f_(xy)(x_0,y_0)=f_(yx)(x_0,y_0)一个充分条件的介绍

一般高等数学教材中是这样给出二元函数二阶混合偏导数与求导次序无关的条件的：如果在点连续，则这个充分条件是可以减弱的，现介绍如下：定理如果在点（x。，y。）的某一邻域内，人（x，s）与人（x，，）都连续，且人（x，s）在（x。，y。）处连续，则几（x。，y。）存在，且人／X。，y）一九（X。，y）．证由偏导数的定义故只需证明（）、（2）两式右端之极限存在且相等。由于人（。，g）在（x。，g。）连续，从而由Lagrange中值定理有Q（｝1，足）一g（yo＋k）－g（yo）一kg’（yo＋0k），此处O＜「＜1．而／（y）一人（X。＋4，y）…     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

直线方程x_0x y_0y=r~2的几何意义

我们知道：若已知圆的方程是ｘ２＋ｙ２＝ｒ２,则经过圆上一点Ｍ（ｘ０,ｙ０）的切线方程为：ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２（高中平面解析几何课本Ｐ６４例３）．由此,不难得出下面命题１亦成立．命题１若点Ｍ（ｘ０,ｙ０）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上,则直线方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ...     

当x→x_0时,高阶无穷小量a_n(x)=o〔(x-x_0~n)〕的求导问题刍议

有的高等数学讲义在证明带Peano型余项的Taylor公式的唯一性时,用了在等式两边求导的办法。这就有一个对高阶无穷小量求导的问题。     

将方程组x=x_0 at y=y_0 bt(t为参数)化为标准式

对求直线ｌ:ｘ =1 2ｔｙ =2 - 3ｔ(ｔ为参数 )与抛物线ｙ2 =3ｘ相交所得弦长 |Ｐ1 Ｐ2 |的问题 ,发现有的同学采用了如下解法 :将直线ｌ的参数方程代入 ｙ2 =3ｘ ,整理 ,得9ｔ2 - 18ｔ 1=0 .其两根ｔ1 ,ｔ2 ,则|Ｐ1 Ｐ2 | =|ｔ1 -ｔ2 |=(ｔ1 ｔ2 ) 2 - 4ｔ1 ｔ2=2 2 - 4× 19=4 23.不难检验解答是错误的 ,正确的答案为|Ｐ1 Ｐ2 | =4 2 63.为什么会出现这种错误 ?这需要正本清源 ,从头说起 .大家知道 ,经过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,倾角为α的直线的参数方程为ｘ =ｘ0 ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ( 1)( 1)式叫做直线的点斜…     

重极限的特殊路径以(x_0,y_0)为聚点的随意性

特殊路径法对于否定多元函数的重极限的存在性是行之有效的方法,但是构造这些特殊路径的时候需要注意以极限点为聚点.实例表明,以(x0,y0)为聚点而任意地构造特殊路径,既可以避免将某些存在的重极限误判为不存在的缺陷,也可以保持将本来不存在的二重极限判定为不存在的优越性.     

lim f[φ(x)]from(x→(x_0))=f[limφ(x)]from(x→(x_0))?

<正> 这里问号“?”的含意是,等式两边是否一定同时存在?倘若同时存在,它们是否一定相等?它们同时存在且相等的条件又是什么? 不是任何两个可以复合的函数这个等式的两边都有意义,首先,两边都没有意义的例子是容易举的,如函数     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

浅谈直线参数方程{x=x_0 tcosθ y=y_0 tsinθ}及其运用

如果问:平面直角坐标系中经过点p_0(x_0,y_0)、倾斜角是θ(0≤θ<π)的直线的标准参数方程是指什么?那么学过这一内容的高中学生一般总能回答:是其中t是参数。可是,如果让学生运用这种参数方程去解一些题目,那就并不那么爽快了。其原因也许各     

化直线参数方程{x=x_0 at y=y_0 bt}为标准式的有关问题

在化直线参数方程一般式{x=x_0 at y=y_0 bt}(简称方程(Ⅰ))为标准式{x=x_0 tcosa y=y_0 tsina}(简称方程(Ⅱ))的问题上,存在一些模糊观念与错误作法,甚至在一些中学数学书刊与复习资料上也时有所见。如文[1]认为当a~2 b~2≠1时,方程(Ⅰ)中t不具有几何意义,而当a~2 b~2=1时,方程(Ⅰ)中t的几何意义与方程     

(0,M)插值的推广

本文对周期为2ψ的函数引入了一类新的函数插值并建立了插值的收敛速度估计．通常的Birkhoff插值是该插值的极限情形．     

Asymptotic Behavior of Solutions of the Cauchy Problem x′ = f(t,x, x′), x(0) = 0

We prove the existence of continuously differentiable solutions such that

直线方程xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)=0的几何意义

文[1]与文[2]分别探讨了直线方程x0x/a^2 y0y/b^2=1和直线方程x0x/a^2-y0y/b2=1的几何意义，读后深受启发，本文是文[1]与文[2]的继续，探讨了是伴随于非退化二次曲Ax^2 2Bxy Cy^2 2Dx 2Ey f=0的直线方程xF1(x0,y0)     

F(x_1,x_2)=(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2)型函数相关问题的转化方法

<正>近年来,纵观全国各省市高考及自主招生考试的命题,形如标题中所提到的函数形式极为常见.问题有不同的设问方式,落点在于不等式的证明,或者在于解参数值.但是,此类问题最终可以通过转化,利用相似的方法来解决.本文将结合近三年各省市的高考真题、自招试题、高考模拟试题,重点对这类问题的两种不同的处理方法进行梳理与总结.     

δ~(m)(x)和 x_+~(±n)ln~k x_+的乘积

关于广义函数的乘积,有各种定义.在[1,2]中曾比较了各种乘积,证明了利用广义函数的解析表示结合非标准分析定义的乘积 SoT 包含了绝大多数已知的乘积.乘积 SoT的一个特点是易于对特殊的广义函数的乘积算出具体的结果,包括有限部分和无穷部分,例如可见[3—7].应用解析表示计算乘积的还可见[8—11].当然由于没有应用非标准分析,算出的乘积只限于是普通的广义函数的情形或阿达玛有限部分的情形.应用解析表示使得乘积易于计算的原因,是常见的广义函数均可由比较简单的初等解析函数来表示.     

如何在x轴上找到3~(1/4)

作图题是初中数学的一个难点和重点,有些同学对此往往把握不够,为了提高大家的学习兴趣,现把自己在教学中得出的求(?)的两种作图法写出来,以飨读者．     

∫f(x)dx(x∈(a, ∞))收敛与limf(x)=0(x→ ∞)

讨论了当广义积分∫ ∞a f (x) dx收敛时 ,极限 limx→ ∞ f (x) =0的各种条件 .     

由x_0=(x_1 λx_2)/(1 λ)所想到的

众所周知 ,解析几何中有向线段的定比分点公式是 x0 =x1 λx21 λ ,在各类数学问题中有与此相类似的结构 .命题 1　梯形的上底长为 l1,下底长为 l2 ,过腰上一点 P作底的平行线 ,交另一腰于 Q.且 APPB= λ( λ≠ - 1 ) .设 PQ长为 l0 ,那么 l0 =l1 λl21 λ.证明 :设 BA 延长线交CD延长线于 E,如图 1 .由△AED∽△ PEQ 可得 :AEAE λPB=l1l0( 1 )由△ AED∽△ BEC得 :AEAE λPB PB=l1l2( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　l0 =l1 λl21 λ.特殊地 :当λ=1时 ,即可得到梯形的中位线定理 .　　命题 2　棱台上底面积为 S1,下底面积…