用向量的非坐标形式解立几问题

向量法解立体几何问题,当然首选坐标形式.然而,受前提“建立空间直角坐标系”的制约,事实上它却很难得到普遍的应用.作为补充,下面介绍利用向量的非坐标形式解决立体几何问题的若干思路和方法,力求说明向量不用坐标形式也行!1选好“基底”,视基底为“基本量”列式例1如图1,四面体ABCD中,AB⊥CD,AD⊥BC.求证:AC⊥BD.证明设BA=a,BD=b,BC=c.则AB⊥CD BA⊥CD a·(b-c)=0 a·b=a·c.同理AD⊥BC c·b=c·a.∴AC·BD=(c-a)·b=c·b-a·b=c·a-c·a=0,∴AC⊥BD,即AC⊥BD.评注选定a,b,c为基底,以它们为基本量,就能列出有关向量的…     

平行四边形的一个性质

<正>一、性质如图1, P为■ABCE所在平面上任一点,记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,AB=s,BC=t,BD=m,则m²-(s2-(s²+t2+t²)=(b2)=(b²+d2+d²)-(a2)-(a²+c2+c²).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m²+n2+n²=a2=a²+c2+c²+2bd.证明如图3,以BD为半径作⊙B,以CD为半径作⊙C,⊙B与⊙C的另一交点为D′,直线AD与⊙B、⊙C的另一交点分别为E、F.连结DD′、ED′、FD′,易知BC⊥DD′(连     

等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

一个基本图形在中考题中的应用

大家知道,在复杂的几何图形中,往往可分解为几个基本图形.善于识别和分解基本图形,是提高解题速度,培养解题能力的有效途径.一、基本图形如图1,已知AB∥CB,AC、BD交于点E,EF∥AD交AB于点F.设AD=a,CB=b,EF=c求证:1a+1b=1c.然而求轨迹方此基本图形在各种教科书上都有出现,程善于从课本习题中总结提炼基本图形,抓住基本图形的特征并应用于解题,是学生善于学习的体现.二、基本图形的应用例1(2002年黄冈市中考题)已知:如图2,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC和BD相交点E,EF⊥BC,垂点为F,我们可以证明1AB+1CD=1EF成立(不要求…     

对《有心圆锥曲线的一个性质》一文的补遗及探究

文[1]给出了椭圆、双曲线的一个如下的性质:性质1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),C,D是椭圆上x轴同侧的两点,A,B分别是椭圆的左右顶点,直线AC,BD交于点P,直线AD,BC交于点E,直线PE交x轴于点M,则PE⊥x轴,且PE平分∠CMD.     

新题征展(69)

A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a…     

求两三角形面积比的多种解法

<正>题目四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=BC=5,CD=7,AD=1,求△ABD与△BCD的面积之比.思路一两个三角形的面积之比利用同底(等底)转化为高之比.妙解法一(利用BD为两三角形的公共边,过A,C作高AE,CF.)如图2,连结AC,由勾股定理得AC²=AB2=AB²+BC2+BC²=50,又AD2=50,又AD²+DC2+DC²=50,所以∠ADC=90°.所以A,B,C,D共圆.由AB=BC得,     

对角线互相垂直的四边形的特性

<正>本文首先给出对角线互相垂直的凸四边形的判定及性质,然后举例说明其应用.判定:对边平方和相等的四边形对角线互相垂直.已知:如图1,在四边形ABCD中,有AB2+CD2=AD2+BC2.求证:AC⊥BD.证明连接AC、     

小题趣味多

问题如图1,在△ABC 中,∠BAC= 45°,AD⊥BC于 D,BD=3,DC=2,求AD. 本题虽小,但题目条件简洁明了,且问题内涵丰富,因此细细咀嚼,思路广,趣味浓,值得探究.下面从五个方面予以说明. 一、巧用面积关系求解 解令AD=x,则由勾股定理得 AB=(x2-9)～(1/(x2-9)),AC=(x2 4)～(1/(x2 4)).作 CE⊥AB于E,则CE=AC·sin45°, 由 S△ABC=1/2BC·AD     

2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级复赛试题

(2 0 0 3年 7月 2 7日 )一、填空题 (满分 40分 )1.若 (2x -1) 5=a5x5+a4x4+a3 x3 +a2 x2 +a1 x +a0 ,则a2 +a4=.2 .在△ABC中 ,M是AC边的中点 ,P为AM上一点 ,过P作PK∥AB交BM于X ,交BC于K .若PX =2 ,XK =3,则AB =.3.a ,b ,c是非负实数 ,并且满足 3a +2b +c =5,2a +b - 3c =1,设m =3a +b- 7c,记x为m的最小值 ,y为m的最大值 ,则xy =.4.在△ABC中 ,AD是BC边上的中线 ,AB =2 ,AD =6,AC =2 6,则∠ABC =.5 .已知xyz =1,x +y +z =2 ,x2 + y2 +z2 =16.则 1xy + 2z + 1yz + 2x + 1zx + 2y=.二、(满分 15分 )如果正数a ,b ,c满足a+c…     

四面体中位线的一个性质及应用

四面体对棱中点的连线段,称为四面体的中位线.本文给出了四面体中位线的一个有趣性质,并介绍了它的两个应用.定理在四面体ABCD中,对棱AB,CD和BC,AD的中点分别为E,F,G,H.则EF2-GH2=12(AD2+BC2-AB2-CD2)①证明如图1,取AC,BD的中点分别为M,连接得平行四边形     

立足教材活用定义——也谈辅助圆

文[1]对通过构造辅助圆,解决中考试题进行了精辟分析,读后使人受益匪浅.但文章中有几个例子用一般方法求解,其实也很简单,更易于学生掌握,现列举如下.原例1 如图1,四边形ABCD中,AB =AC =AD,E是BC的中点,AE=CE,∠BAC=3∠CBD,BD=6√2+6√6,则AB=_______     

用“两平行线间的距离处处相等”解题

<正>"两平行线间的距离处处相等"是平行线的一条重要性质,在有关几何问题中,若能构造出平行线间的两条垂线段,应用上述性质往往可化难为易,思路清晰简洁.下面举例说明.例1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC⊥BD,垂足为O,过点A作AP∥BD,连接DP.若DP=DB,且AD=2^(1/2),     

数学深深地吸引着我

我邻居的小孩问我一个平几问题 :圆O的内接四边形ABCD中 ,对角线AC⊥BD ,AC∩BD =E ,过E作AD的垂线 ,垂足为F ,且与BC交于M点 ,则M必是BC之中点 .(如图 1)我看了题后 ,好像在初中时做过此题 ,经回忆 ,我告诉了他如下的证明方法 .证明　在Rt△ADE中 ,∠ 1=∠ 3 ,又∠ 1=∠ 2 ,∴　∠ 2 =∠ 3 =∠ 4,　∴　EM =MC .同理EM =MB ,　∴　BM =CM .即M是BC的中点 .图 2这题本来不算难题 ,事情也过去了 .不久我们开始圆锥线的总复习 ,老师提到了椭圆可由圆经过伸缩变换而得 ,所以圆的很多性质都可以移植到椭圆中来 ,这使我联想到…     

评一道调考题的错误解法

武汉市2013年二月调研考试理科14题：如图1,在三棱锥D—ABC中,已知BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB＋BD=AC＋CD=10,则三棱锥D-ABC的体积的最大值是——。     

等腰三角形的一条性质及其应用

<正>一、性质在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.则AB²=AD2=AD²+BD·DC.证明如图甲所示.作AH⊥BC于点H,则BH=CH.由勾股定理得AB2+BD·DC.证明如图甲所示.作AH⊥BC于点H,则BH=CH.由勾股定理得AB²=AH2=AH²+BH2+BH²=AD2=AD²-DH2-DH²+BH2+BH²=AD2=AD²+(BH2+(BH²-DH2-DH²)=AD2)=AD²+(BH+DH)(BH-DH)=AD2+(BH+DH)(BH-DH)=AD²+BD·DC.注当点D在边BC的延长线上,则     

关于a/1+1/b=1/c的一些数学题

型如“1/a 1/b=1/c”的证明,通常是先变形为“ac bc=1”.再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示ac和bc,然后再证这比的和为1初,中这几是何证课明本此习类题问题的基本途径.“已知:AC⊥AB,BD⊥AB,AD和BC相交于点E,EF⊥AB,垂足为F,又AC=p,BD=q,EF=r,如图证明:1p 1q=1r.这是一道很有用途的习题.现将该题作一简单推广.例1:直线AB之同侧有平行线AC,BD,连AD,BC相交于点E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C B1D=E1F.由证平明:行∵截A线C定∥…     

由四面体的棱长求体积的初等证法

已知:BC=x,AC=y,AB=z,MA=a,MB=b,MC=c.求:四面体MABC的体积V.解设∠BMC=α,∠AMC=β,∠AMB=γ.求解过程分为以下几个大的步骤:用α、β、γ表达∠CEF的三角函数过C作CO⊥平面AMB,垂足为O,过C作CE⊥MB,垂足为E,连接EO并延长EO交MA于F,则由三垂线逆定理知:EF⊥MBCE=MCsin∠CME=cs     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...