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相似文献
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1.
化椭圆为圆的解题技巧尹光明(湖南茶陵云阳中学412400)对于椭圆方程x2a2+y2b2=1,若作变换x=x/a,y=y/b,{则椭圆方程变化为单位圆方程x2+y2=1,从而可以把某些有关椭圆的问题转化到单位圆中来解决,利用圆的特殊性质,往往...  相似文献   

2.
先看一个例题 :两轴和坐标轴重合 ,一个顶点和一个焦点分别是直线x + 3y - 6 =0与坐标轴的交点 ,求此椭圆的方程 .错解 :直线x + 3y - 6 =0与两坐标轴的交点分别为A(6 ,0 ) ,B(0 ,2 ) .若焦点在x轴上 ,则椭圆半焦距c =6 ,短半轴长b =2 ,于是a2 =b2 +c2 =4 0 .故其方程为x24 0 + y24 =1. (1)若焦点在 y轴上 ,则将 (1)中x ,y互换 ,得椭圆方程y24 0 + x24 =1(2 )错解分析 当焦点在x轴上时 ,推出的方程(1)是正确的 .但焦点在 y轴上时 ,得出的方程 (2 )就非所求了 .为什么呢 ?在方程 (2 )中 ,a =2 10 ,b =2 ,则c =6 .这…  相似文献   

3.
1 求离心率的值对于求曲线的离心率的值的题目 ,应从曲线的性质入手 ,通过距离之间的关系 ,来求离心率 .例 1  ( 1999年全国高考题 )设椭圆 x2a2 y2b2 =1(a >b >0 )的右焦点为F1 ,右准线为l1 .若过F1 且垂直于x轴的弦的长等于点F1 到l1 的距离 ,则椭圆的离心率是 .解 设F1 (c ,0 ) ,则右准线为l1 :y =a2c ,将x =c代入椭圆方程 ,得y =±b· a2 -c2a2 =± b2a .即过F1 的弦长为 2 |y| =2b2a .∴ a2c -c =a2 -c2c =2·b2a=2·a2 -c2a .故 e=ca =12 .例 2 根据下列条件分别求出各圆锥曲线…  相似文献   

4.
圆锥曲线间的有趣变换   总被引:1,自引:1,他引:0  
文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1 设椭圆C :x2a2 +y2b2 =1 (a>b>0 ) ,PP′是C上的垂直于x轴的一条弦 ,A(-a,0 ) ,A′(a,0 )是C的两个顶点 ,则直线PA与P′A′的交点在双曲线x2a2 -y2b2 =1上 .证明 设P(acost,bsint) ,则P′(acost,-bsint) ,直线PA :ybsint=x+aacost+a (1 )直线P′A′:y-bsint=x-aacost-a (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 x=asect,y=btant.所以x2a2 -y2b2 =1…  相似文献   

5.
我们知道 ,平面解析几何研究的主要问题之一就是通过方程研究平面曲线的性质 ,而在我们用方程研究圆锥曲线间的相关位置时 ,圆锥曲线的范围就不容忽视 .先看下面一个比较熟悉的例子 .题目 设椭圆的中心是坐标原点 ,长轴在x轴上 ,离心率e =32 .已知点P 0 ,32 到这个椭圆上的点的最远距离是 7,求这个椭圆的方程 ,并求椭圆上到点P的距离等于 7的点的坐标 .在同学们中有如下一种比较流行的解法 :解 由题意可设椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a >b >0 ) ,∵e =ca=32 ,∴a =2b,从而椭圆方程为 x24b2 + y2b2 =1 ( 1 )又以点P 0 ,…  相似文献   

6.
文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1 设P0 (x0 ,y0 ) (x20 + y20 ≠ 0 )是椭圆 x2a2+ y2b2 =1(a >b >0 )内一点 ,则过点P0 的弦中 ,有且仅有一条以P0 为中点 .证 设过P0 的直线的参数方程为l2 :x =x0 +tcosαy =y0 +tsinα (α为倾角 ,t为参数 ) ,代入 x2a2 + y2b2 =1,整理得(a2 sin2 α +b2 cos2 α )t2 + (2a2 y0 sinα +2b2 x0 cosα)t+a2 y20 +b2 x20 -a2 b2 =0 .若直线l2 截椭圆 x2a2 + y2b2…  相似文献   

7.
与椭圆 x2a2 + y2b2 =1共焦点的圆锥曲线系方程为         x2a2 -λ+ y2b2 -λ=1( )其中a >b >0 ,λ <a2 ,且λ≠b2 .当λ <b2 时 ,方程 ( )表示椭圆 ;当b2 <λ <a2时 ,方程 ( )表示双曲线 .对于焦点在 y轴上的椭圆 ,亦有相应的方程与结论 .巧用上述方程解题 ,可减少不必要的许多中间环节 ,下面举一例说明 .例 给定椭圆 x2b2 + y2a2 =1(a >b >0 ) ,求与这个椭圆共焦点的双曲线 ,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大 ,并求出这个最大值 .解 设所求双曲线方程为x2b2 -λ+ y2a2 -λ=1(b2 <λ <a2 ) …  相似文献   

8.
李继武 《数学通讯》2001,(17):18-19
设抛物线 y2 =2 px ,椭圆 x2a2 y2b2 =1和双曲线x2a2 - y2b2 =1,M (x ,y)是曲线上的动点 ,A(n ,0 )是它们过焦点的一条对称轴上的一定点 ,求 |MA |的最小值是圆锥曲线教学中常遇到的一个问题 ,也是用方程根的判别式难以解决的问题 .本文以它们统一的极坐标方程对其加以研究 .设焦点F为极点 ,Fx为极轴 .M(ρ ,θ) (ρ >0 ) ,则极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ.为方便运算 ,以F点为新原点 ,相应的直角坐标系x′F y′里 ,M点坐标为M(x′ ,y′) .图 1 二次曲线如图 1,极坐标系下A点坐标设为A (m ,0 ) ,…  相似文献   

9.
李金宽 《数学通报》2002,(12):32-33
文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1 M(x0 ,y0 )为抛物线y2 =2px上的一个定点 ,过M任作两条互相垂直的弦MP、MQ ,则直线PQ必过定点M′(x0 +2p ,-y0 ) ;命题 2 M(x0 ,y0 )为椭圆x2a2 +y2b2 =1上的一个定点 ,过M任作两条互相垂直的弦MP ,MQ ,则直线PQ过定点M′ a2 -b2a2 +b2 x0 ,- a2 -b2a2 +b2 y0 ;命题 3 M(x0 ,y0 )为双曲线x2a2 - y2b2 =1上的一个定点 ,过M任作两条互相垂直的弦MP、MQ ,若a≠b ,则直线PQ过定点M′ a2 +b2a2 -b2 x0 ,- a2 +b2a2 -b2 y0 ;若a =b ,…  相似文献   

10.
圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质   总被引:7,自引:5,他引:2  
笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q ,A1 、A2 为椭圆长轴上的顶点 ,A1 P和A2 Q交于点M ,A2 P和A1 Q交于点N ,则MF⊥NF .证明 如图1 .设椭圆方程为b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 ) ,F(c,o) ,P(acosα ,bsinα) ,Q(acosβ ,bsinβ) .则A1 P的方程为y= bsinαa(cosα 1 ) (x a) ,A2 Q的方程为 y=bsinβa(cosβ - 1 ) (x-a) .解这两个方程得x =a[sinα-sinβ-sin(α β) ]sin(α- β…  相似文献   

11.
现行高中课本《平面解析几何》(必修 )P75 例 2 ,求我国第一颗人造卫星的轨道方程 .在解答中默认了近地点A与远地点B就是椭圆长轴的两个端点 .但这一结论在课本中并没有证明 ,严格说来是不够严谨的 ,同时也容易让同学们产生疑惑 ,现给予补证 ,供同学们参考 .命题 椭圆 x2a2 y2b2 =1(a >b >0 )中 ,长轴右(左 )端点到右 (左 )焦点距离最短 ,到左 (右 )焦点距离最长 .证法 1 设P(x0 ,y0 )为椭圆 x2a2 y2b2 =1(a >b>0 )上任意一点 ,则 x20a2 y20b2 =1,又设右焦点为F2 (c,0 ) ,从而有|PF2 | =(x0 -c) 2 y2…  相似文献   

12.
圆锥曲线焦半径的一个性质   总被引:1,自引:1,他引:0  
厉倩 《数学通报》2002,(12):25-25
定理 1 A1 ,A2 为椭圆长轴上的顶点 ,F为椭圆的焦点 ,l为椭圆的与F对应的准线 ,P是椭圆上任一点 (除A1 、A2 外 ) ,设A1 P、A2 P分别与l交于M、N ,则①MF⊥NF ,②以MN为直径的圆与PF相切于F ,③FM平分∠PFA2 (如图 1 ) .图 1证明 ①设椭圆方程为b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,P(acosα ,bsinα) ,F(c ,0 ) ,l:x =a2c,A1 (-a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) .则A1 P :  y=bsinαa(cosα +1 ) (x+a) ,A2 P :  y =bsinαa(cosα - 1 ) (x -a) ,容易求得M a2c…  相似文献   

13.
直线方程x0x/a2-y0y/b2=1的几何意义   总被引:7,自引:3,他引:4  
文 [1 ]探讨了直线方程x0 xa2 +y0 yb2 =1的三种几何意义 ,读后深受启发 ,作为文 [1 ]的继续本文探讨直线方程x0 xa2 -y0 yb2 =1的几何意义 .定理 1 若点P(x0 ,y0 )在双曲线x2a2 -y2b2 =1上 ,则直线x0 xa2 -y0 yb2 =1是经过点P的双曲线的切线 .这只要在已知条件下证明联立方程 x2a2 -y2b2= 1与x0 xa2 -y0 yb2 =1消去y或x后的一元二次方程的判别式等于零即可 .定理 2 若点P(x0 ,y0 )在双曲线x2a2 -y2b2 =1 (a>0 ,b >0 )的外部 (不含焦点的部分 ) ,且点P不在双曲线的渐近线上 ,过点P引双…  相似文献   

14.
人民教育出版社出版的高中数学高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 ) (以下简称课本 )第 78页 ,是这样引入椭圆第二定义的 :图 2 -18“例 3 点M(x ,y)与定点F(c,o)的距离和它到定直线L:x =a2c 的距离的比是常数ca(a >c>0 ) .求点M的轨迹 (图 2 -1 8) .解 设d是点M到直线L的距离 .根据题意 ,所求轨迹就是集合P =M MFd =ca ,由此得 (x-c) 2 +y2a2c -x=ca 将上式化简 ,得 :(a2 -c2 )x2 +a2 y2 =a2 (a2 -c2 ) ,设a2 -c2 =b2 (b>0 ) ,就可化成x2a2 +y2b2 =1 .这是椭圆的标准方程 ,所…  相似文献   

15.
高一年级1.B ={m ,n},C ={ ,{m},{n},{m ,n}}.2 .设a→ =(x1 ,y1 ) ,b→ =(x2 ,y2 ) ,c→ =(x3 ,y3 ) ,则原方程可化为x1 x2 +x2 x+x3 =0y1 x2 +y2 x+y3 =0①②∵ a→ ,b→ 不共线 ,即a→ 与b→ 都不能为零向量 .∴ x1 ,y1 不同时为零 .( 1)若x1 与y1 中有一个为 0时 ,不妨设x1 =0 .则由a→ ,b→ 不共线知 ,x2 ≠ 0 ,由①得x =- x1 x2.这可能是②的解或不是②的解 ,即方程须有一组解或无解 .( 2 )若x1 与y1 都不为 0时 ,由① ,②解得x =x1 y3 -x3 y1 x2 y1 -x1 y2.(唯一解 )综上 …  相似文献   

16.
众所周知 ,半圆上的圆周角是直角 ,角两边所在直线斜率k1 ,k2 若存在 ,则k1 k2 =- 1 .圆的这一本质属性的揭示使解决圆的有关问题有了可遵循的规律 ,带来许多方便 .我们自然会猜想二次曲线 (如椭圆 )也能有类似的性质 .1 从与半圆上圆周角类比说起1 1 设P(x ,y)为圆x2 y2 =a2 上任意一点 ,且不在P1 (a ,0 ) ,p2 (-a ,0 )处 .kpp1 =k1 ,kpp2 =k2 则有 :k1 ·k2 =yx -a ·yx a =y2x2 -a2 =a2 -x2x2 -a2 =- 1 .反之 ,满足k1 ·k2=- 1的动点P(x ,y)的轨迹方程为 :yx -a· yx a =- 1   …  相似文献   

17.
应用焦半径解题 ,在高考中屡见不鲜 ,怎样又快又准地写出焦半径公式呢 ?笔者在教学中总结其方法如下 :设P(x0 ,y0 )是椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上的任意一点 ,F1(-c,0 ) ,F2 (c,0 )是焦点 ,易知椭圆的焦半径公式是 |PF1| =a +ex0 ,|PF2 | =a -ex0 .设P(x0 ,y0 )是双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 )上的任意一点 ,F1(-c ,0 ) ,F2 (c ,0 )是焦点 ,易知双曲线的焦半径公式是 |PF1| =|a +ex0 | ,|PF2 | =|a -ex0 | .椭圆和双曲线的焦半径公式均是 :当焦点F1在负半轴上时 ,公式为“a +e…  相似文献   

18.
如果称椭圆x2a2 + y2b2 =1与双曲线 x2a2 -y2b2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理 等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明 如图 ,设梯形ABCD的两腰与两条对角线分别相交于点E、F ,以EF中点为原点 ,EF所在直线为x轴建立直角坐标系 ,则A与B、C与D均关于x轴对称设经过点A ,E ,B ,F的椭圆方程为x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 ) ,A (x1 ,y1 ) ,B(x1 ,-y1 ) ,由F(a ,0 ) ,E(-a ,0 )得直线BD、…  相似文献   

19.
选择题1 给出如下四个命题 :①若a >b ,则ac2 >bc2 ;②若 ac2 >bc2 ,则a >b ;③若a≥b ,ac≥bc,则c≥ 0 ;④若a >b ,则lg(a2 1) >lg(b2 1) .其中正确命题的个数是 (   )(A) 1个 .  (B) 2个 .  (C) 3个 .  (D) 4个 .2 实数a ,b满足 0 <a <b且a b =1,则下列四个数中最大的是 (   )(A) 12 .     (B)a2 b2 .(C) 2ab . (D)a .3 设x >0 ,y >0 ,x y =1,则使 x y≤a恒成立的a的最小值是 (   )(A) 22 .       (B) 2 .(C) 2 . (D) 2 2 .4 已知 0 <2m <1,则…  相似文献   

20.
证明分母是多项式的某些分式不等式时 ,若将分母用其它变量替换 ,把所证不等式转化为较简单的不等式 ,往往可找到解题捷径 .例 1  (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 (十年级 ) )对任意a >1,b >1,求证 :a2b - 1 b2a - 1≥ 8.证 令b - 1=x ,a - 1=y ,则x ,y∈R ,a2b - 1 b2a - 1=(y 1) 2x (x 1) 2y≥(2 y) 2x (2x) 2y=4 (yx xy)≥ 8.当且仅当x =y =1,即a =b =2时等号成立 .例 2  (《中等数学》1996年第 1期数学奥林匹克问题 )设x ,y ,z∈R ,求证 :x2x y z yx 2 y z zx y 2z…  相似文献   

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