判别式失效了？

近期笔者编拟了这样一道题 :已知椭圆C :x216 y212 =1,其右焦点为F ,O为坐标原点 ,P为C上的动点 ,求 |PO| |PF|的取值范围 .解法思路是 :易知F(2 ,0 ) ,设 |PO| |PF| =2a ,则将问题转化为 :以O ,F为焦点 ,以 2a为长轴长的椭圆E :(x - 1) 2a2 y2a2 - 1=1(a >1)与椭圆C有     

减少解析几何运算量的几种常用策略

解析几何的解题思路容易分析出来,进行合理运算是解析几何解题的关键．同学们常常会由于方法不当,使运算过程变得很复杂,甚至无法进行到底,最终解题失败．本文举例说明减少解析几何运算量的常用方法,供参考．一、活用定义例1在椭圆x2/25 y2/9=1上求一点P,使得|PF1|=2|PF2|(F1、F2分别是左、右焦点)．分析若设P(x,y),列方程组求解,虽然思路清晰,但运算量大．解设P(x,y),由椭圆的第一定义知|PF1| |PF2|=10．又|PF1|=2|PF2|,故|PF2|=10/3．椭圆的离心率e=4/5,右准线x=25/4．由椭圆的第二定义知25/4-x=10/3·5/4,解得x=25/12．所以P(25/12)．     

构圆定界求范围

解析几何中求参数范围的问题一直倍受青睐 ,为此 ,本文特介绍一种“构圆定界法”速解一类解析几何范围问题 .图 1　例 1图例 1　椭圆 x29+ y24=1的焦点为F1,F2 ,P为其上的动点 ,当∠F1PF2为钝角时 ,点P横坐标的取值范围是 .解析　这是一道2 0 0 0年全国高考题 ,解法较多 ,但用构圆定界来解显得简捷明快 .由椭圆方程得a2 =9,b2 =4 ,∴c2 =5 .故以 |F1F2 |为直径的圆的方程为x2 +y2 =5 .由方程组x2 + y2 =5 ,x29+ y24 =1中消去 y ,得4x2 + 9(5 -x2 ) =36 .解之得P点的横坐标为x =± 355 ,此时∠F1PF2 =90° .故由图 1知 ,当∠F1PF2 为…     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

新题征展(66)

A题组新编1.已知⊙C:(x+3)2+y2=R2(R>0)和⊙D:(x-3)2+y2=1,动圆M与⊙C,⊙D均相切,圆心M的轨迹为E.(1)当R=1时,E的方程是;(2)当R=3时,E的方程是;(3)当R=5时,E的方程是;(4)当R=7时,E的方程是;(5)当R=9时,E的方程是.2.已知:椭圆:x225+y216=1,F1、F2分别为左、右焦点,点A(1,m),点P为椭圆上动点.(1)当m=5时,|PA|+|PF2|的最小值是;(2)当m=1时,|PA|+53|PF2|的最小值是;(3)当m=1时,|PA|+|PF2|的最小值是.3.△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,(1)z=ax-y取最小值的唯一最优解是(-1…     

基于圆锥曲线的一组性质的试题新编

1.试题例1(2011年龙岩质检题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率e=23,点P为椭圆上任意一点,F1,F2分别为左、右焦点,且△PF1F2的周长为10.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若点P的坐标为(2,53),判断以PF1为直径     

对一道2012年高考模拟试题的探究

安徽省安庆市2012年高三模拟考试(二模)文科第20题:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,e=13,过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,且|AB|=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)M、N是椭圆C上的两点,若线段MN被     

综合题新编选登

题 73　 双曲线 x2a2- y2b2 =1(a >0 ,b >0 )的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P(x0 ,y0 )是双曲线右支上一点 ,且x0 >2a .I为△PF1F2 的内心 ,直线PI交x轴于Q点 ,若 |F1Q| =|PF2 | ,当a ,b变化时 ,求I分PQ的比λ的取值范围 (见图 1) .解　设双曲线半焦距为c ,则c =a2 +b2 .∵I为PQ的内分点 ,则λ =PIIQ=|PI||IQ| .由内角平分线定理知|PI||IQ| =|PF1||F1Q| =|PF2 ||F2 Q| .又∵ |F1Q| =|PF2 | .∴|PI||IQ| =|PF1||PF2 | ,可得|PI| - |IQ||IQ| =|PF1| - |PF2 ||PF2 | =2a|PF2 | ,|PI||IQ| =|F1Q||F2 Q| ,可得|PI| …     

新题征展(33)

A　题组新编1 .( 1 )已知平面上的点 P( - 2 ,- 2 )、Q( 0 ,- 1 ) ,若点 R( 2 ,m)使 | PR| | QR|最小 ,则 m =,| PR| | QR|的最小值是.( 2 )已知直线 l:x y =8,点 F1( - 4,0 )、F2 ( 4 ,0 ) ,在直线上取一点 M,过 M作以F1、F2 为焦点的椭圆 ,求长轴最短时该椭圆的方程 .( 3)抛物线 y2 =4 x上一个动点 P,抛物线的焦点为 F,又知定点 A( 3,1 ) ,则 | AP| | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是.( 4 )已知点 A( 3,2 ) ,F是双曲线 x2 - y23= 1的右焦点 ,P为双曲线上任意一点 ,则| PA| 12 | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是 …     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

双曲线定义的变式

本刊文 [1]介绍了椭圆定义的几个变式 ,它为同学们学习椭圆拓宽了知识空间 .那么 ,双曲线定义的变式又如何呢 ?本文来研究这个问题 .为了讨论方便 ,先将课本对双曲线方程的推导过程摘录如下 :以两定点F1,F2 所在直线为x轴 ,线段F1F2中点为坐标原点 ,建立直角坐标系 ,设M (x ,y)是双曲线上任一点 ,F1(-c ,0 ) ,F2 (c,0 ) (c>a) ,则由双曲线定义得|MF1| - |MF2 | =± 2a (1)而 |MF1| =(x +c) 2 + y2 (2 )|MF2 | =(x -c) 2 + y2 (3)故得(x +c) 2 + y2 - (x -c) 2 + y2 =± 2a (4)移项平方得cx -a2 =±a (x -c) 2 + y2 (5 )再平方整理得(c…     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

有关圆锥曲线的选择题

1.不论a取任何实数,方程x~2+2y~2sina=1所表示的曲线必不是__。 (A)直线;(B)圆;(C)抛物线;(D)双曲线。 2.曲线C与抛物线y~2=4x-3关于直线y=x对称,则C的方程是__。 (A)x~2=4y-3;(B)y=4x~2-3; (C)x=3y~3-3;(D)x=1/4(y~2+3)。 3.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y~2=2x的焦点,P点在抛物线上移动,若|PA|+|PF|取最小值,则点P的坐标是 (A)(0,0);(B)(1/2,1); (C)(1,1);(D)(2,2)。 4.方程y=|1-x~2|~1/2的图象是__。     

一道高考题的反思及结论探究

(2007年天津卷(理)22题)设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为1/3| OF1 |.(1)证明a=√(2b);(2)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.这里的D点轨迹是一个圆:x2+y2=2b2/3,是本题中由于a,b关系的特殊性决定了存在这样的圆,还是对于一般的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)皆有这样的结论呢?     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

例谈圆锥曲线定义的应用

定义揭示的是事物的本质属性 ,对于某些数学问题 ,若能灵活运用定义解题 ,往往事半功倍 .本文试就圆锥曲线的定义举例说明它在解题中的应用 .1　应用圆锥曲线定义解方程例 1　解方程x2 -10 3x+ 80 +x2 + 10 3x+ 80 =2 0 .分析　此类题的常规解法是经过两次平方去根号 ,解出x ,但这种解法运算繁杂 ,且容易出错 .如果我们联想到椭圆第一定义 ,将方程配方后令 5=y2 ,可得 (x-53 ) 2 + y2+ (x+ 53 ) 2 + y2 =2 0 ,且 2 0 >10 3 ,由椭圆的第一定义可知 :点M (x ,y)的轨迹是一个以F1(-53 ,0 ) ,F2 (53 ,0 )为焦点 ,长轴长为 2 0的椭圆 ,从而原方…     

椭圆和双曲线切线的一个性质

笔者发现椭圆和双曲线切线的一个新性质 ,并由此得到椭圆和双曲线切线的一种新颖作法 .定理 1　设 P为椭圆 x2a2 + y2b2 =1上任一点 ,过原点 O作焦半径 PF1的平行线交椭圆在 P点处的切线于 T,则 | OT| =a,且 TF2 ⊥PT.图 1　　　　　图 2证明　如图 1所示 ,延长 F1P,F2 T交于点 E,由 PF1∥ OT知 T为 EF2 的中点 ,故| ET| =| TF2 | ,由椭圆切线的几何性质 [1] 知∠ 1 =∠ 2 ,于是有∠ 3=∠ 2 ,在△ PEF2 中 ,PT为角平分线 .∴　 | PF2 || PE| =| F2 T|| ET| =1故 | PF2 | =| PE| .由此易知△ PF2 T≌△ PET,故 TF2 ⊥P…     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

小异大不同

本人在解题教学中 ,发现有些试题貌似相同 ,而考查的知识、思想方法却大相径庭 ,常有同学因审题不清或思维定势 ,而“以貌取题” ,导致“张冠李戴” .为了大家能更好地区分、理解、掌握此类问题 ,现列举出常见的容易混淆的几组典型问题 ,略作解析 ,供大家在教与学时作参考 .题组 1　 1)已知椭圆 x24 +y23=1内有一点P(1,- 1) ,F为椭圆右焦点 ,M是椭圆上的动点 ,求|MPⅫ +2 |MF|的最小值 .2 )已知椭圆 x24 +y23=1内有一点P(1,- 1) ,F为椭圆右焦点 ,M是椭圆上的动点 ,求 |MP |+|MF|的最小值 .解　 1)依题设得 :椭圆的右准线l的方程为x =4…     

抓住蛛丝马迹探寻本质

在某刊物上有一个填空题:设F1、F2为椭 圆x2/100+y2/64=1的两个焦点,P在椭圆上,I为 △PF1F2的内心,直线PI交长轴于Q,则I分 PQ所成的比为_____． 填空题可以用取特殊值的方法来求解,只 要将点P放置在椭圆短轴的一个端点(0,8) 处,此时Q与坐标原点O重合,于是|PF1|= |PF1|=10,|F1F2|=12,设△PF1F2的内切 圆半径为r,则1/2(10+10+12)r=1/2×12×8, 解得r=3,故I分PQ所成的比为5/3．