On the convergence to infinity of Fourier series along dense subsequences of numbers

В статье доказываетс я Теорема.Какова бы ни была возрастающая последовательность натуральных чисел {H _k } _{k = 1} ^∞ c $$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{H_k }}{k} = + \infty$$ , существует функцияf∈L(0, 2π) такая, что для почт и всех x∈(0, 2π) можно найти возраст ающую последовательность номеров {n_k(x)} _k=1 ^∞ ,удовлетворяющую усл овиям 1) $$n_k (x) \leqq H_k , k = 1,2, ...,$$ 2) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t} (x)} (x,f) = + \infty ,$$ 3) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t - 1} (x)} (x,f) = - \infty$$ .     

О некоторых свойства х частичных сумм рядо в Фурье—Уолша—Пэли

In this paper we consider the behaviour of partial sums of Fourier—Walsh—Paley series on the group62-01. We prove the following theorems: Theorem 1. Let {n _k } _k ^=1/∞ be some increasing convex sequence of natural numbers such that $$\mathop {\lim sup}\limits_m m^{ - 1/2} \log n_m< \infty $$ . Then for anyf∈L ^∞(G) $$\left( {\frac{1}{m}\sum\limits_{j = 1}^m {|Sn_j (f;0)|^2 } } \right)^{1/2} \leqq C \cdot \left\| f \right\|_\infty $$ . Theorem 2. Let {n _k } _k ^=1/∞ be a lacunary sequence of natural numbers,n _k+1/n _k≧q>1. Then for anyfεL ^∞(G) $$\sum\limits_{j = 1}^m {|Sn_j (f;0)| \leqq C_q \cdot m^{1/2} \cdot \log n_m \cdot \left\| f \right\|_\infty } $$ . Theorems. Let µ _k =2 ^k +2 ^k-2+2 ^k-4+...+2^α ₀,α ₀=0,1. Then $$\begin{gathered} \{ \{ S_{\mu _k } (f:0\} _{k = 1}^\infty ;f \in L^\infty (G)\} = \{ \{ a_k \} _{k = 1}^\infty ;\sum\limits_{k = 1}^m {a_k^2 = 0(m)^2 \} .} \hfill \\ \{ \{ S_{\mu _k } (f:0\} _{k = 1}^\infty ;f \in C(G)\} = \{ \{ a_k \} _{k = 1}^\infty ;\sum\limits_{k = 1}^m {a_k^2 = o(m)^2 \} = } \hfill \\ = \{ \{ S_{\mu _k } (f:0\} _{k = 1}^\infty ;f \in C(G),f(0) = 0\} \hfill \\ \end{gathered} $$ . Theorem 4. {{S ₂ k(f: 0)} _k ^=1/∞ ,f∈L ^∞(G)}=m. $$\{ \{ S_{2_k } (f:0\} _{k = 1}^\infty ;f \in C(G)\} = c. \{ \{ S_{2_k } (f:0\} _{k = 1}^\infty ;f \in C(G),f(0) = 0\} = c_0 $$ .     

Strong approximation by Fourier series and differentiability properties of functions

ПустьΦ —N-функция Юнг а со свойствами $$\Phi (x)x^{ - 1} \downarrow 0, \exists \alpha > 1 \Phi (x)x^{ - \alpha } \uparrow (x \downarrow 0),$$ илиΦ(х)=х, {λ_k} — положи тельная, неубывающая последовательность и $$S_\Phi \{ \lambda \} = \left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 0}^\infty \Phi (\lambda _k |f - s_k |)} \right\|_\infty< \infty } \right\}.$$ В работе найдены необ ходимые и достаточны е условия для вложений $$S_\Phi \{ \lambda \} \subset W^r F(r \geqq 0),$$ , гдеF=C, L ^∞, Lip α (0<α≦1). С этой то чки зрения рассматриваются и др угие классы (например, \(W^r H^\omega ,\tilde W^r F\) ).     

Analogs of the arcsine distribution for sequences linearly generated by independent random variables

Let {ξ_k}, kz ...?1,0,1, ..., be a sequence of independent identically distributed random variables with . Let {C_k} be a numerical sequence such that \(\Sigma _{ - \infty }^\infty c_k^2< \infty \) Let $$X_n = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {c_{k - n} \xi _k } , S_n = \sum\limits_1^n {X_k } $$ . This article investigates the limit behavior of the distributions of functionals of the following type: $$\mathcal{V}_n = \tfrac{1}{n}\sum\limits_1^n {h\left( {S_k } \right)} $$ , where h is a bounded function on R¹.     

О кОЁФФИцИЕНтАх тРИг ОНОМЕтРИЧЕскИх НУль-РьДОВ

Let {? _k } _k=0 ^∞ be a numerical sequence satisfying the conditions $$\varrho _k \downarrow 0(k \to \infty )and\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \varrho _k^2 = + \infty .$$ It is proved that there exists a trigonometric series $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \varrho '_k \cos 2\pi (kx + \theta _k )$$ where ¦?′ _k ¦≦? _k ,k=0, 1, 2, ..., possessing the following property. For each measurable and a.e. finite functionF(x), x?[0, 1], the numbersδ _k =0 or 1,k=0, 1, ..., may be chosen in such a way that the series $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \delta _k \varrho '_k \cos 2\pi (kx + \theta _k )$$ converges toF(x) a.e. on [0,1]. In addition, ifF(x)=0, then \(\delta _{k_0 } \varrho '_{k_0 } \ne 0\) for at least onek ₀≧0. Certain generalizations are discussed, too.     

Bemerkungen zu einem Satz von Fejér

Последовательность {ita_k} _(n) ^k =1/∞ вещественных ч исел называется дважды мо нотонной, еслиa _k -2a _k+1 +a _k+2 ≧0 дляk≧1. В работе доказываютс я следующие утвержде ния, являющиеся обобщени ем двух теорем Фейера:

1. Если {ita_k — дважды моно тонная последовател ьность, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^n {a_\kappa z^\kappa } > 1/2$$ дляи≧ 1.
2. Если О≦β<1 и последова тельность (k+1-2β)ak} дважд ы монотонна, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {ka_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } > \beta $$ , то есть $$\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } \varepsilon S_\beta ^\kappa $$ . При помощи 2) получены о бобщения и уточнения теорем из работы [1] о линейных комбинациях некотор ых однолистных функц ий.

     

A remark concerning Pincherle bases

In this note we find sufficient conditions for uniqueness of expansion of any two functionsf(z) and g(z) which are analytic in the circle ¦ z ¦ < R (0 < R <∞) in series $$f(z) = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {(a_n f_2 (z) + b_n g_n (z))}$$ and $$g_i (z) = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {a_n \lambda _n f_n (z)} + b_n \mu _n f_n (x)),$$ which are convergent in the compact topology, where (f _n {z} _n=0 ^∞ and {g} _n=0 ^∞ are given sequences of functions which are analytic in the same circle while {λ _n } _n=0 ^∞ and {μ _n } _n=0 ^∞ are fixed sequences of complex numbers. The assertion obtained here complements a previously known result of M. G. Khaplanov and Kh. R. Rakhmatov.     

On absolute summation of Fourier series by subsequences

В работе изучается сл едующая задача. Пусть заданы числа 0<α≦1 и β<α. При каки х условиях на строго во зрастающую последов ательность натуральных чисел {n _k } _k ^t8 =1 для всех 2π-периодических функ ций \(f(x) \sim \sum\limits_{v = - \infty }^\infty {c_v e^{ivx} } \) , принадлежащих к лассу Lip α, равномерно пох будет выполнено неравенство $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {|\sum\limits_{n_k \leqq |v|< n_{k + 1} } {c_v e^{ivx} } |n_k^\beta< \infty ?} $$ .     

Recurrent relations for the solutions of an infinite system of linear algebraic equations

We obtain recurrent relations for bounded solutions of the system of equations $$X_k - \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{(k + n)!}}{{k!n!}}} \alpha ^{k + n + 1} x_n = f_{k,} k = 0,1,..., \alpha \in (0,1/2),$$ with right-hand sides {f _k } _k=0 ^∞ ={δ _kj } _k=0 ^∞ ,j=0,1,..., where δ _kj is the Kronecker symbol.     

On a strengthened extremal property of the Carathéodory-Fejér functions

Для заданной на едини чной окружности огра ниченной функцииω(ξ) рассматр ивается усложненная задача а ппроксимации аналит ическими функциями: $$\mathop {\inf }\limits_{\varphi \in H^\infty } \left[ {\left\| {\omega - \varphi } \right\| + \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k \left| {\lambda _k } \right|} \right],$$ где ∥·∥ понимается вL ^∞,ε _k ≧0 — заданные чис ла, $$\mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k< + \infty ,\varphi (z) = \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \lambda _k z^k .$$ Доказывается, что при всех достаточно малы хε _k экстремальной в этой задаче будет функция обычного наилучшего приближения (та же, что и приε _k =0,k=0, 1, ...). В частности, при $$\omega (\zeta ) = \frac{{\gamma _0 }}{{\zeta ^n }} + \frac{{\gamma _1 }}{{\zeta ^{n - 1} }} + ... + \frac{{\gamma _{n - 1} }}{\zeta }$$ экстремальной оказы вается дробь Каратео дори—Фейера. Переход к двойственн ой задаче позволяет получить т очные оценки для клас са интегралов типа Коши, выделяемого огранич ениями, наложенными на велич ины коэффициентов ря да Тейлора.     

On the unconditional convergence of orthogonal series

Пусть {f _n } _n=1 ^∞ — после довательность измер имых функций, а {ω(n)} _n=1 ^∞ — неу бывающая последовательность положительных чисел. Система {f _n }∈W(uc, ω (n)), есл и всякий ряд (1) $$\mathop \Sigma \limits_{n = 1}^\infty a_n f_n \left( t \right)$$ после любой перестан овки членов сходится почти всюду, как только $$\mathop \Sigma \limits_{n = 1}^\infty a_n^2 \omega \left( n \right)< \infty $$ то есть {ω (n)} является множителем Вейля для безусловной сходимо сти рядов вида (1). Если {f _n }∈W(uc, ω (n)), но для л юбой последовательн остиγ(n)=o(ω(n)) приn→∞ система {f _n }?W(uc, γ (n)) то {ω (n)} называют точным множителем Вейля для безусловной сходимости рядов вид а (1). Основной результат: с уществует полная ортонормированная с истема, которая имеет точный множитель Вей ля для безусловной сх одимости.     

On imbedding of classes of functions

В НАстОьЩЕЕ ВРЕМь ИжВ ЕстНО МНОгО УтВЕРжДЕ НИИ тИпА тЕОРЕМ ВлОжЕНИь, кОтО РыЕ ФОР-МУлИРУУтсь В тЕРМИНАх МОДУлЕИ НЕ пРЕРыВНОстИ. ДАННАь РАБОтА сОДЕРж Ит НЕскОлькО тЕОРЕМ В лОжЕНИь с УслОВИьМИ, ВыРАжЕННы МИ В тЕРМИНАх НАИлУЧшИх п РИБлИжЕНИИE _n(?,p) ФУНкц ИИ ? тРИгОНОМЕтРИЧЕскИМ И пОлИНОМАМИ пОРьДкАn В МЕтРИкЕL ^p: И сслЕДУЕтсь ВлОжЕНИЕ клАссАE(α,p) ФУНкцИИ ИжL ^p, УДОВлЕтВОРьУ-ЩИх Дль жАДАННОИ МОНОтОН НО УБыВАУЩЕИ к НУлУ пОслЕДОВАтЕльНОстИ α={А_n} УслОВИУ $$E_n (f,p) \leqq M\alpha _n (M = M(f))< \infty ;n = 1,2,...).$$ хАРАктЕРНыМИ РЕжУль тАтАМИ РАБОты ьВльУт сь слЕДУУЩИЕ ДВА слЕДстВИь тЕОРЕМ ы 3. слЕДстВИЕ 1. пУстьР≧1И Β>?1.ЕслИ пОслЕДОВАтЕльНОсть {α_n} УДОВлЕтВОРьЕт УслОВИУ: , тО Дль ВлОжЕНИь $$E(\alpha ,p) \subset L^p (\ln + L)^{\beta + 1} $$ НЕОБхОДИМО И ДОстАтОЧНО $$\mathop \sum \limits_{n = 2}^\infty \frac{{(\ln n)\beta }}{n}\alpha _n^p< \infty .$$ слЕДстВИЕ 2.ЕслИ v>p≧1,Β≧0 И {А_{n} УДОВлЕтВОРьЕт УслОВИУ} (1),тО Дль ВлОжЕ НИь $$E(\alpha ,p) \subset L^\nu (\ln + L)^\beta $$ НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО $$\mathop \sum \limits_{n = 2}^\infty n^{\nu /p - 2} (\ln + n)^\beta \alpha _n^\nu< \infty ,$$      

On the zero distribution of the Riesz transforms of power series

Рассматривается последовательность преобразований Рисс а степенного ряда $$f(z) = \sum\limits_{v = 0}^\infty {\alpha _v z^n } ,$$ задаваемая формулой $$\sigma _n (z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\textstyle{{Pk} \over {P_n }}}s_k (z)} ,$$ гдеs _k (z) — частная сумма порядкаk рядаf, a {p _k } — комплексная послед овательность, для которой $$P_n = \sum\limits_{k = 0}^n {p_k \ne 0, n = 0,1,2,... .}$$ Показано, что число ну лей полиномовσ _n в кру ге ¦z¦ <R связано при определе нных условиях лакунарнос ти с порядком роста {σ_n} и с их сверхсходимостью.     

Differential properties and Fourier coefficients of functions of λ-bounded variation

пУстьλ={λ _i} _i=1 ^∞ —пОслЕ ДОВАтЕльНОсть ВЕЩЕс тВЕННых ЧИсЕл сλ _i↑∞ Иλ ^m={λ_т+ i} _i=0 ^∞ . РАссМАтРМВАУтсь 2π-пЕ РИОДИЧЕскИЕ ФУНкцИИ, Дль кОтОРых $$V_\Lambda (f) = \mathop {\sup }\limits_x \mathop {\mathop {\sup }\limits_{(a_i ,b_i ) \cap (a_j ,b_j ) = \emptyset } }\limits_{(a_i ,b_i ) \subset (x,x + 2\pi ]} \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \frac{{\left| {f(b_i ) - f(a_i )} \right|}}{{\lambda _i }}< \infty ,$$ И Дль кОтОРых $$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } V_{\Lambda ^m } (f) = 0.$$ ДОкАжАНО, ЧтО УжЕ ВО Вт ОРОМ клАссЕ Есть ВЕжД Е АппРОксИМАтИВНО НЕД ИФФЕРЕНцИРУЕМыЕ ФУН к-цИИ. пОлУЧЕНы ОцЕНкИ кОЁФФИцИЕНтО В ФУРьЕ ЁтИх клАссОВ И НЕкОтОРыЕ РЕжУльтАты ОБ Их ОкОНЧАтЕльНОстИ. кАк слЕДстВИЕ ДАНО ДОстА тОЧНОЕ УслОВИЕ Дль Их НЕсОВп АДЕНИь.     

О раэложении мероморфных функций специального вида на простейщие дроби

The paper is devoted to study the entire functions L(λ) with simple real zeros λ_k, k = 1, 2, ..., that admit an expansion of Krein’s type: $$\frac{1}{{\mathcal{L}(\lambda )}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{c_k }}{{\lambda - \lambda _k }}} ,\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {c_k } \right| < \infty } .$$ We present a criterion for these expansions in terms of the sequence {L′ (λ _k )} _k=1 ^∞ . We show that this criterion is applicable to certain classes of meromorphic functions and make more precise a theorem of Sedletski? on the annihilating property in L ² systems of exponents.     

On certain estimates for orthogonal polynomials depending on parameters

Рассматривается сис тема ортогональных м ногочленов {P _n (z)} ₀ ^∞ , удовлетворяющ их условиям $$\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {P_m (z)\overline {P_n (z)} d\sigma (\theta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,m \ne n,P_n (z) = z^n + ...,z = \exp (i\theta ),} \\ {h_n > 0,m = n(n = 0,1,...),} \\ \end{array} } \right.} $$ где σ (θ) — ограниченная неу бывающая на отрезке [0,2π] функция с бесчисленным множе ством точек роста. Вводится последовательность параметров {а_{n 0} ^∞ , независимых дру г от друга и подчиненных единств енному ограничению { ¦а_n¦<1} ₀ ^∞ ; все многочлены {Р _n (z)} 0/∞ можно найти по формуле $$P_0 = 1,P_{k + 1(z)} = zP_k (z) - a_k P_k^ * (z),P_k^ * (z) = z^k \bar P_k \left( {\frac{1}{z}} \right)(k = 0,1,...)$$ . Многие свойства и оце нки для {P _n (z)} ₀ ^∞ и (θ) можн о найти в зависимости от этих параметров; например, условие \(\mathop \Sigma \limits_{n = 0}^\infty \left| {a_n } \right|^2< \infty \) , бо лее общее, чем условие Г. Cerë, необходимо и достато чно для справедливости а симптотической форм улы в области ¦z¦>1. Пользуясь этим ме тодом, можно найти также реш ение задачи В. А. Стекло ва.     

On a certain class of infinitely divisible distributions

We characterize the class of distribution functions Φ(x), which are limits in the following sense: there exist a sequence of independent and equally distributed random variables {ξ _n }, numerical sequences {a _k }, {b _k } and natural numbers {n _k } such that $$\mathop {lim}\limits_{k \to \infty } Prob\left\{ {\frac{1}{{a_k }}\mathop {\Sigma }\limits_{k = 1}^{n_k } \xi _k - b_k< x} \right\} = \Phi (x)$$ and $$\mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } (n_k /n_{k + 1} ) > 0$$ .     

Padé tables of entire functions of very slow and smooth growth

Letf(z)=σ _j?o ^∞ a _j z ^j be entire with $$|a_{j - 1} a_{j + 1} /a_j^2 | \leqslant \rho _0^2 ,j = 1,2,3, \ldots ,$$ whereρ ₀=0.4559... is the positive root of the equation $$2\sum\limits_{j = 1}^\infty {\rho ^{j^2 } = 1.}$$ . It is shown that the Padé table off is normal, and asL→∞, [L/M _L ](z) converges uniformly in compact subsets ofC tof, for any sequence of nonnegative integers {M _L } _L=1 ^∞. In particular, the diagonal sequence {[L/L]} converges uniformly in compact subsets ofC tof. Furthermore, the constantρ ₀ is shown to be best possible in a strong sense.     

Über die Mittel stochastisch unabhängiger Funktionen

Для данного числаK, 1≦K≦∞, обозначимΩ(K) клас с последовательносте йφ={φ _k (x)} стохастически незав исимых на (0,1) функций, дл я которых выполнены условия: $$\int\limits_0^1 {\varphi _k (x)dx = 0,} \int\limits_0^1 {\varphi _k^2 (x)dx = 1, |\varphi _k (x)|} \leqq K(x \in (0,1);k = 1,2, \ldots ).$$ Пусть, далее,λ={λ _n } —по следовательность со свойствами $$0< \lambda _1< \ldots< \lambda _n< \ldots ,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \lambda _n = \infty ,$$ иМ (λ;K) — множество числ овых последовательн остейa={a _k } _k=1 ^∞ , для которых по сле-довательности средних $$\frac{1}{{\lambda _n }}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n a_k \varphi _k (x)(n = 1,2, \ldots )$$ сходятся к нулю почтя всюду на (0,1) для всех сис темφ∈Ω(K). В статье, в частности, п утем применения одно го метода Б. С. Кашина, доказываетс я, что для каждогоK, 1 <-K<∞, в ыполнено равенствоM(λ; K)=М(λ; 1).     

Separate asymptotics of two series of eigenvalues for a single elliptic boundary-value problem

The spectral problem in a bounded domain Ω?Rⁿ is considered for the equation Δu= λu in Ω, ?u=λ?υ/?ν on the boundary of Ω (ν the interior normal to the boundary, Δ, the Laplace operator). It is proved that for the operator generated by this problem, the spectrum is discrete and consists of two series of eigenvalues {λ _j ⁰ } _j=1 ^∞ and {λ _j ^∞ } _j=1 ^∞ , converging respectively to 0 and +∞. It is also established that $$N^0 (\lambda ) = \sum\nolimits_{\operatorname{Re} \lambda _j^0 \geqslant 1/\lambda } {1 \approx const} \lambda ^{n - 1} , N^\infty (\lambda ) \equiv \sum\nolimits_{\operatorname{Re} \lambda _j^\infty \leqslant \lambda } {1 \approx const} \lambda ^{n/1} .$$ The constants are explicitly calculated.