关于积分中值定理的逆定理

<正> 著名的积分中值定理可叙述为: 积分第一中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积且不改变符号,则存在ξ∈[a,b],使     

关于“中间点”的渐近性的一个注记

定理1 (推广的积分中值定理,[2],P107)设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则存在ξ∈[a,b]使得     

中值定理的两个新证法

本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理　若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) …     

积分第一中值定理的改进

一般数学分析教程都证明下述积分第一中值定理: 定理1 若f(x)在[a,b]连续,g(λ)在(a,b)可积且不变号,则(?)ξ∈[a,b]使 有些文章如[1],[2]证明了在相同的条件下,     

关于积分中值定理的一点改进

<正> 在一般的理工科教材中,关于积分中值定理叙述如下: 定理1 若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在闭区间[a,b]上至少有一点ξ,使得∫_a~b f(x)dx=f(ξ)·(b—a) 定理2 若f(x,y)在闭区域D上连续,则在区域D上至少有一点(ξ,η),使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)·σ其中σ表示闭区域D的面积。关于定理1,黄炳生同志在f(x)的条件削弱了的情况下,证明了其中的ξ可以取到开区间(a,b)内。本文一方面推广了黄炳生的证明方法,证明了定理2中的(ξ,η)也可以取     

积分中值定理中ξ值的渐近性

本文给出当b→a时积分的第一中值定理integral from a to b f(x)dx=f(ξ)(b—a)的中值ξ的性态。即当f’(a)≠0时有而当f′(a)=f″(a)=…=f~(n-1)(a)=0,F~(n)(a)≠0时有积分第一中值定理推广形式integral from a to b f(x)g(x)dx=f(ξ) integral from a to b g(x)dx的中值ξ也具有类似的性态。     

微分中值定理的巧用

一定理:1°洛尔定理:若函数f(x)在[a,b]上连续;在(a,b)上可微且f(a)=f(b)=0,则存在ξ∈(a,b)使,f′(ξ)=0。 2°Cauchy定理:若函数f(x)及g(x)在     

简化形式的积分中值定理另一种表述

阐述了简化形式的积分中值定理中f(x)不要求连续的情况下成立的条件.即"设函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,同时f(x)在[a,b]上有原函数,则存在ξ∈(a,b),使∫ from x=a to b f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立",并且给出了简洁的证明.     

关于积分中值定理的注记

在学习积分中值定理这一节时 ,常有学生把它与微分中值定理进行比较 ,提出为什么微分中值定理中的“中值”ξ∈ ( a,b) (开区间 ) ,而积分中值定理中的“中值”ξ∈ [a,b](闭区间 ) ?能不能把积分中值定理中的闭区间改为开区间 ?以及ξ是否唯一等。本文就以上问题 ,以及微分中值定理与积分(第一 )中值定理的关系 ,积分中值定理的应用等进行讨论。为简单起见 ,我们就积分第一中值定理的特殊情形进行讨论。[积分第一中值定理 ] 若函数 f ( x)为 [a,b]上的连续函数 ,则存在ξ∈ [a,b],使∫baf ( x) dx =f (ξ) ( b -a)　　现行通用的教科书 (…     

关于积分中值定理的中间值

我们知道有下面的 Riemann积分中值定理(见 [1 ,P.1 0 6]) :如 f(x)在 [a,b]上连续 ,那么存在ξ∈ [a,b],使∫baf (x) dx =f(ξ) (b - a) (1 )1 982年 ,Jacobson[2 ]研究了中间点ξ的渐近性质 .他证明了定理 A　如 f(t)在 [a,x]上连续 ,在 a点可微且 f′(a)≠ 0 ,ξx 由 (1 )式所确定 ,那么limx→ aξx - ax - a=12 .1 997年 ,Zhang[3]推广了定理 A,他得到定理 B　设 f (t)在 [a,x]上连续 ,且在 a点 k次可微 ,满足 f( i) (a) =0 ,(i =1 ,2 ,...,k - 1 ) ,f( k) (a)≠ 0 .如ξx由 (1 )式所确定 ,那么 limx→ aξx - ax - a= 1k k 1 .本文…     

积分中值定理中间点比较及有关平均不等式

中值定理中间点是区间端点的平均.设f (x)、g(x)在同一区间[a,b]内严格单调并可积,p(x)、q(x)恒正可积,按积分中值定理各有唯一的中间点ξf ,p(a,b)和ξg,q(a,b) .当f递增(减)且f (g- 1)凸(凹)时,有ξg,p(a,b) <ξf,p(a,b) ;当p(x)q(x) 递增(减)且q(x) ∫bap(x) dx >( <) 0时,有ξf,q(a,b) <ξf ,p(a,b) .由此可证明和发现一系列有关平均的不等式.     

b→a时拉格朗日中值定理中ξ的变化趋势

<正> 微分学中拉格朗日中值定理为: 定理1 若函数f(x)满足:i)f(x)在[a,b]上连续,(ii)f(x)在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。     

关于积分中值定理的一点说明与推广

<正> 引言众所周知积分中值定理(理、工科院校教材)为,若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在闭区间[a,b]上至少有一点ξ,使成立。下面我们将证明这个定理中的ξ一定可以取在开区间(α,b)上。并把这个定理推广到f(x)     

正确理解和运用第一积分中值定理

第一积分中值定理是微积分中基本定理之一。在逻辑证明方面,有着广泛的应用。 该定理应叙述为: 定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使 integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a) a<ξ相似文献   

一道2004年研究生入学数学试题的若干种解法

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷中有下列一道考试题:设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫axf(t)dt≥∫xag(t)dt,x∈[a,b],∫baf(x)dx=∫abg(x)dx,证明∫:baxf(x)dx≤∫abxg(x)dx.这是一道非常有趣的题目,但在阅卷过程中,我们发现该题的得分率并不高,其关键在于考生对该题如何理解,以及采取何种证法证明缺乏一定的认识.实际上该题有着多种证法,这里我们给出该题的若干种证法,以供大家参考.证法一令h(x)=f(x)-g(x),H(x)=∫axh(t)dt,x∈[a,b].由题意知h(x)在[a,b]上连续,H(x)≥0,x∈[a,b],H(a)=H(b)=0,H′(x)=h(x).从而∫baxh(x)…     

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

小议变上限的定积分

设函数f(x)在[a，b]上可积，则对任何x∈[a，b]，定积分∫a^x f(t)dt定义了区间[a，b]上的一个关于x的函数F(x)，称为“变上限的定积分”，即F(x)=∫a^x f(t)dt，且若函数f(x)在[a，b]上连续，则d/dx∫a^xf(t)dt=f(x)，x∈[a，b]，它表明变上限的定积分，在被积函数连续时，是被积函数的原函数。     

再谈柯西中值定理

将柯西中值定理改叙并证明之：如果f(x)和F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F（a)≠F(b),则在（a,b)内至少存在一点ξ,使f′（ξ）=f(b)-f(a)/F(b)-F(a) F′（ξ），进一步地，若F′（ξ）≠0,则有f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f′（ξ)/F′（ξ）。     

一类值得商榷的高等数学题

在近年来出版的一些高等数学复习指导书中 ,有一类应用中值定理证明的题目 .比如 ,[1 ]之 39页上的一道题 :设函数 f (x)在 [a,b]上连续 ,在 (a,b)内可导 ,且 0 相似文献   

关于拉格朗日中值定理与中间值的唯一性

拉格朗日中值定理是: 如果(i)函数f(x)在闭区间[a,b]连续,(ii)f(x)在开区间(a,b)可微,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得