一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

一类分式不等式的证法——柯西均值法

一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模（重庆市铜梁中学６３２５６０）众所周知，柯西不等式（ａ１２＋ａ２２＋…＋ａｎ２）（ｂ１２＋ｂ２２＋…＋ｂｎ２）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２（ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ，ａｉ＝ｋｂｉ时取等号，ｉ＝１，２，３，…...     

关于一个不等式推广的商榷

关于一个不等式推广的商榷宋灵宇（甘肃平凉师范７４４０００）《数学通报》１９９６年第７期“一道不等式习题的推广”一文．作者将不等式（ａ＋ｂ２）２ａ２＋ｂ２２逐步推广，最后得到．命题１０设ａｉ∈Ｒ，Ａｉ∈Ｒ＋，且ｍｉ＝１Ａｉ１，（ｉ＝１，２，…，ｍ...     

也谈一个不等式的推广

也谈一个不等式的推广邹明尹桂勋（山东省安丘市第一中学２６２１００）黄桂君先生在《数学通报》１９９７年第３期，给出了不等式（ａ＋１ａ）２＋（ｂ＋１ｂ）２≥２５２（ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１）的几个推广及证明，读后深受启发．现笔者应用幂平均不等式：α＞β...     

一个不等式的推广

一个不等式的推广黄桂君（江苏省高邮市中学２２５６００）若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则（ａ＋１ａ）２＋（ｂ＋１ｂ）２≥２５２，这是我们所熟悉的一个不等式．本文将给出它的几个推广及证明：推广１若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则（ａ＋１ａ）ｎ＋（ｂ＋１...     

引入参数证明不等式

引入参数证明不等式,思路明确,有章可循,是证明不等式的一种重要方法．尤其对不等式取上、下界时,各变元的取值不相等的问题,参数法更显奇效．下面举例说明之．例１　已知正数ａ、ｂ、ｃ,满足ａ＋ｂ＋ｃ＝３,求证：　４ａ＋１＋４ｂ＋１＋４ｃ＋１＞２＋１３．证明　∵　０＜ａ＜３,　∴　ａ２＜３ａ．令　４ａ＋１＝３ｘ２ａ＋２ｘａ＋１　＞ｘ２ａ２＋２ｘａ＋１＝（ｘａ＋１）２　（ｘ＞０）由　　　３ｘ２＋２ｘ＝４,解得　ｘ＝１３－１３　（负值已舍去）,∴　４ａ＋１＞１３－１３ａ＋１．同理有　４ｂ＋１＞１３－１３ｂ＋…     

Neuberg─pedoe不等式的四面体推广

Ｎｅｕｂｅｒｇ－ｐｅｄｏｅ不等式的四面体推广宁波大学数学系陈计中国科学院武汉数理所王振设△Ａ１Ａ２Ａ３与△Ｂ１Ｂ２Ｂ３的边长分别是ａ１，ａ２，ａ３和ｂ１，ｂ２，ｂ３，面积分别为△１和△２则有这是著名的Ｎｅｕｂｅｒｇ－Ｐｅｄｏｅ不等式（参见［１］）．１...     

构造二次函数证明不等式举例

我在教学中发现：对有些不等式的证明,可根据不等式的特点,用构造二次函数的方法加以解决;本文结合具体例子,谈谈怎样构造二次函数证明不等式;１　确定主元构造例１　设ａ、ｂ都是实数,求证：ａ２＋ｂ２≥ａ＋ｂ＋ａｂ－１．分析　求证结论是二元二次对称不等式,可以ａ（或ｂ）为主元构造二次函数;证明　设ｆ（ａ）＝ａ２－（ｂ＋１）ａ＋ｂ２－ｂ＋１．因二次项系数大于零,且Δ＝〔－（ｂ＋１）〕２－４（ｂ２－ｂ＋１）＝－３（ｂ－１）２≤０故ｆ（ａ）≥０,即ａ２＋ｂ２≥ａ＋ｂ＋ａｂ－１．２　根据判别式构造例２　设实数ａ…     

从等号出发证明不等式

某些含有等号的不等式的证明题，若从等号成立的条件出发，利用基本不等式，则可迅速获证．下面举例说明．例１已知ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１３．分析：考虑到当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１３时，不等式取等号，此时，ａ２＝１９，于是有下面的证法．证ａ２＋１...     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法郭慧清（广东深圳市深圳中学５１８０２５）设ａｉ，ｂｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有（ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ２ｎ）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２这是众所周知的柯西不等式，若令ａｉ＝ｘｉｙｉ...     

不等式a~2 b~2>=2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２２ａｂ的一个推广及应用魏家忠杨华（阜阳教育学院２３６０１６）（江苏省东台市城北中学２２４２００）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２２ａｂ（１）当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本里一个最基本的不等式，（１）的特点是左边两项系数之和恰为各...     

目标测试参考答案

目标测试参考答案（一）一元二次方程一、填空：１、ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，ａ≠０，ｘ＝－ｂ±ｂ２－４ａｃ２ａ（ｂ２－４ａｃ≥０）；２、ｂ－ａ，０，ｘ１＝０，ｘ２＝ａ－ｂ；３、ｐ＝－１，ｘ２＝－２；４、（１）ｘ１＝ｘ２＝０，（２）ｘ１＝１＋２，ｘ２＝１－２...     

一个高次不等式的推广及应用

一个高次不等式的推广及应用康志山（河北赤城一中０７５５００）许多书刊中都流传着这样一个典型题目：已知：ａ，ｂ∈Ｒ＋，ｍ∈Ｎ．则：ａｍ＋ｂｍ２ａ＋ｂ２ｍ．当ｍ＝１，或当且仅当ａ＝ｂ（ｍ≠１）时取等号．这是一个十分优美的不等式．本文将从变元个数进行推广...     

关于《一道课本不等式的加强及推广》的补充

现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题是已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）《数学通报》１９９７年第１２期刊登了魏华先生对此不等式的加强及指数推广（即文［１］），受其启发，本文再介绍此不等式的...     

纠正一道例题的推广的错误

现行高中代数（下）课本在不等式一章中有这样的一道例题：设ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，求证ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．文［１］中作出如下的推广：命题１若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ，ｎ∈Ｎ，则ａｍ＋ｎ＋ｂｍ＋ｎ＞ａｍｂｎ＋ａｎｂｍ命题２若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ...     

两类产生增根的分式方程的判定

判定（一）（ｉ）命题：若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ≠０，ｂ≠－１分式方程：ｃｘ－ａ＋ｂ＝ｂ－ｘｘ－ａ当ｂ＝ａ＋ｃ时，必有ｘ＝ａ为分式方程的增根。（ｉ）例举：（１）１ｘ－１＋２＝２－ｘｘ－１，（ｂ＝ａ＋ｃ即２＝１＋１），ｘ＝１是方程的增根。（２）３ｘ＋２＋１...     

指数和的不等式

指数和的不等式是指形如∑ｎｉ＝１ａｉｂｒｉ≤∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ（１）的不等式，其中０＜ａ１＜…＜ａｎ＜∞，０＜ｂ１＜…＜ｂｎ＜∞，（ｒ１，ｒ２，…，ｒｎ）是（１，２，…，ｎ）的任何置换．今年春节过后不久，陈希孺院士向他的学生们指出一个挑战性的问题：对...     

两个“推广”的注记

贵刊文［１］、［２］给出了不等式：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ｃ＋ａ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（ａ,ｂ,ｃ＞０）（高中《代数》下册Ｐ３２第５题）的两个推广,读后颇受启发,作为两个推广的注记,本文对其中的指数作进一步的推广;推广１　设ａ、ｂ、ｃ、ｋ、ｍ、ｎ＞０,且ｍ≥ｋ,ｍ＋ｋ＝ｎ,则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ＋ａｍ－ｋｂｋｃｋ＋ａｋｂｍ－ｋｃｋ＋ａｋｂｋｃｍ－ｋ≥ａｍ（ｂｋ＋ｃｋ）＋ｂｍ（ｃｋ＋ａｋ）＋ｃｍ（ａｋ＋ｂｋ）证明　现证前一个不等式,即证ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ≥ａｍ－…     

二项式定理

二项式定理２１４０００江苏无锡市丁蜀高级中学路雪强，唐志华我们知道（ａ＋ｂ）１＝ａ＋ｂ　（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２（ａ＋ｂ）３＝ａ２＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋ｂ３那么怎样展开（ａ＋ｂ）４？（ａ＋ｂ）２０？一般地又怎样展开（ａ＋ｂ）呢？先看（ａ＋ｂ）...