空间的角

空间中角的概念 ,包括异面直线所成的角 ,直线和平面所成的角和二面角 .1　异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义 ,平移其中的一条使之和另一条相交 ,就可以得到异面直线所成的角 .而平移通常是以作平行线的方法来达到这一目的 .图 1　例 1图例 1　 ( 1989年北京高一竞赛题 )如图 1,三棱柱ＡＢＣ -Ａ′Ｂ′Ｃ′中 ,全部九条棱长都等于 1,且∠Ａ′ＡＢ =∠Ａ′ＡＣ =∠ＢＡＣ ,Ｐ为侧面Ａ′ＡＢＢ′的对角线Ａ′Ｂ上的一点 ,Ａ′Ｐ =33,连ＰＣ′ ,求异面直线ＰＣ′与ＡＣ所成角的度数 .解　由Ａ′Ｃ∥ＡＣ ,故∠Ａ′Ｃ′Ｐ的度数即为异…     

求异面直线所成角的几种常用方法

求异面直线所成的角是立体几何中的一个重要内容 ,本文就一道习题的多种解法谈求异面直线所成角的几种常用方法 .图　 1题目　如图 1,已知两个边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ和ＡＢＥＦ所在平面互相垂直 ,求异面直线ＡＣ和ＢＦ所成角的大小 .解法 1　 (直接平移 )如图 1,在平面ＡＣ内过点Ｂ作ＢＰ∥ＡＣ与ＤＣ交于点Ｐ ,则∠ＦＢＰ与异面直线ＢＦ ,ＡＣ所成的角相等或互补 .由于正方形边长为ａ ,在△ＡＢＰ中用余弦定理计算得ＡＰ =5,在Ｒｔ△ＰＡＦ中 ,易得ＦＰ =6ａ ,在△ＢＰＦ中 ,由余弦定理知 ,ｃｏｓ∠ＦＢＰ =- 12 .∴ＡＣ与ＢＦ所成的角…     

平面、空间两条直线

本单元知识点及重要方法1)运用三个公理及三个推论解决共面、共点、共线的问题 .2 )空间二直线的三种位置关系及相关定理和问题 .其中异面直线的三个问题是重点 :①异面直线的判定有直接运用判定定理或用反证法进行判断的方法 ;②求异面直线所成角的方法一般为通过作平行线将异面直线所成角转化为相交直线所成角求解 ;③求异面直线距离的方法主要有直接找公垂线段的方法和转化为线面距离或点面距离求解的方法 .练　习 　选择题图 1　第 1题图1　 如图 ,ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1为长方体 ,Ｏ是Ｂ1 Ｄ1的中点 ,直线Ａ1 Ｃ交平面ＡＢ1 Ｄ1 于点…     

异面直线所成角的向量求法

对于异面直线所成角 ,若能构造向量 ,将异面直线所成角转化为两向量的夹角 ,利用向量的数量积公式 ,则可在不作出异面直线所成角的情况下 ,巧妙而简捷地求出异面直线所成角 .例 1　 (2 0 0 2年春季高考理科题 )在三棱锥Ｓ ＡＢＣ中 ,∠ＳＡＢ =∠ＳＡＣ =∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ= 13,ＳＢ =2 9.图 1　例 1图1)证明ＳＣ⊥ＢＣ ;2 )求异面直线ＳＣ与ＡＢ所成角的大小 .解　如图 1,1)∵ＳＡ⊥ＡＢ ,ＳＡ⊥ＡＣ ,∴ＳＡ⊥面ＳＡＢ ,∴ＳＡ⊥ＢＣ .∴ＳＣ·ＢＣ =ＳＡ +ＡＣ·ＢＣ =ＳＡ·ＢＣ +ＡＣ·ＢＣ =0 + 0 =0 ,故ＳＣ⊥ＢＣ .2 )…     

借助第三平面作无棱二面角的棱

同学们对二面角历来都感到困难 ,尤其是无棱的二面角 ,更感到无章可循 .本文将从同时与二平面相交的第三平面入手考虑 .因为二平面与第三平面分别有一条相交直线 ,又这两条直线同时在第三平面内 ,其位置关系只有两种情况 :相交与平行 .若两条直线相交 ,由公理2知 ,交点必在二平面的交线上 ,由此可作出棱 ;若两条交线平行 ,由线面平行的判定和性质知 ,两条直线必与二平面的交线平行 ,由此图 1可作出棱 .例 1　底面是直角梯形的四棱锥Ｓ ＡＢＣＤ ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥底面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 ,求面ＳＣＤ与面ＳＡＢ所…     

构造法求异面直线所成角

异面直线所成角是研究异面直线位置关系的一个重要度量,求解异面直线所成角的基本方法是"平移",在具体的求解过程中还需要辅以"补形"、"取点"等手段与方法.下面就"平移构造"、"补形构造"、"取点构造"三法求异面直线所成角     

利用平面向量探求异面直线所成角的问题

由于老教材没有引入平面向量知识 ,因此 ,我们是用平移法求解异面直线所成角的问题 ,现行高中新教材第一册 (下 )引入了平面向量的有关知识 ,这为我们求解异面直线所成角的问题开辟了一条新道路 .即要求异面直线ｌ1与ｌ2 的所成角 ,我们可在异面直线ｌ1,ｌ2 上分别选定两个非零向量ａ与ｂ ,设向量ａ与ｂ夹角为θ,然后先求出ａ与ｂ的数量ａ·ｂ ,再根据公式ｃｏｓθ =ａ·ｂａ·ｂ 便可求出θ ,但要注意 :因规定θ∈ [0 ,π],若求出的θ是一个钝角 ,则异面直线ｌ1与ｌ2 所成角是θ的补角 .下面我们用向量法 ,即借助平面向量的有关知识来探索…     

用数量积求异面直线所成的角

用纯几何法求异面直线所成的角 ,由于技巧性强 ,因此难度较大 .新教材引入向量之后 ,对于此类问题有了统一的方法 ,只要仔细计算 ,便可迎刃而解 .1.不建系而直接用公式法求解异面直线所成的角图 1例 1　已知平行六面体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 中 (图 1) ,底面ＡＢＣＤ是边长为 1的正方形 ,侧棱ＡＡ1 =2 ,并且ＡＡ1 与ＡＢ ,ＡＤ的夹角为 12 0°,求ＢＤ1 与ＡＣ所成角的大小 .解　∵　ＢＤ1——→ =ＢＡ——→ +ＡＤ——→ +ＤＤ1——→ ,∴　 |ＢＤ1——→ | 2 =(ＢＡ——→ +ＡＤ——→ +ＤＤ1——→ ) 2 =6,∴　 |ＢＤ1——→ | =6.设Ｂ…     

剖析错解 把握实质──记一次求异面直线间距离的教学

剖析错解把握实质──记一次求异面直线间距离的教学４３００２２武汉市教研室成应在我的教学生涯中，一次关于两异面直线距离的教学是颇有意义的．当我讲完了用解析法求异面直线间距离的例题之后（板书如下）：例已知正方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的校长为ａ，求异面...     

例说用补形法求多面体的体积

所谓补形法 ,即以已知的几何体为基础 ,将其补形成为更好利用已知条件的几何体 ,从而使问题获解的方法 .这种方法在求多面体体积时经常用到 .1　将锥体补成锥体例 1　已知两条异面直线段的长分别为ａ ,ｂ ,夹角为θ,距离为ｈ ,求以此两条异面直线段为对棱的四面体的体积 .解　如图 1,四面体ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ａ ,ＣＤ =ｂ ,ＡＢ与ＣＤ的夹角为θ ,距离为ｈ ,过Ｂ作ＢＥ∥ＤＣ ,过Ｃ作ＣＥ∥ＤＢ交ＢＥ于Ｅ ,连ＡＥ ,则∠ＡＢＥ =θ或π -θ .因为ＣＤ∥平面ＡＢＥ ,图 1　例 1解答用图∴ＡＢ与ＣＤ的距离为ｈ ,即点Ｃ到平面ＡＢＥ的距离为…     

判定异面直线的一种方法

直接利用定义来判断两条直线是否异面直线是较为困难的 .但《立体几何》(必修本 .下同 )第 1 0页上的如下例题 :“过平面外一点与平面内一点的直线 ,和平面内不经过该点的直线是异面直线”是关于异面直线的很好的一种判别法 .可以认为此例题实际上就是教材中给出的一条关于异面直线的判定定理 .正确 ,灵活地运用它 ,能使一些有关异面直线的判断和证明变得十分简洁、明了 ,且别具一格 .下面举例证明 .例 1　 (课本Ｐ1 1第 3题 )　说出正方体中各对线图 1　例 1图段的位置关系 :1 )ＡＢ和ＣＣ1 ;2 )Ａ1 Ｃ和ＢＤ1 ;3)Ａ1 Ａ和ＣＢ1 ;4)Ａ1 Ｃ1…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦——立体几何

选择题　1.(黄冈高中 6月模拟题 )关于异面直线ａ ,ｂ ,有下列命题 ,其中正确的命题是 (　　 )(Ａ)过空间任意一点 ,可作一个平面与ａ ,ｂ都平行 .(Ｂ)过空间任意一点 ,可作一个平面与ａ ,ｂ都垂直 .(Ｃ)过ａ有且仅有一个平面平行于ｂ .(Ｄ)与ａ ,ｂ都相交的两条直线也是异面直线 .2 .(湖北八校联考题 )从正方体的棱和各个面上的对角线中选出ｋ条 ,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 ,则ｋ的最大值为 (　　 )(Ａ) 2 .　　　 (Ｂ) 3.图 1　第 3题图(Ｃ) 4 .　　　 (Ｄ) 6 .3　 (黄冈高中 6月模拟题 )如图 1,已知Ａ—ＢＣＤ是棱长都…     

关于异面直线所成角的一个定理及其推论

在求异面直线所成角时,我们通常是作平行线或平移,再用余弦定理求得,较为麻烦.下面给出另一种结论(求法).命题三棱锥中异面直线所成角余弦值等于另两组异面线段平方和之差的绝对值与2倍的此组异面线段长度积的比值.已知:三棱锥D-ABC.求证:1.cos     

两条异面直线所成角的一个定理和两个推论

本文用向量的数量积与减法来巧妙、简捷地推导关于两条异面直线所成角的一个定理 ,并顺畅拾遗两个推论 ,然后例谈其实用价值 .定理　如图 1 ,如果ＡＭ是△ＡＢＣ所在平面的一条斜线段 ,那么两条异面直线ＡＭ与ＢＣ所成的角θ满足ｃｏｓθ=｜ＡＢ·ｃｏｓ∠ＭＡＢ -ＡＣ·ｃｏｓ∠ＭＡＣ｜ＢＣ证明　依题意知两向量ＡＭ与ＢＣ的夹角是θ或π-θ(其中Ｏ° <θ<90°) ,则ＡＭ· ＢＣ =｜ＡＭ｜·｜ＢＣ｜· (±ｃｏｓθ) .取模得　｜ＡＭ· ＢＣ｜ =｜ＡＭ｜·｜ＢＣ｜·ｃｏｓθ=ＡＭ·ＢＣ·ｃｏｓθ.又因为　｜ＡＭ·ＢＣ｜=｜ＡＭ· (ＡＣ …     

直四面体中的角公式

读完《异面直线距离的公式求法》［１］一文，感觉可类比求出异面直线所成的角．如图图１１，α⊥β，ＡＢα，ＣＤβ，∠ＡＢＣ＝θ１，∠ＤＣＡ＝θ２．于是在平面β内过Ａ作ＡＥ∥ＤＣ，则∠ＥＡＣ＝θ２．异面直线ＡＢ，ＤＣ所成的角是∠ＢＡＥ．又α⊥β，∴∠Ｂ...     

就一道立体几何题答唐炜同学

贵州省凯里市一中唐炜同学来信向我求教一道题目 :异面直线ａ ,ｂ所成角为θ ,如果过空间一个定点Ｐ与直线ａ ,ｂ都成 75°角的直线共有 3条 ,则θ等于 (　　 )(Ａ) 30° .　　　 (Ｂ) 60° .(Ｃ) 90° . (Ｄ) 75° .为了解答此题 ,先将课本《立体几何》甲种本Ｐ32例 1与Ｐ12 题 12的结论综合引申为命题 1　已知∠Ａ′ＯＢ′ 平面α ,过∠Ａ′ＯＢ′的平分线与其补角平分线分别作α的垂面Ｍ与Ｎ ,那么过点Ｏ作与两直线ＯＡ′ ,ＯＢ′成等角θ的直线只可能在平面Ｍ或Ｎ内 (除非不存在 ) ,而且这样的直线不超过 4条 .命题 1的验证留给读者完…     

构造异面直线所成角的方法

异面直线所成角是中学数学中的重点与难点,本文旨在和同学们一起探索解这类问题的思路、方法和规律.一、平移一线来构造异面直线所成角异面直线所成角一般是在几何体中给出的,往往是以线段的形式出现,作两条异面直     

求棱锥体积的万能钥匙——图形变换

图形变换是一种重要的解题思想.在求解立体几何问题时,灵活地实施平移、对称、旋转、翻折、分割、补形、伸缩等图形变换,将不熟悉的(或不易计算的)图形变化为熟悉的(易于计算的)图形,将空间图形变为平面图形,从而创设生动的思维情境,优化解题途径.下面以一道1999年高考试题为例说明实施图形变换解题的若干技巧.例　如图,已知正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1,点Ｅ图1　例题图在棱Ｄ1Ｄ上,截面ＥＡＣ∥Ｄ1Ｂ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,ＡＢ=ａ.①求截面ＥＡＣ的面积;②求异面直线Ａ1Ｂ1与ＡＣ之间距离;③求三棱锥Ｂ1-ＥＡＣ的体…     

点、直线、平面之间的位置关系

1．本单元重、难点分析 重点：空间点、线、面间的位置关系;直线、平面平行的判定及性质;直线、平面垂直的判定及性质;异面直线所成角,直线与平面所成角,两平面所成角;点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．     

利用圆锥模型解一类直线计数问题

若圆锥ＳＯ的母线与轴所成角为α ,则过Ｓ点且与直线ＳＯ所成角为α的直线都在该圆锥曲面上 ,即过Ｓ点与直线ＳＯ所成角为α的直线的集合是圆锥ＳＯ曲面上的所有母线 .例 1　异面直线ａ ,ｂ ,所成角α =50°,过空间一点Ｐ作直线ｌ,使ｌ与ａ ,ｂ所成角 β都为 30° ,问符合条件的直线有几条 .分析　过Ｐ点分别作直线ＡＢ ,ＣＤ ,使ＡＢ∥ａ ,ＣＤ∥ｂ,则根据等角定理 ,过Ｐ点与ＡＢ ,ＣＤ都成 30°角的直线 ,就是符合条件的直线 ,而过Ｐ点与ＡＢ成 30°角的直线的集合是以Ｐ点为顶点 ,ＡＢ为轴 ,母线与轴夹角为 30°的圆锥曲面上的所有母线 ;…