一定是正比例函数吗?

<正>正比例函数是同学们最早接触到的函数,它满足条件f(x+y)=f(x)+f(y).在一些场合,也会遇到反向的问题:一个函数满足上述条件(为方便引用,之后我们称为保加性),它一定是正比例函数吗?类似的问题在概念学习,直至数学竞赛题中都时常出现,如[1].本文就此做一个较详细的说明.     

你发现它们的周期了吗?

有些数学问题,表面上看与周期毫无关系,但实际上隐含着周期性,一旦揭示了周期,问题就迎刃而解。下面以函数和数列为例说明如下。 1．函数中的周期例1 设对任意整数x,都满足f(x)=f(x 1) f(x-1),且f(0)=19,f(4)=93,求f(59)的值。解∵ f(x)=f(x-1) f(x 1), ∴ f(x 1)=f(x) f(x 2), 两式相加并整理得f(x-1)=-f(x 2), ∴ f(x)=-f(x 3), ∴ f(x 6)=-f(x 3)=f(x), 从而f(x)是以6为周期的函数。∴ f(59)=f(6×9 5)=f(5) =f(4) f(6)=f(4) f(0)=112。例2 函数f(x)在R上是有定义的,且满足(1)f(x)是偶函数,且f(0)=2008；(2)g(x)=f(x-1)是奇函数。试求f(2004)的值。     

初等函数的导数是初等函数吗

给出实例说明初等函数的导数可以是非初等函数.     

什么是函数?

本世纪二十年代末,关于函数的定义又产生了新的危机,这一次危机是来自物理.物理学家很久以前就一直注视着数学.从他们的观点看,数学应当是精确的,方便的,通行无阻的工具,它能帮助物理学家深入地观察自然界的奥秘.除了数学之外,实验与物理直观也是这样的工具.对物理学家来说,古典数学是值得重视的工具,但却很繁琐.例如,在古典数学中,在对任一函数微分之前,先要确定它存在着导数,在对一个收敛的函数项级数微分之前.先要说明其导数级数是否一致收敛等等.所有这些顾虑.从物理学家的观点来看完全是     

不同的数学问题源于同一个函数模型

近来几个出现在多家刊物上的数学问题引起笔者的兴趣,经过研究发现,尽管它们的表述形式不同,考查方向不一,解决办法多样,但笔者认为它们的内涵一致、背景相同,共生于一个函数,倘     

果真是妙法吗?

同学们知道,在解数列的求值问题时,设未知数很重要.如果设得巧,常会使解题过程简捷,提高解题效率.否则,会加大计算量、增加解题难度.但是,对于“巧法妙解”也要审慎处之,以免弄巧成拙. 譬如:当三个数成等差数列,它们的和为已知数时,常设这三个数为a-d,a,a d; 当三个数成等比数列时,如果它们的积为     

这是真的吗?

正谜之岛搜罗天下怪事,但道听途说之事太多,不一定所有的怪事都是真的,下面这几桩怪事有哪些是真的,哪些是假的?请你猜猜看,把你的答案寄到编辑部来吧,回答正确的幸运读者会获赠神秘礼物哦!我们的地址是:(210003)江苏省南京市虎踞北路39号圣淘沙花城6幢2单元1512室,L ucky收。E-m ail:zlkc365@126.com。     

这是多面体吗?

高中立体几何课本(甲种本)提到:除简单多面体外,还有不是简单多面体的多面体。例如将正方体挖去一个洞所得到的多面体。(图1)。这里有两个问题值得注意。第一,图1所示几何体是多面体吗? 按同一中学课本上的定义,“由若干个多边形所围成的几何体,叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。”由此,我们得知,多面体的各个面,都必须是平面多边形。现行中学几何课本第一册定义,“由一些线段首尾顺次连结组成的图形,叫做多边形。”按这个定义,图     

函数的定义域会是￠吗？

函数的定义域会是￠吗？韩新生（山东苍山一中２７７７００）《数学通报》１９９５，６Ｐ２１—２３文《函数ｙ＝ｔ。＋。＋ｋ由己口工二【…ｋ／０）的值域》中说：“１．当护一４ｘＣ＜０时，函数ｊ（Ｃ的定义域为①，值域为①．”笔者不敢苟同，从现行课本（必修）函数...     

你会区别这些函数问题吗?

有些函数问题,形式相似,但实质却不同,常有同学张冠李戴,造成误解,下面列出几组典型问题,进行对比、辨析.1.区分“A B”与“B A”.例1已知函数f(x)=log2(x2-2ax 3)(a∈R).1)若f(x)的值域为[0, ∞),求a的值.2)若f(x)的值非负,求a的取值范围.解1)设u=x2-2ax 3,则u=(x-a)2 3-a2≥3     

棱锥是凸多面体吗?

《立体几何》P75言:“所有的棱柱、棱锥、棱台指的都是凸多面体,图中的多面体不是凸多面体”。在教学中,学生提出疑问:图中的多面体符合棱锥的定义:“有一个面是多边形,其余各面是有一     

这是假命题吗?

在新教材的学习中不少教师和同学认为命题 :“若ｘ +ｙ≠ 5 ,则ｘ≠ 2或ｙ≠ 3”( )是假命题 ,理由是 :命题 ( )成立 ,则命题 :“若ｘ+ｙ≠ 5 ,则ｘ≠ 1或ｙ≠ 4”也成立 ,即 :由命题( )的条件“ｘ +ｙ≠ 5”可得到无穷多个类似的结论 .这样 ,如同命题“若ｘ2 =9,则ｘ =3”( )一样 ,应是假命题 .事实上 ,命题 ( )是正确的 ,因为命题( )与 ( )是两种不同的逻辑形式 ,不能类比 .如何分析呢 ?可采用如下方法 :分析 1　反证法假设命题 ( )的结论“ｘ≠ 2或ｙ≠ 3”不成立 ,则“ｘ =2 ,且ｙ =3” ,所以ｘ +ｙ =5 ,与条件ｘ+ｙ≠ 5矛盾 ,所以假…     

Z~N是自由模吗?

T.S.Blyth 在所著“模论”第七章中断言,当 R 是有单位元的环时,R~N={(?),…)|α_j∈R}是自由 R-模.本文举出 Z~N 这个反例来证明 T.S.Blyth 的上述论断是错误的.     

这是组合问题吗?

题目　一张三角形纸片内有 99个点 ,连同原三角形的顶点这 10 2个点无三点同在一直线 ,若以这些点为三角形顶点 ,把这张三角形纸片剪成小三角形 ,这样的小三角形共有(　　 ) .(A) 3 0 0个　　　 (B) 17170 0个(C) 2 0 1个　　　 (D) 199个许多同学看到上面这道题都会有这样错误的想法 :因为 10 2个点无三点共线 ,所以由组合知识知这样的小三角形共有C31 0 2 =17170 0个 ,选 (B) .其实 ,这不是一个组合问题 .如图 ,△ABC内有四点D、E、F、G ,这四点无三点共线 ,它们能组成四个不同的三角形 ;但以这些点为顶点能否剪下四个不同的三角形…     

函数符号是谁引入的?

<正>函数是中学数学的基本概念,对培养学生的辩证思维能力具有重要作用.数学符号不仅体现数学的形式美,而且反映着数学的本质.关于函数符号y=f(x)的创立,人教版普通高中教科书A版数学必修第一册P62页说是由莱布尼兹引入的^([1]),而在我国数学史家杜石然先生在《函数概念的历史发展》一文中写道函数符号f(x)是欧拉于1734年首先引入的([1]),而在我国数学史家杜石然先生在《函数概念的历史发展》一文中写道函数符号f(x)是欧拉于1734年首先引入的^([2]).杜石然先生的说法参考的是苏联大百科全书"数学符号"条.那么哪个说法准确呢?莱布尼兹和欧拉在函数概念发展中起到了怎样的作用?