由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

一道高考题的另解及推广

1问题的提出2006年安微省高考教学理科卷第21题是这样一道题:题目数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=21,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…….1)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式;2)设fn(x)=Snnxn 1,bn=f′n(p)(p∈R).求数列{bn}的前n项和Tn.对于第1)小题,参考答案提供了两种不同的解法.解法1当n≥2时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)Sn=n2n-21Sn-1 n n1,由已知S1=a1=21,由递推式可得S2=34,S3=49,S4=156.由此猜想,Sn=nn 21,再用数学归纳法证明猜想正确(略).解法2当n≥2时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)n 1nSn-n-n1Sn-…     

唇齿相依的an与Sn

从所周知,如何由数列|an|的递推关系式求数列的通项公式an,如何由数列的通项公式an求数列的前n项和公式Sn是<数列>这一章中我们要解决的两大基本问题,当已知数列的前n项和公式Sn时,则通过an={S1=(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),很容易求得数列通项公式an,an与Sn可谓"唇齿相依";在高考与竞赛中还时常出现由an与Sn的关系式,求数列的通项公式的问题,本文通过一个典型题目的多种解法,介绍解决这类问题的几何常用策略,供大家参考.……     

初学数列者鉴

初学数列,不少同学由于概念不清、考虑不周等原因,常犯这样或那样的错误,现列举数例如下. 一、忽视关系式an=Sn-Sn-1的使用条件 例1 已知数列{an}的前n项和Sn=2×3n,求{an}的通项公式. 错解 由an=Sn-Sn-1, 得 an=2×3n-2×3n-1=4×3n-1,     

新题征展(109)

A 题组新编 　　1.已知数列{an}的前n项和Sn=1/2n(n-1),且an是bn与1的等差中项. 　　(1)求数列an和数列bn的通项公式; 　　(2)若cn=(1)/(nan)(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn;……     

活用公式巧解一道数列题

题目2003年全国高考(文)已知数列{an}满足a1=1,an=3(n-1) a(n-1)(n≥2), (1)求a2、a3; (2)证明:an=(3n-1)/2 本题是一道典型的求数列通项的问题.常见解法是用数学归纳法或迭代法,没有新意. 事实上,对于数列{an},其前n项和为Sn,则an= 认真审题,联想上述求通项公式的结构,     

数列易错题分类例析

数列解题中 ,因概念理解不透 ,审题不严 ,考虑不周或忽视隐含条件致误者时有发生 .为此 ,本文将数列中的易错题归类剖析 ,供同学们学习时参考 .1　忽视项数n的起始值致错数列可以看作是定义在自然数集或它的子集上的函数 ,而函数的学习中要注意它的定义域 ,因此 ,学习数列中也应注意它的定义域 ,即项数n的起始值问题 ,否则会导致解题失误 .例 1　已知数列 {an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥ 2时 ,an=Sn - 1,求an.错解 :当n≥ 2时 ,an=Sn - 1　　 (1)∴an +1=Sn　　 (2 )以上两式相减 ,得an+1-an=Sn-Sn- 1=an,即an +1=2an (3)∴数列 {an}是以a…     

对一道高考题的探究

已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=2an (-1)n(n≥1).1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;2)写出数列{an}的通项公式;3)证明对任意的整数m>4有1a4 1a5 … 1am<78.思路分析1)略.2)an=23[2n-2 (-1)n-1](n≥1).3)由于1a4 1a5 … 1am是关于m的递增数列,故不能直接用数学归纳法证明不等式,     

对一道求数列通项问题的多角度切入

题目 已知数列{an）的前n项和为Sn，a1=2，当n≥2时，Sn=2n-nan． （1）求a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式．     

一个不等式的几种新证

2006年高考江西卷(理)压轴题为: 已知数列{an}满足;a1=3/2,且an=3nan-1/2ab-1+n-1(n≥2,n∈N*). (Ⅰ)求数列{an)的通项公式; (Ⅱ)证明:对一切正整数n,不等式a1a2…an＜2·n!恒成立.     

2011年广东高考数列综合题的探究

2011年广东普通高考文科、理科考的数列综合题如下.例1 (文科)设b＞0,数列｛an｝满足a1=b,an=nban-1/an-1+n-1(n≥2),(1)求数列:｛an｝的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,2an≤bn+1+1.     

3 数列、数学归纳法

3.1 数列 内容概述 1.数列{an}的前n项和Sn=a1 a2 ... an与an的关系是an={S1,Sn-Sn-1,n=1,n≥2.     

巧用“项”证明数列不等式

数列{an}的前n项和Sn与项an满足关系： an={S1 （n=1）, Sn-Sn-1（n≥2）,类此可得到各项都不为零的数列{bn}的前n项各Tn与项bn满足关系：     

隔项等比数列的研究

隔项等比数列的例子几次在高考题中出现 ,探讨隔项等比数列的性质很有必要 .为了便于研究 ,先给出隔项等比数列的定义 .定义　如果数列 { an}满足关系 :a2 n+ 1a2 n-1=q1,a2 n+ 2a2 n=q2 (n=1,2 ,3,… ) ,其中 q1,q2均为非零常数 ,则称数列 { an}为隔项等比数列 .定理 1　隔项等比数列 { an}的通项公式是an=1+(- 1) n-12 a1qn-121+1+(- 1) n2 a2 qn-222 .证　当 n为奇数时 ,令 n=2 k- 1(n∈ N) k=n+12 ,则有a2 k-1=a1qk-11 an=a1qn+ 12 -11=a1qn-121(1)当 n为偶数时 ,令 n=2 k k=n2 ,则有a2 k=a2 qk-12 an=a2 qn2 -12 =a2 qn-222 (2 )综…     

2004年全国高考文科第18题另证

20 0 4年全国高考文科第 1 8题是 :已知数列 {an}为等比数列 ,a2 =6 ,a5=1 62 .(Ⅰ )求数列 {an}的通项公式 ;(Ⅱ )设Sn 是数列 {an}的前n项和 ,证明Sn·Sn + 2S2 n+ 1≤1 .分析 :本题主要考查等比数列的概念、前n项和公式等基础知识 ,考查学生综合运用基础知识进行运算的能力 .对第 (Ⅰ)问只需要用等比数列的通项公式即可解决 ,易得an=2·3n -1 .对第 (Ⅱ )问 ,可由 (Ⅰ )知 ,所证不等式等价于Sn·Sn + 2 ≤S2 n+ 1 ,高考命题组给出的标准证法是用均值不等式证明的 ,但事实上 ,上述不等式等号是取不到的 ,即我们只须证Sn·Sn + 2 相似文献   

巧用(-1)~n求摆动数列的通项

在数列中,我们经常会碰到求形如:1,-1,1,-1,…或-1,1,-1,1,…等数列的通项,很显然,我们只要利用(-1)n进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们不禁会思考,在其它的摆动数列中,还能不能用(-1)n去求通项?引例(2004年北京卷)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为,且这个数列的前21项和S21的值为.分析由等和数列的定义,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3.当n为偶数时,Sn=52n;当n为奇数…     

求lim from(n→∞)(Sn)的方法

在求数列极限时 ,我们经常遇到求limn→∞ Sn 问题 ,灵活把握住以下两点将能快速求解 ,下面结合高考题加以说明 .1　不必求Sn对于所给数列是无穷等比递缩数列 (即公比q≠ 0 ,且 |q|<1) ,可以不必先求Sn,直接利用公式limn→∞ Sn=S =a11-q简捷解决 .例 1　 (2 0 0 3年北京高考题 )若数列 {an}的通项公式为an=3-n+2 -n+(- 1) n(3-n- 2 -n)2 ,n =1,2 ,… ,则limn→∞(a1+a2 +a3 +… +an)等于 (　　 )(A) 112 4 .　　 (B) 172 4 .　　 (C) 192 4 .　　 (D) 2 52 4 .解　 (不必先求Sn)原通项公式可以改写为an=12n,n为奇数 ,13n,n为偶数 ,于是…     

对数列单调性定义的探究

<正>在数列的学习中,我们遇到这样的一个问题:已知数列{an}的通项公式为an=n(910)n,求数列的最大项.在解决这个问题的过程中,老师是这样做的:因为an+1an=(n+1)9()10n+1n9()10n=9(n+1)10n,所以an+1an≥19(n+1)10n9(n+1)≥1≥10nn≤9,又因为an>0,所以当且仅当n≤9时,an+1≥an(其中当且仅当n=9时,an+1=an),由此可知a1a11>…,因此数列的最大项是第9项和第10项,为910/109.     

解题思路形成探因——对一道高考题的反思

题目(2012年广东理19)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1、a2+5、a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a1+1/a2+…+1/an<3/2.