原命题与逆否命题"不"一定等价

原命题:若a>6,则 (?)a >(?)b . 显然原命题为假. 逆否命题:若(?)a≯(?)b,则a≯b. 因为:“不大于”就是“小于等于”,所以这个逆否命题可变形为:若(?)a≤(?)b,则a≤b,内容正确,即逆否命题为真.     

互为逆否不等价

在课本上“点的轨迹”一节里,有这样一个结论:两个互为逆否的命题是等价命题。然而这里有一个反例: 原命题,若a=0,b=0。则a b=0;逆否命。题:若a 6≠0,则a≠6,b≠0。我们分析a b≠0,则a有可能为0或b有可能为0,当然并不是a,b同时为0.所以上述逆否命题是假命题,而它的原命题却又是真命题。这样,上例即说明了互为逆否命题不一定等价。     

何时使用符号“(非汉字符号)”?

“ ”是数学推理中经常使用的符号 .命题“若ｐ则 ｑ”为真时 ,我们记作“ｐ ｑ” .可见 ,“ｐ ｑ”所表示的不是一个等待判断真假的命题 ,而是一个已经证明为真的命题 .但不少人甚至某些所谓权威资料 ,往往错误的使用这个符号 .如错例 1　ａ ,ｂ都是实数 ,写出命题“ａ =0 ａｂ=0”的逆命题、否命题和逆否命题 ,并分别判断它们的真假 .解　①逆命题 :ａｂ =0 ａ =0 .逆命题为假 .②否命题 :ａ≠ 0 ａｂ≠ 0 .否命题为假 .③逆否命题 :ａｂ≠ 0 ａ≠ 0 .逆否命题为真 .不妨看一看语句① .一方面 ,用“ ”表示该命题 ,另一方面又将它判…     

互为逆否命题同真假的妙用

命题“若p则q”和命题“若→q则→p”互为逆否命题,互为逆否命题的真假性相同,我们称互为逆否的两命题是等价的．互为逆否命题的等价性在判断命题真假、证明命题、判断充分必要条件和求解参数取值范围等问题中有重要的应用,下面举例说明．     

关于“充要条件”的教学

一、数学命题的四种形式及其关系Ⅰ.若A则B。(原命题) Ⅱ.若B则A。(逆命题) Ⅲ.若。(否命题) Ⅳ。(逆否命题) 四种命题的关系如右图所示。可以证明,命题Ⅰ与Ⅳ是等价的。证明:先证“若A则B     

谈一道关于“都是”的习题

初中平面几何课本有一道习题;写出命题“a、b(整数)都是偶数时,a+b为偶数”的逆命题、否命题、逆否命题,并确定它们的真假。对这题有不同看法,现谈谈我的认识,请批评指正。     

互为逆否命题同真假的妙用

命题"若p则q"和命题"若q则p"互为逆否命题,互为逆否命题的真假性相同,我们称互为逆否的两命题是等价的.互为逆否命题的等价性在判断命题真假、证明命题、判断充分必要条件和求解参数取值范围等问题中有重要的应用,下面举例说明.一、利用     

名校基础知识自测

一、选择题1.a ,b ,c为实数 ,则ac2 >bc2 是a >b的(　　 )条件 .(A)充分不必要　 (B)必要不充分(C)充要 (D)既不充分也不必要2 .已知映射f :A→B ,集合A中元素n在对应法则 f下的像为 2 n+n .则 70的原像是(　　 ) .(A) 6　 (B) 7　 (C) 8　 (D) 93 .命题 :“若ab =0则a =0或b =0”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为(　　 ) .(A) 1　 (B) 2　 (C) 3　 (D) 44 .不等式 |2x +3 |≥ 7成立的一个必要不充分的条件是 (　　 ) .(A)x≥ 2　　　 (B)x≤ -5(C)x≥ 2或x≤ -5(D)x >1或x≤ -35 .已知函数y =f(x)定义域为 [-2 ,4] .…     

要"主体"、更要素质

笔者曾听过一节讨论课 ,课题是“四种命题 (二 )”,讨论的是原命题为真时 ,逆命题、否命题、逆否命题的真假 ,学生都做了充分的准备 ,侃侃而谈 ,虽观点基本上都是课本列出的 ,但考虑问题的角度有区别 ,所举例子也各不相同 ,气氛相当热烈 .从调动学生主动性、从学生投入来说 ,效果非常好 .然而 ,讨论在下列问题处受阻 :问题　原命题、逆命题、否命题、逆否命题中 ,正确的命题有几个 ?试举例说明 .绝大多数同学认同课本中“原命题与逆否命题同真同假”的观点 ,认为四命题中正确的命题或者没有、或者有二个、或者有四个 .独有一位同学坚持认为…     

常用逻辑用语

1.本单元重、难点分析本单元的重点:"若p,则q"形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,四种命题的相互关系,反证法,充分必要条件,含逻辑联结词"或"、"且"、"非"的复合命题,复合命题的真假性,全称命题、特称命题、含一个量词的命题的否定.本单元的难点:(1)四种命题真假的判断;(2)     

否定与肯定同样重要

对一个命题的条件或结论进行否定,人们往往不大重视,认为这是一件很简单的事情。 果真如此吗? 例1 试写出命题“在ΔABC中,若acosB=bcosA,则Δ为直角三角形或等腰三角形”的逆命题,否命题及逆否命题,并判断其真伪。 这是某地区的一道竞赛题。其实原命题及其逆均     

陕西卷（理科数学）

一、选择题 1．设a,b是向量,命题“若a=-b,则｜a｜=｜b｜”的逆命题是（ ）     

充分条件和必要条件的判断

对于充分条件和必要条件 ,要能够正确地理解和判断 .1　概念1.1　若 p q ,则称p是 q的充分条件 ,q是p的必要条件 .1.2　若 p q ,则 p是q的充要条件 .1.3　若p q且 q 　q ,则称p是 q的充分不必要条件 .1.4　若 p 　q且 q p ,则称 p是q的必要不充分条件 .1.5　若p 　q且q 　 p,则称p是 q的既不充分也不必要条件 .2　概念的理解2 .1　从命题的角度理解设原命题为“若 p则q” ,则1)若原命题为真 ,则 p是q的充分条件 .2 )若逆命题为真 ,则 p是 q的必要条件 .3)若原命题和逆命题都为真 ,则p是 q的充要条件 .4 )若原命题为真而逆命题为假 ,…     

一个数学问题推广结论的纠正

《数学通报》数学问题1845和1990是同一道题:已知a＞0,b＞0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值. 文[1]对此题有如下两个猜测推广: 推广1若a＞0,b＞0,m/a十n/b=1(其中m,n为正常数),则a+b-√a2+b2的最大值为2m+2n-2√2mn.     

一个无理不等式的拓展及其证明

郭要红老师在文[1]中提出如下猜想: “a,b＞0,n≥2,n∈N,0＜λ≤n,则n√a/a+λb+n√b/b+λa≤2/n√1+λ.” 文[2]对此猜想给出了一个初等的证明方法.笔者拜读此文受到启发,类比推理并修正获得三个一般性的结论,并且探索到了简明的初等证明方法.     

争鸣

问　题　　 问题 36　 命题S为“若 p则 q” ,对于S的否定、否命题和┐S ,有下列观点 :观点 1　S的否定为“若 p则┐q” .观点 2　S的否定为“若┐p则q” .观点 3　S的否定为“若┐p则┐q” ,即它与S的否命题是一回事 .观点 4　┐S为“若 p则┐q” .按照观点 4的说法 ,若S为“若x≠ 1且y≠ 2 ,则x + y≠ 4” ,则┐S为“若x≠ 1且 y≠ 2 ,则x + y =4” .显然 ,S和┐S都为假 ,这与复合命题的真值表矛盾 ,这是什么原因呢 ?难道┐S不是“若 p则┐ q”吗 ?若不是 ,那又是什么呢 ?S的否定、否命题和┐S ,究竟有什么区别和联系 ,这正是许多师…     

关于"若p则q"的否定

贵刊 2 0 0 1年第 7期《对“集合与简易逻辑”的教材分析与建议》一文在谈到否命题与命题的否定的区别时有下面这样一段话 :如果原命题是“若 p则 q”,那么这个原命题的否定是“若 p则非 q”,即只否定结论 ;而原命题的否命题是“若非 p则非 q”,即既否定条件又否定结论 .因此笔者认为 ,上面那一段话中将命题“若 p则 q”的否定说成是“若 p则非 q”是一种错误说法 .为清楚起见 ,列出真值表如下 :p q非 q若 p则 q若 p则非 q假假真真真假真假真真真假真假真真真假真假由上面的真值表可以看出 ,命题“若 p则非 q”与“若 p则 q”的真假性并不是…     

非零向量a、b的夹角为锐角(钝角)的充要条件

设a≠0,b≠0,a、b的夹角为θ(0≤θ≤π),则根据数量积的定义a·b=|a|·|b|·cosθ不难得到:①若θ为锐角,则a·b>0;②若θ为直角,则a·b=0;③若θ为钝角,则a·b<0,这三条结论大家足熟悉的.对这三条结沦作逆向思考,即它们的逆命题是否成立呢?先看以下两个问题:……     

一个逆否命题的辨析课例

导言 :前面我们学习了四种命题之间的关系 ,我们知道 ,将一个命题“若 ｐ则 ｑ”的条件和结论交换 ,并同时否定所得到的新命题“若┒ ｑ则┒ ｐ”就是原命题的逆否命题 ,根据这一法则 ,请同学们写出命题 :“若ａ ,ｂ全为 0 ,则ａｂ =0”的逆否命题 .抽一名中等水平的学生甲在黑板上写出 ,其余学生在下面练习 .学生甲写出的逆否命题是 :“若ａｂ≠ 0 ,则ａ≠ 0且ｂ≠ 0” .教师 :请同学们根据自己的思考 ,试判断学生甲写出的逆否命题是对还是错 ?学生乙 :甲写出的逆否命题正确 !教师 :请你 (学生乙 )说明你的判断理由学生乙 :因为一个命题与…     

一道无理不等式竞赛试题的证明与类似

在2010年5月13日举行的河北省高中数学竞赛试题里,有这样一道有趣的代数无理不等式证明题: 问题:已知a,b∈[1,3],a+b=4, 求证:√10≤√a+1/a+√b+1/b＜4√6/3.