柯召、孙琦—单墫定理的拓广

一、引言人们容易证明任意3个整数中必有两个整数之和为2整除,任意5个整数中必有3个整数之和为3整除,柯老和孙琦教授在[1]中证明了任意7个整数中必有4个整数之和为4整除,并猜测任意2n-1(n>1)个整数中必有n个整数之和能为n整除。1983年单墫     

浅述整除与同余

浅述整除与同余四川大学唐贤江一、整数的整除性１、基本概念对于两个整数ａ、ｂ（ｂ≠０），若存在一个整数ｎ，使得ａ＝ｂｎ，则称ｂ整除ａ，或ａ被ｂ整除，记为ｂ｜ａ；ｂ整除ａ有时也称ｂ是ａ的因数，ａ是ｂ的倍数。若ｂ不能整除ａ用ｂａ表示。２、基本性质１）若ｂ｜...     

P-进制数中的一个整除关系

整除是初等数论中的一个基本概念。“整数甲能被整数乙整除”这样的问题,在小学算术课中大家就已经知道,并且学会了一些作出判断的方法。比如,判断一个十进制整数是否可以被3或9整除的简捷方法是:将该数每一位上的数码相加,其和若被3或9整除,则该数被3或9整除,例如:十进制数19803,1 9 8 0 3=21,而3|21,9(?)21,可以断定3|19803而9 19803,(记号“|”表示整除,“(?)”表示不     

关于能被两位数整除的整数的特征研究

判断一个整数能否被另一个整数整除一直是初等数论中一个饶有兴趣的问题.我们知道,能被2整除的数必是偶数,能被3或9整除的整数的特征是它的各个数字之和也必能被3或9整除,能被5整除的数的个位数一定是0或5,能被10整除的数的个位数一定是0,判断一个数能否被任意两位数整除并非易事,笔者研究发现如下规律.……     

多项式

多项式严华强（上海市杨浦区教育学院）多项式的很多理论与整数理论十分相似，例如整除性、带余除法，辗转相除法，公团式，因式分解等等，甚至解决问题的方法也差不多．一、多项式的整除性证先看一个整数的整除问题：对一切自然数ｎ，有１３｜４２ｎ＋１＋３ｎ＋２．通常...     

一类数的整除问题

本文讨论一类数的整除问题,即讨论n的多项式f(n)能否被m!或k·m!整除的问题(n、k∈J,m∈N)。定理 m个连续整数的乘积能被m!整除。对这一定理,所见书刊常限于自然数范围内论证。事实上,在整数范围内也是很容易证明的。     

初中数学竞赛试题选讲(待续)

本文想通过对若干竞赛试题的分析,讲一些解题方法。下面分几个方面讨论,限于篇幅这里将不讨论竞赛中大量出现的几何题。一有关整数性质的题这类题目在竞赛中极多,它们涉及到数的整除性:带余表示(设a,b为任意整数,b>0。则有唯一的整数m与r,使得a=mb r,0≤r<6);质数:数的奇偶性等等。例1 一个六位数,如果它的前半部分三位数字与后半部分三位数字完全相同,顺序也相同。则7、11、13必是此六位数的约数。做题首先是审题。依题意所设六位数应是 (?) 由于7、11、13都是质数。且7·11·13=1001,所以本题无非是要证明N被1001整除,为此,只要注意到 (?)即证得本题。     

一个简单整数性质的应用

性质如果m、n为整数,那么m+n与m-n同奇同偶. 这一貌似简单的性质,在解有关整数、整除、方程的有理数解(包括整数解)以及整数的分解等问题时,常常能化繁为简、化难为易.     

用整除知识解一道全国联赛题

<正>题目(2012年全国初中数学联赛第二试(B)试题)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.《中学生数学》2014年3月(下)吕强老师的文章给出此题的一种新解法,较贵刊此前发表的多种解法简单.由于此题已知直角三角形的边长均为整数,我想尝试用整除知识求解.解设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边,由a+b>c,c>a,a+b+c=60知,     

一个整除定理的作用

一个整除定理的作用朱端本（武钢三中４３００８０）本文得到下面的定理１、定理２，应用这两个定理处理某些整除问题，有时较方便．定理１对于整系数一元多项式ｆ（Ｘ）及整数ａ，ｘ０，当ｆ（ａ）４０时，ｘ。一ａ整除ｆ（ｘ；；）的充分必要条件是ｘ；；一ａ整除ｆ（ａ...     

初等数论中的一个猜测

任意的三个数(本文中数均指整数)中必有两个数的和为2整除,五个数中必有三个数的和为3整除,柯召、孙琦证明了任意的七个数中必有四个数的和为4整除,并猜测任意的2n—1个数中必有n个数的和为n整除.本文证明这一猜测是正确的,即有     

一类计数问题的求法

利用等价类讨论了从m个不同的整数中任取n个不同数之和能被n整除简单的计算方法.     

整数的整除性证明的常用方法

在初、高中教材和一些初等数学参考书中,经常遇到一些关于整数的整除性证明的问题。本文就这一问题给出五种证明方法。一般来说,有关整数的整除性的问题,都可以用这些方法来证明。一用分解因式法证明例1 已知m是自然数,求证m~5-5m~4 4m能被120整除。证明:m~5-5m~4=m(m~2-1)(m~2-4) =m(m-2)(m-1)(m 1)(m 2) ∴m~5-5m~4 4m可化成五个连续的整数m-2,m-1,m,m 1,m 2的乘积的形式。从而知,原式能被5整除,又能被3整除。另一     

竞赛中的质数题

<正>质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(也称素数);如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数,那么叫a做b被整除,记作b|a,b就叫做a的约数;当几个正整数有公有的约数,叫做这几个正整数的公约数,公约数中最大的一个公约数,称为这几个正整数的最大公约数;正整数a、b的最大公约数可以记作(a、b);当(a、b)=1时,则称这两个正整     

整除性的一般判别法

在“数学教育”杂志(1914年第8期和1915年第1期)刊登过的文章“论垫除性的某些判别法”。在这篇文章的第二部分给出了整除性的一般判别法的结论。所谓一般判别法,它适用于一类整数整除性的判别。例如,个位数字为1的数的整除性的判别等等。本文将给出整除性的这些一般判别法的更简结论,通过本文读者会十分熟悉这类判别法,并能将它的结论和条件应用于课外活动及今后的计算。     

一类实代数整数的无理性的初等证明

假设复数ε是某个首1的整系数方程xn a1xn-1 a2xn-2 … an=0的根,那么称ε是一个代数整数.通过整数的整除性理论(算术基本定理),我们可以证明:若实代数整数ε不是一个有理整数,则ε必是一个无理数.在本文里,我们只需用到最基本的不等式技巧即可得到这个常用结论的证明.为了说明这个方法,我们从最简单的无理的代数整数√2谈起.     

Eisenstein定理的一种推广

定理 设 f(x)=a_0+a_1x+a_2x+…+a_nx~n(a_n≠0,n≥1是整数)是一个整系数多项式,并且f(x)没有有理根。如果能够找到一个素数p,使得 (1)最高次项系数a_n不能被p整除, (2)其余各项的系数都能被p整除, (3)一次项的系数a_1不能被p~2整除,那么多项式f(x)在有理数域上不可约。     

与整数有关的含参数一元二次方程的解法

对于一个含参数的一元二次方程，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析．这里经常要用到一些整除性质．一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点，但其解法仍然是有章可循的．     

同余关系和整除法则

1.同余关系的基本理论和性质 1801年,24岁的高斯(1777-1855)出版了专著"算术研究",在其中他提出了模演算法,以统一的观点处理了数论中的许多问题,从而开创了数论研究的新时代.笔者利用了模演算法来论述整数的整除性. 对于整数a,b以及正整数m,如果a-b能被m整除,也就是说a÷m所得的余数与b÷m所得的余数相等,则称a,b关于模m同余,记为a≡b(modm).[1]     

第四讲 数字谜

数字谜是逻辑推理中常见的一种竞赛题型。它以其独特的趣味性和严密的逻辑性成为一种风靡国内外的智力测试题,它涉及的知识不深主要是整数四则运算规律和严密的推理,而进位规律,尾数规律,整除性的规律往往在解题中起到“突破口”作用。常解这类题能培养观察能力,分析能力和逻辑思维能力。 解答数字谜一般遵循以下思路: (1)分析已知条件、读懂题目、理解题意、善于观察,分析。告诉什么,要求什么,这是解