对一题的变式探究

题目 设直线l经过双曲线x2/a2-y2/b2=l（a〉0,b〉0）的实轴顶点M,交双曲线的两条准线于A、B两点,O是双曲线的中心且OA·OB=0,e是双曲线的离心率,直线z的倾斜角为θ（θ∈（0,π））,试探究θ与e之间的关系．     

值得推广研究的一道高考题

2011年全国高考安徽卷理科第20题是： P（x0,y0）（x0≠±a）是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0，b〉0）上的一点，A，B是双曲线的左右顶点，直线PA，PB的斜率之积为1/5,求双曲线的离心率（以下简称问题）．     

建议学生勤进行解题回顾

文[1]叶万海同学利用双曲线的第一定义较为巧妙地解决了下题： 如图1,已知F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是（ ）     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义 如图1，设l是过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，6〉0）上的一点P（x0，y0）的切线，l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，与x轴交于点Q，则称△OMN为双曲线的渐近三角形．     

从一个双曲线焦半径错题说起

在一份全国重点中学高考调研试卷中有这样一道题：已知双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0），F是其左焦点，过F作直线交双曲线于A。B两点，设｜AF｜—m，｜FB｜=n,则1/m＋1/n的值为——。     

一道高考题的多层次探究

题目 （2009年高考湖南卷第13题）过双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的一个焦点作圆x^2＋y^2=a^2的两条切线,切点分别是A,B,若∠AOB=120°（O是坐标原点）,则双曲线C的离心率为____.     

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题：题目 点P是双曲线C1：x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，b〉0）和圆C2：x^2＋y^2==a^2＋b^2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为____.     

一道高考试题的探究与推广

题目 （2009年北京高考卷19题）已知双曲线C2 x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的离心率为√3,右准线方程为x=√3/3.     

一个"数学问题"的常规解法及推广

《数学通报》2006年第10期刊登的第1631号问题是： 过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0，b〉0）的右焦点F作B1B2上x轴，交双曲线于两点B1、B2，B2F1交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点．求证：过H垂直于x轴的直线是双曲线的（左）准线（如图1）．     

渐近线中几个“不变”的结论

问题已知双曲线方程x^2/a^2-y^2.b^2=1（a〉0,b〉0）,其渐近线方程为y=±b/a x．则我们能得到以下“不变”的结论。     

一个性质的另证与补充

文[1]研究并得出了椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质,并通过类比引申,得出了双曲线x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质．     

两个性质的完善与启示

文[2]在文[1]的基础上推出了如下两个性质： 性质1过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的顶点A的弦AQ交于y轴于点R，过双曲线中心O的半弦OP∥AQ，则｜OP｜^2=1/2｜AR｜·｜AO｜．     

一道高考题的四种解答

题目（2009高考全国卷理Ⅱ第11题）已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1（a〉0,b〉0）的右焦点为F,过F且斜率为√3的直线交C于A、B两点,若→AF=4→FB,则C的离心率为（ ）     

姊妹曲线的几个新性质

通常把椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）和双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1称为姊妹曲线．文[1]，[2]介绍了它的一些重要性质，在它们的启示下，笔者再作深入的探究，又得到如下几个新性质．     

两道高考题的巧解

题目一（2008年福建卷,理Ⅱ）双曲线a^2-x^2-b^2-y^2=1（a〉0,b〉0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,     

2014年江西卷理第20题的探究

2014年高考江西卷理科第20题为：已知双曲线C：x^2/a^2-y^2=1（a〉0）的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF／／OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程。     

对一题的变式探究

题目设直线l经过双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的实轴顶点M,交双曲线的两条准线于A、B两点,O是双曲线的中心且(?)·(?)=0,e是双曲线的离心率,直线l的倾斜角为θ(θ∈(0,π)),试探究θ与e之间的关系.     

“黄金”双曲线

若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a＞0,b＞0)的离心率为黄金率(比)(5~(1/2)-1)/2的倒数即(5~(1/2) 1))/2,我们称该双曲线为黄金双曲线．性质1双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a＞0,b＞0)是黄金双曲线的一个充要条件是：a,b,c成等比数列,其中c为半焦距．证明充分性：∵a,b,c成等比数列,     

伴随圆锥曲线的一个统一性质

按照文[1]的定义,我们把双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)称为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的伴随双曲线,同样地,把x2/a2+y2/b2=1(α＞b＞0)称为双曲线x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的伴随椭圆.通过研究笔者发现了它们一个有趣的统一性质.     

利用曲线系(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=λ求曲线方程

中学教材介绍的曲线方程的求法有两种。一是轨迹法,二是标准式法。利用曲线系求曲线方程又是标准式法一种特殊形式。这里以双曲线系方程为例,说明这种方法的应用。方程x~2/a~2-y~2/b~2=λ(Ⅰ)表示中心在原点,对称轴合于坐标轴的双曲线系。λ>0时,焦点在x轴上,λ<0 时,焦点在y轴上,不管λ为何值,这些双曲线都以x~2/a~2-y~2/b~2=0为渐近线(特别地,λ=0时,曲线就是渐近线)。因此,双曲线系(Ⅰ)又称共渐双曲线系。当研究的双曲线与渐近线有关时,运用双曲线系(Ⅰ)解题很方便。