数学奥林匹克问题选登

1992年3月号问翅解答 (解答由供坦人给出) 19.设H是平面上△月刀‘区域的任一点,月万、刀万、‘万的延长线交△ABc三边于D、E、F,求证:在△月刀‘区域,存在一个以△刀召尸的某两边为邻边的平行四边形. 证如图,G是△月刀‘的重心,D‘、E‘、F‘分别为肥、“、AB边上中点,则△A肥区域被 一48一划分为六个区域:△AF‘G,△BF‘G,△胳G,才△C刀’G,△口召‘G,△AE‘G,不妨设H点落在△cR,G区域,如~口一口刀一_口召,图易知:筋镇’,兹镇l,篇、,,由塞瓦定李理,得豁·器·釜一1=>器一器·纂、1,器一豁·器、影冷艺BFD)艺FDE,乙”D“)匕…     

数学奥林匹克问题选登

l,.,年s月号问题解答 (解答由供题人给出)23.在O口外切梯形月刀‘刀中,叨//朋.试证:(l)ADZ+刀叮至<月刀,十刀C,,△月刀C.石净,仪产(头 l。.__了万__).=气犷。职M万犷=--二尸~.刀盯. 乙’乙,_、1 .1_1 .1叹Z)气下十下二吸.丁井十下共. 产U声刃七Z幻口刀L,___,。月,AEEF_了万二,。月。“夕‘‘。‘之几。月‘一几节~石蕊~一气犷~,IIu乙。月L刀笼枯 ZUJL洲奋‘ 证明:设O口切AB、货于M、N,切AD、邵于E、F;显然M、o、万共线,连o月、oD.记乃从=朋=a,刀肘=刀尸一b,角,:.乙刀月口二450.此时乙通刀召=450=匕戒甲, 由四点共圆知识又得乙…     

一常见三角公式的另一证法

“在△A刀c中,有t、A十toB十tgC= 即tga=又’:乙CBE=‘分+仇而‘一夕之匕OAE,探一︷劣招Atg山茄”这是一个常见的三角公式,但许多数学参考书都是利用三角证明的。现用另一种方法给予证明。.’.△O月E。△C刀刀,.’o刀C召EA口刀召 证明:如图,设刀D、召E、 CF分别是△A刀C三边上的 高,重心为O, 刀C=a,AC=乙, AB=C,AO=x, 刀O=万,CO=z, 乙BAC=二.乙ABE,乙刀OC=匕EOF,丫在Rt△ABE中,tga=塑二三A丑x c邵十乙之a~、-,·、-,一白‘一万之x整理得:卿:十乙二:+。刀x=a乙。,两边同除以粉之得:,.’乙且CF=(1)(2)(8)‘︸之 .,口一…     

数学诡辩

1.不过圆心的弦 与直径相等题:如图:在00中,ALB是直径,D是弦AC的中点,连结BD并延长交00于E,连结cE,求证:cE~月Z孔 证明:在△滋刀刀与△五汪℃中. 乙A一乙E,匕B一艺C,乙通刀刀一艺召Z刃,月刀二货, △月刀刀望△召之兀),…月刀~C刀认五.都是根又都是增根解方程aretg(:一1) areetg(x 1)=arctg冬. 乙解1设a=aretg(:一l), 则tga一z一1.设刀一areetg(: l),则etg刀=: 1. tga十tg刀 tg(a 刀)一下共一月誓二 ,、一‘厂‘l一tga .tg声 l、1 ~tg(arctg音)一音. ,、一一,2‘2’:一1十即 1劣 1l一劣一lx 1l2 解得:一士1,经检验,知x一1是原方程的…     

一类连比几何题的解

DO一OE筋一货 本文应用几何一定理对一类连化题进行求解。 一、定理如图!,在△A配中,E和F分别是淞和AB(或其延长线)上的点,刀百交俘 力F打FL’(了=丽一万’丽~一碑,C召CA于0,求证:(l)若 刀尸 F’A 注百=’”,丽一“,了仿十从,“十l月C一飞牙一~-「~二丽‘。二刀O则下1;=,拄(I ,已); U口(2)若 C召 召乃 月了,二1n,而~”,故豁-同理可证二、应用,,‘:书一,“(l ,:). 矛之十IC(少丁下二二In(!十r己).t沪户则器一。(1 。).图l 证明过E作那//A刀交cF于G,则易证△召口口叻△肠欣,,△亡召口叻△口通尸. 例1已知在△A淤中,E、F为衅三等…     

一道数学竞赛题的探索

第四次江苏省初中数学竞赛试题中第五oA=oB一oc=丫乒若点P与O重合,则PA=PB二户C=斌了 3 l’t’)若点P与O不重合,则点尸必在三个等腰三角形:△OAB、△0刀C,△OCA中的一个三角形内或其腰上. 不妨设点尸在等图1,火人尸/题是: 如图l,P为边长为1的正△A刀C内一点,求证:沪 (1)尸通、PB、/pc中至少有一条,其/长度大于于多B~ (2)尸姓、PB、pc巾至少有一条,其长度不超过识一习3. 这是值得探究的一道好题,想能获得一些有趣的结论。 一、结论(l)的加强对它通过联腰△OAB内或其腰上(图2),连尸O,则匕POC多乙AOC(或乙BOC)二120。,,产D、之…     

三角形角平分线的一个性质及其应用

:。AB AC A一2弋黔{COS普一2一普·A)乙(l 定理设O口为△月刀‘的外接圆的内(外)角平分线交00于p(Pl),则AB十Ac一ZAPCOS晋}朋一AC}=ZAP,cos汀一A 2(2)证明如图l,乙A的内角平分线交O口于P,连结刀p,易证△月刀尸仍△月2义少,于是有 __月刀·月〔, J心J=~--气二于一一。 ZU夕又由S     

数学问题解答

1992年9月号小肠解答 (解答由问题提供人给出) 791.在△月BC中,AB二AC,/A二20。,点D、E分别在AC、AB上:艺ABD二20“,匕ACE二一30“.试求艺BDE的度数. 解.如图作艺e召尸匕匕A/20“,F点在AC」:,联结EF.由艺BCE 匕BEC50“,乙BFC ·乙BCF:80“,得BE Bc,BF BC,从而刀E二BF.又匕EBF二60。,所以△EBF为等边三角形,且FB二FE.二40。得FB=FD,于是 一6(·;一告)(·+;一,) +(6·+,,(一;一)’一。‘6;+,, ·(‘一省)’+(·*;一,)2、。当且仅当二一;一音时,取竿号. ‘2,当·+;>,ll.t,一+,2、“飞“,’>奋· …“X,;,6(XZ;,2一…     

二倍角正切公式的一个几何推导

半径为‘一,切线刀万切于产阮|卜r|l卜.1.八vC,,下||旧、!‘l‘1 以O为圆心作半圆,圆于H点,过B作圆的另一切线刀C,交HO的延长线于C,切点为石(如图)。 设HC二人,刀H=刀刃二P,OH=O尸=场C刀=s,乙HBO二匕C方口二日,则匕HBC二又’:匕刀亡H公用,2夕…△C万O叻八CH几C万万OCH汀月_CO沛三=几 C刀~”hPh(h一了)/l一r百 P由此可得、了、7、1211Q山q合扮了、了‘、产r、s(s p)及sP二(2)一(1)得hr‘z=hZ一21乙于由(2)、(3)两式消去碍叮 尹二jlz一Zh:h=一竺一一 z一(二)2 夕两边同除以川毕 了 2(乡)1一(厂), P(一1) 一一心九一力占由图…     

上期课外练习解答

将原问题转化为比较ZR(SinA十SinB 、inC)与3R的大小关系,即比较a b 。与3R的大小关系.在锐角△ABC中,设△ABC的外接圆圆心为0.有a b>0今十OB一ZR, b十c>OB OC一ZR, a c>〔从 OC一ZR. 2(a十b 。)>6R,即a b斗。>3R.由正弦定理得ZR(5 inA sinB sinC)>3R. ~_3 ”’nA S‘nB S‘nC>言·作△ABC,使AB二BC一17,AD土BC于D,AC一:1 3.令匕ABC一a, 匕c一尽B二一“DC显然有1 7eosa 13eos月=17,1 3Sina~13sin尽由此知号 、-二2作Rt△ABC,使八〔’一4,BC一3,A召一5.取△A召C内一点尸,使乙A尸C-1 200,匕APB=1500,匕CPB=90…     

2005年高考数学湖南卷

选择题: 2.函数f(x)一了l一2x的定义域是() 复数z~i+i“+i“+14的值是( A.一1 B.O C.ID (一、, (一。, B.[o,+二) D.(一二,+。) ﹁1.、产 0门︸ AC 3.已知数列{109:(an一1)}(n eN’)为等差数 ___,一,,.,1 .1 且az=3,aZ~匕,贝组l一m气—十— ~叻口2一口1口3一口2 △ABC的面积,助- S△PBc S△ABc S△Pe^ S△ABc l 十’..一十—)=气少 口”十l一a刀 3 匕。气二向 乙 S△P^B S△ABe ,定义f(尸)一(川,几,几3),若G A.2 C.1 是△ABC的重心,f(Q)一 () A.点Q在△GAB内 B.点Q在△GBC内 C.点Q在△GAC内 D.点Q与点G重合 1 1 11\…     

關於單葉函數的偏差定理

毅奇函教叔约=C十艺。。C一2“’在co>}C}>1内是正4lJ且翠案.戈鲁泽「王]、夏道行「21曾覆明镇}氢客式‘’og以匕)一F(C:’) 匕一C了 匕+吠尸(C二)+F(C二,)(艺:二补1oz乙,+1孔,一1艺:了衫(1),一v诊=1,__己己+lIUg一二万屯万厂一二尸, ‘v‘,,一1匕一匕喀客‘厂‘ogF(C二),一r(乙了), 打一C份2《、、,/ 一住,拼,砰t=l_,,/,1、Y二“09、‘一,音万万万少、艺刃衫l,,‘=1乙份乙(2) 下.艺 成1艺一‘·丫”。gI卜.v=1卫义力一F(乙,) 乙,一二 C,+CvF(C,)+F(C,)l。。(;-}、《艺a,,·下二下·109C,万,+1乳乙一l(3)”,v=l艺a,,,丫二丫,l。g…     

这道题不妥

今“同理而上b尹聂一器一tgA,一t‘B,手一::Ct州十tgB tgC二t叼tgBtgC,牛 弃十牛=a,O,C, ‘六,al夕cJ 此题及证明抄录于湖北教育出版社出版的《高中三角疑难解析》第209页例11.这是一道流行较广的病题.事实上,当△日心沉)为钝角三角形时,不妨设乙C为钝角,则tgc<“,所以,tgc‘于,a .b~:-十号丁-十a,O了二毖‘空匕.C,’口,b,已 此题应修改为:设H是锐角△摊。口的重心,且令脚二a,Ac~b,AB二。,刀才二al,刀刀二bl,‘刀~cl.求证牛十弃 牛二a,OC’ 口酝荟a,夕C 也可修改为:设H是△月刀‘的垂心,且令邵二。,崖了=b,乃刀=c,润J了,al,BH巴夕…     

第二十九届IMO试题与解答

1.在同一平面上,有两个团心为O的同心圆,半径分别为r与R(,(R),尸是小圆上一个固定点,B是大国上个动点,B尸交大圆于另一点C,过尸作刀C的垂线交小圆于点A, (1)求S“月B“+BC“+CA忍所取值的集合: (幻求月B中点轨迹,(若尸月勺小目相切,则月二P). 解(1)如图1.廷长尸月交大圆分别于M、N,设材尸,“,B尸=二,尸N=口,尸C=y.,.i MN土BC,:.““+沪+二,+夕2二(ZR),.(l)设A尸=。,在Rt△刁尸C与Rt△月尸B中应用勾股定理得:月C:二m忿+少2,月B名=m“+x气一S=2川么+、“+y:+(二+y)“=2(。一v)“+2(x忍+y忍)+2二夕二:(。1+t,,+二“+夕2)一4。。+…     

上期课外练习参考解答

(上接第37页) 在△ACD中,AE一粤(Ac AD一cD) 乙 AB一BC一AD一CD,在△BcD中,BG一粤(Bc BD一cD), 乙一*,一一一一~1,一,__._、仕之兰八彭曰甲,刀户一二戈八月十乃刀一八曰少. 乙 BG一BF一粤(Bc一cD一AB AD) 乙1尸.____不匕仁八口一C扫)一(A刀一刀〔川‘ 一O, BG一BF,即G、F两点重合.故△ABD和△BCD的内切圆互相外切.口…初一年级… _a一干1了<、只一、, 乙了>Zb 3及一1<二<1‘1..少l| 由,。!2占 3一‘’.f一1,寸寻成a十1,二(. }-一下厂一一1.}b一一艺 L乙共有如图(a十1)(b一1)=一6.499个零.,设AC一二,则AB一2工根据线…     

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

一道向量题的四种解法

沙，度雌 题目在△ABC中 AB~一了，且万·万一石‘· △ABC是什么三角 形? 解法一设<万， 了)一8，，(下，了)一氏， 作BH土AC，H 为垂足(图1). 万‘·石’一石’ ·下，l万’.半。， ，BC一了，CA一万， 了一了·万，那么 八， 召一下尹~—.岔- 崖… 0，+/C一0。十匕A~二， 1了!。ose=1万’}cosA 即HC一HA. BC一AB.同理BC一CA. 故△ABC为正三角形. 解法二由正弦定理知 l万‘l_l万1 sinC sinA ① ② 多 图1 I万1 eoso:=I下‘1 eos82. 将解法一中的①式乘以②式并整理得 eotC=eotA， 匕C一乙A.同理匕C~乙B. 故△ABC为正…     

数学问题与解答

将2002年第3期“数学问题与解答”栏中提出的四个问题解答如下: 1.△ABC中,乙B二2匕C,AD是高,DE土AB,刀F土AC,E、F都是垂足,当AD二DE+同理,指=eosBsinB5 in亡1一eoSC)②由①③得5 inB(l一cosB)eosBsinB一。inC(1一coSC)DF时,求 AC ABeos CsinCl一eosB 解显然,当匕B为直角时,AD并DE+DF,故分匕B为锐角、钝角两种情形讨论. lo若乙B为锐角. 注D二ABsinB二ACsinC,DE=ABeosBsinB,DF二魂CeosCsinC. …滩刀二刀石+DF.…ABsinB二ABeosBsinB+ACeosCsinC. 即通BsinB(l一。osB)=」C〔.oSCsinC. 盛C sinB(l一eosB)~ …     

一道课本上习题的推广与应用

求证:A 刀 C一“”(”七z)是:tg月十‘91, tge二ts滋·tgB·*‘己的充要条件。 证明充分性\由A十刀一‘一C(lJ任Z)得到一tgC二ts(A十召)=tgA十tgCl一tgAtg召 tg4 tg刀十tgC一tgA·tg6·tg〔’必要性假设、一tg爪‘U一0,则t‘,一六- t匕L, ,汀气8又下~一廿) 乙 高中代数第一册PZ17第22(!)题:△注肥,求证:tg月 tg刀 tsC=tgA,g召‘gC· 本文将此题推广成如下: “十”一“, 晋‘。任z,将ts月·t8B=I代入tgA十tg召十tgC=tg乃·tg召·tgC“tg(’ tgA十ts刀~0解得:A十刀二川二(ll,ez)①与②矛盾,故1一论A·饱召护0①②3马将tgA tg刀二t…     

一个古典几何定理的推广

统编教材《几何》二册有题: 内接于圆的四边形A刀CD对角线月c与刀D垂直相交于K.过K的直线与边摊D、BC分别相交于H和M.那么 (1)’若‘万土乃D,则c材一对B; (2)若C脚=MB,则式H土_月D. 其中(l)是卜拉美古塔(7世纪印度数学家)定理. 由于△B‘‘为直角三角形,所以M为△仪服的外心,因此可作如下推广: 定理过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边、以交点为一顶点的三角形的外心.悔 证明如图l,设圆内接四边形月刀‘刀对角线韶、BD相交于尸点,过p作直线PH土AB于H,作DP中垂线交IlP于口,交Dp于刀.我们来证明Q为△…