2。，则y1y2＝-p2．不难证明，这个命题的逆命题也成立：命题2一条直线与抛物线y2＝2px相交的两个交点的纵坐标为y1、y2．若y1y2＝－p2，那么这条直线过抛物线的焦点．由命题1和命题2，可得：命题3直线和抛物线y2＝2px相交，两交点的纵坐标为y1、y2，那么，这条直线过抛物线焦点的充要条件是：y1y2＝－P2．将命题3推广，则有：命题4一条直线和抛物线y2＝2px的两个交点的纵坐标为y1、y2，那么，这条直线过抛物线对称轴…     

一道课本习题结论的推广

人教版全日制普通高级中学教科书(必修),《数学》第一册(上)中,复习参考题三,B组第4题是:有两个等差数列{an},{bn},满足ba11 ba22 …… bann=7nn 32,求ab55的值.解答如下:ab55=22ab55=ab11 ab99=92×(a1 a9)92×(b1 b9)=ab11 ab22 …… ba99=7×99 3 2=1625,现将本题的结论作如下推广.结论1若两等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且TSnn=cann db(ac≠0),则bann=ST22nn--11=ca××((22nn--11)) db.证bann=22abnn=ab11 ab22nn--11=2n-12×(a1 a2n-1)2n-12×(b1 b2n-1)=TS22nn--11=ca××((22nn--11)) db,结论2若两等差数…     

一道课本习题的探究及延伸

<正>1原题呈现(北师大版数学九年级上第8页“做一做”)如图1,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗?为什么?2问题解决分析本题主要考查了菱形的定义及判定方法.很容易判断出重叠部分ABCD是菱形;可以先证其是平行四边形,再证一组邻边相等.而证明邻边相等的方法通常有两种:构造三角形全等或等积法.“纸条等宽”这一条件是解题的关键.具体证明方法如下:     

一道课本习题的证明与推广

现行高中及中师代数教科书中均有这样一道习题．求证：证明此题的方法高中、中师教学参考书上都是先证成立，然后由此式证得该题成立．此种方法比较特殊，学生往往感到突然，因为一般都很难想到先去推导公式笔者通过观察，发现此题的特点是各项系数成等差数列的组合数求和，教学时采用如下证法，并将这种证法推广到一般情形，可用来解决一系列的组合数求和问题．现将此法介绍如下，以飨读者．证明首先由二项式定理易证：（1）式与（2）式相加，其中（1）式第一项与（2）式第二项合并，（1）式第二项与（2）式第三项合并，以下依此类推，得：…     

一道课本习题的推广与应用

高中《平面解析几何》P.191第6题是:“已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证两条对角线互相垂直。”其逆命题就是初中《几何》第一册P.223练习第2题。我们将它们统一为:     

一道课本习题的探究及推广

苏教版数学必修4第3章“三角恒等变换”习题3．2第8题： 该问题设计得十分巧妙,20°,40°,80°是倍增的关系,而结果是一个很简洁的不含三角函数式的数值．那么这其中的“20”是如何想到的呢？本文就是来探究倍增的几个角的余弦值之积,要让积是一个不含三角函数式的简洁的数值,这些特殊角是如何设计出来的．     

一道课本习题的简解及推广

题目 8个篮球队中有两个强队.先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛,这两个强队被分在一个组内的概率是多少?(高中数学第二册(下A)P146第10题) 这道题目教师教学用书上给出了两种解法,本人经探索发现一种简捷明了的解法,介绍如下.     

一道课本习题的向量证法及推广

人民教育出版社《数学》（必修）第二册（上）第16页有这样一道题目： 求证：a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca．     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)     

一道课本习题的完善、推广及应用

现行高级中学课本《代数》(必修)上册Ｐ264第22(1)题是:在△ＡＢＣ中,求证ｔｇＡ ｔｇＢ ｔｇＣ=ｔｇＡｔｇＢｔｇＣ.本文试图:一说这道习题的纰漏,以期引导同学们严密地思考问题,培养思维的批判性和严谨性;二说这道习题的推广,以期引导同学们重视课本知识,培养思维的深刻性和创造性;三说这道习题的应用,以训练同学们灵活应变的数学素质,培养思维的灵活性和广阔性.1　完善　　我们知道,ｔｇπ2无意义,因而上述习题不严谨,应完善为:在非直角△ＡＢＣ中,求证:ｔｇＡ ｔｇＢ ｔｇＣ=ｔｇＡｔｇＢｔｇＣ.2　推广修正后的命题可推广为:定理　若Ａ…     

一道课本习题变式的推广及应用

文[1]中,徐建义老师利用《代数》(必修)下册P32第9题,给出几种变式,现将原题摘抄如下。     

一道习题的延伸

旋转既可以表示物体(图形)运动的过程,也可以表示物体(图形)运动后最终的位置与原先位置的关系,在数学中被称为图形的一种变换.在学习旋转的过程中,同学们要主动参与实践操作去体验感受旋转的意义与旋转的特征,会从旋转的角度去思考有关图形的数学问题.下面让我们从一道习题的延伸过程去体验一下旋转中图形的形成过程.例1画一个三角形,使通过这个三角形的旋转得到一个正三角形,并指出这是一个什么三角形,旋转中心和每次旋转的角度,需要旋转多少次才能完成这个图形?①分析:这个题目给了我们一个由三角形制作正三角形的方法.②解:如图(1),给出…     

一道课本习题的商榷

全日制普通高级中学教材 (试验修订本 (必修 )人民教育出版社编 )《数学》第一册 (下 )Ｐ 15 1复习参考题Ｂ组练习第 4题 :已知ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,求证 :|ａ| =|ｂ| ｃ⊥ｄ .我们认为由ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,|ａ| =|ｂ|并不能推出ｃ⊥ｄ .例 1　当ａ =ｂ=0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ =ｄ =0 .例 2　当ａ =ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｄ =0 .例 3　当ａ =-ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ=0 .以上三例虽然有 |ａ| =|ｂ| ,但均不能推出ｃ⊥ｄ(因为 0与任一向量平行 ) .综上所述 ,此题有误 .笔者认为应改为 :已知ｃ ,ｄ为非…     

一道课本习题的探究

我们知道,给定三角形的三边长a,b,c,且P=1/2（a＋b＋c）,则三角形的面积     

一道课本习题的引伸

作为新教师,挖掘教材内容,总结教学感悟,对于提高业务水平无疑是大有帮助的,我们将开辟“教学一得”栏目,供新老教师交流.     

一道课本习题的反思

课本是学生获得知识的“范本”,课本中的习题是教材编著者精心挑选或设计出来的,具有典型性、示范性和明确的针对性,而且是学生十分熟悉的．对习题的反思能使学生由会解一道题到会解一类题,由低层次到高层次,把数学思维提高到一个由例及类的档次,形成有效的“思维链”,加速数学思维的优化,同时对提高学生学习效率、发展概括能力、促进思维的更高层次发展有着重要作用．下面是我就新教材中的一道习题进行的反思．     

一道课本习题的探究

原题已知:△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD和BE的交点. 求证:BH=AC(人教版初中《几何》P116B组第2题).