用变换乘法讨论“周期点列”

第27届国际中学生数学竞赛(IMO)试题第2题是中国提供的试题: “平面上给定△A_1 A_2A_3及点P_0,定义A_s=A_(s-3)≥4。造点列P_0,P_1,P_2,……,使得P_(k 1)为绕中心A_(k 1)顺时针旋转120°时P_k所到达的位置。K=0,1,2,……,若P_(1986)=P_0,证明△A_1 A_2A_3为等边三角形。” 题中所给的点列有性质P_(1986)=P_0,表明至     

一类周期点列——由一个国际数学竞赛题想到的

第二十七届国际中学生数学竞赛的第二题是:“平面上给定△A_1A_2A_2及点P_0,定义As=As_(-3)s≥4,造点列P_0,P_1,P_2,…使得P_(k+1)为绕中心A_(k+1)顺时针旋转120°时,P_k所到达的位置.k=0,1,2….若P_(1986)=P_0,证明△A_1A_2A_3为等边三角形.”此题由我国提供,命题的背景常庚哲老师已写出,本文将利用常老师给出的一些结果,进一步讨论这一类周期点列.     

平面分线段所成比的定理及应用

设线段AB和平面α相交(或延长后)于D,AA_1⊥α、BB_1⊥α,(A、B∈α)则有AO/OB=AA_1/BB_1。这是在立几中不难证明的事实。我们可称它为平面分线段所成比的定理,即定理一条线段和一个平面(或延长后)相交,交点内(或外)分线段的比,等于对应端点到平面的距离之比。 (*) 下面例举说明这个定理的应用。例1 设空间四边形A_1A_2A_3A_4,平面α与A_1A_2、A_2A_3、A_3A_4、A_4A_1或其延长线顺次相交于P_1、P_2、P_3、P_4,求证A_1P_1/P_1A_2·A_2P_2/P_2A_3·A_3P_3/P_3A_4·A_4P_4/P_4A_1=1。证明设A_1、A_2、A_3、A_4到平面α的距离分别为h_1、h_2、h_3、h_4,由定理(*)有:     

巧用定比λ处理介值问题

一、λ的范围及其几何意义我们知道,定比λ=(P_1P)/(PP_2)。表示的是P点分有向线段P_1P_2的(分点P的)比,其几何意义是: 1.当λ>0时.P点位于P_1、P_2之间; 2.当-1<λ<0时,P点在P_2P_1的延长线     

椭圆中隐藏的“双曲线”

<正>作为圆锥曲线的重要内容,椭圆,双曲线,抛物线,往往被分而治之,除了第二定义和统一极坐标方程,它们之间还有何联系呢?本文就来探究它们之间的转化规律.先看这样一道题:如图1,A_1A_2是椭圆x~2/4+y~2/3=1的长轴,P_1P_2是椭圆与A_1A_2垂直的弦,求直线A_1P_1与A_2P_2交点E的轨迹方程.     

诺模图

为了让更多的同志了解这一学科,下面将談些仅仅涉及到初等数学的諾模图。 1.三平图:假设在坐标系XOY上有三图尺代表三变量U,V,W,具有下列条件: ⅰ) 三图尺互相平行,其間距离为d_1及d_2,且H=d_1 d_2。ⅱ) 三图尺之原点,A_0,B_0,C_0在X軸上,且A_0与坐标原点重合。ⅲ) 貫线l与三图尺交于三点P_1,P_2,P_3,如图1。求此图所表示之函数关系。     

“跳蛙问题”的推广

<正> 本文所指“跳蛙问题”,即第二十一届国际中学生数学竞赛试题的第6题.此题在[1]中已有一种解法.本文目的是将问题推广,并用一种新解法求得解答的普遍形式.一、问题的一般提法跳蛙问题.设 A_0A_1A_2…A_(m-1)A_mA′_(m-1)A′_(m-2)…A′_2A′_1是一个正2m 边形.一只青蛙从 A_0点开始跳跃.如果青蛙在任一个不是 A_m 的顶点,那么它可以跳向两个相邻顶点中的任一点,当它跳到 A_m 点时就停在那里.设 e_n(m)为经过 n 步到达 A_m 的不同的路的个数,试求 e_n(m).(注.一个 n 步路是指顶点的一个序列(P_0,P_1,…,P_n)满足:1) P_0=A_0,P_n=A_m;2)对每个 i,0≤i≤n-1,P_i(?)A_m;3)对每个 i,0≤i≤n-1,P_i 与     

第九届美国数学邀请赛(AIME)试题及解答

1.已知:xy x y=71,x~2y xy~2=880,x,y为正整数,求x~2十y~2. 2.矩形ABCD,AB=4,CB=3,点A=p_O,P_1,…,P_(168)=B把AB边分为168个相等的小段,点C=Q_o,Q_1,…,Q(168)=B把CB边分成168个相等的小段,做线段P_kQ_K,1≤k≤167,在AD,CD上同样重复上述过程,再引对角线AC,求这335条线段长度之和。 3.把(1 0.2)~(1000)按二项式定理展开,且令c_1000~0(0.2)~0 C_1000~1(0.2)~1 … C_1000~k(0.2)~1000=A_o A_1 … A_1000,其中A_=C_1000~1000(0.2)~k,k=0,1,2,…,1000,问使A_k最大时k是多少?     

高中数学同步训练 第七章 直线

§1 直角坐标系·定比分点一、选择题 1.ABCD是一个四边形,顶点是A(-5,-1),B(15,-6),C(8,12),D(-2,7),P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点,则PR和QS的交点T的坐标是( ) (A)(5,4) (B)(4.5) (C)(4,3) (D)(3,4) 2.x~2 y~2—2axcosθ-2lysinθ-a~2sin~0=0在x轴上截得的弦长是( ) (A)2a (B)4|a| (C)2~2(1/2)|a| (D)2|a| 3.点P把线段P_1P_2分成P_1P与PP_2两线段的比λ=P_1P/PP_2,如果λ=-1那么( ) (A)P与P_1重合 (B)P与P_2重合 (C)P在线段P_1P_2之外 (D)P点不存在     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

正则卵形线的一些性质

本文建立正则卵形线的弦切角与曲率关系,利用此关系以研究弧上曲率的变化是比较方便的,由此不仅简单的得到S. B. Jackson之结果(系2)及W. C. Graustein之曲线之性质(系3);而且得到下列正则卵形线之性质: 定理1.一正则卵形弧具有顶点之充份及必要条件是有一圆存在,此圆与弧至少相切于二点,若此卵形弧有一段弧是圆弧的话,则此二切点不同在此圆弧上。定理2.设A_1,A_2,…,A_(2n)依次为一正则卵形线之顶点。A_1,A_3,…,A_(2n-1)之曲率为极小;A_2,A_4,…,A_(2n)之曲率为极大。顺次连结各顶点成一内接多角形,则     

关于三角形的可匹配性

我们约定:两个三角形A_1A_2A_3和B_1B_2B_3在空间R~3中叫做“可匹配的”(matchable),如果存在三条平行直线P_1、P_2、P_3和刚性运动σ、τ使得σ(A_i)和τ(B_i)位于P_i上。(i=1,2,3)(图1) 那么,两个三角形可匹配的充分必要条件是什么呢? 这个问题是P.Robbins于1978年提出的,在原来的题目中将两三角形的这种关系叫做“等价”(equivalent)。但这种关系并不是一种等价关系因为它是非传递的。所以我们用“可匹配”这个词代替它。 M.Goidberg于1979年11月给了一个解答。但这个答案看来是不正确的。他说,设a≤b≤c是较小     

两种方法的结果是相同的吗?

<正>问题设P是锐角△ABC的边BC上的一个定点,试分别在边AB和AC上各求一点M和N,使△PMN周长最小.作法1如图1,分别作出点P关于AC的对称点P_1和点P关于AB的对称点P_2,连结P_1P_2,P_1P_2分别与AB和AC交于点M和N,点M和N即为所求点.(证明略)由两点间线段最短,及二相交直线只有唯一交点,可得所求点M及点N都是唯一的.     

“代点法”一文的一点补充

一九八三年第六期《数学通报》刊载了胡世荣同志的篇名为“解平面解析几何题的简捷方法——代点法”的文章。文章的绝大部分内容是正确的,也是简捷的一种解题法。但文中第三部分“二次曲线的弦被一定点平分求这弦所在的直线方程”,作者却忽视了定点M(m,n)在坐标系中的位置。应当指出:绝非任一点M(m,n)都有弦P_1P_2存在,使得P_1、P_2在二次曲线上,且M为P_1P_2线段的中点。     

二次曲线的极线

“极点”和“极线”原是射影几何学中的概念 ,本文旨在概略地介绍它们的一些初步性质及在平面解析几何中的应用 .我们知道 ,在射影几何里 ,常把直线 p: 1- 3i,j aijpixj=0称为点 P( p1,p2 ,p3)关于二阶曲线S: 1- 3i,j aijxixj=0的极线 ,点 P被称为直线 p关于二阶曲线 S的极点 .在这样的定义下 ,每个不在二阶曲线上的点总有极线 .回到解析几何 ,设 S:Ax2 2 Bxy Cy2 2 Dx 2 Ey F=0为常态二次曲线 ,P( x0 ,y0 )为不在S上的点 (有心二次曲线的中心也除外 ,下同 ) .点P关于 S的极线就可定义为直线 p:Ax0 x B( x0 y y0 x) Cy0 y…     

梅涅劳斯定理的推广和应用

全日制《几何》课本P_(235)26题: “一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长线于点D、E、F,求证: BD/DC·CE/EA·AF/EB=1 此题为梅涅劳斯(Menelaus)定理的部分内容,因为初中《几何》课本没有考虑线段方向。所以这种书写是合理的。此题可推广到更一般的形式: “一直线截凸n边形A_2A_2…A_n的边A_1A_2、     

高中数学综合训练六 直线与圆锥曲线

1 已知两点P_1(-2, -2)、P_2(2,0),(1)在直线p_1p_2上找一点p,使|pp_1|为|p_1p_2|的1/4(2)在p_1p_2的延长线上找一点Q,使得有|P_2Q|:|p_1Q|=1:2 2 已知平行四边形ABCD中,三顶点坐标分别是(-2,-1)、(0,2)、(2,-1),求第四顶点坐标。 3 已知直角三角形ABC,斜边BC两端点坐标为B(m,a)、C(m,b),求此三角重心的轨迹。 4 试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹方程,并作出轨迹图形。     

定比分点公式的推广

定理1 设P为线段AB上一点,AP/PB=λ,AA_1∥BB_1∥PP_1为一组平行线,截直线l于A_1、B_1、P_1,设AA_1=a,BB_1=b,PP_1=x,则 1)当A_1、B_1在直线AB同侧(或有一点在AB上)时, x=(a λb)/(1 λ) 2)当A_1与B_1在直线AB异侧时, 证明如图连A_1B,交PP_1(或其延长线)于Q,应用相似三角形可算出PQ,QP_1,应用PP_1=PQ±QP_1,注意AP=λ·PB,AB=(1 λ)PB,即得。定理有很多应用,如解析几何中定比分点     

三棱柱中折线的最值问题

<正>问题呈现如图1,在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC_1=2(1/2),P是BC_1上一点,则CP+PA_1的最小值是____.讨论经历易知,若A_1、P、C三点在一条直线上时,A_1P+CP最短.连接A_1B,即可将平面A_1C_1B_1沿BC_1翻折,使之与平面BCC_1在同一平面(如图2)。     

一道赛题的简证

1992年全国高中数学联赛第二试题第一题为:设A_1A_2A_3A_4为☉O的内接四边形,H_1H_2、H_3、H_4、依次为△A_2A_3A_4、△A_3A_4A_1、△A_1A_2A_4、△A_1A_2A_3的垂心。求证:H_1、H_2、H_3、A_4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置。