分布函数族对参数的单调性定理

<正> 设F(x,θ),θ∈为依赖于实参数θ的一族分布函数.如果对于任意固定的x, F(x,θ)都是θ的递增函数,则称这个分布函数族关于θ是单调增大的;反之,则称单调减小的。 研究分布函数族关于参数的单调性,在概率论的实际应用中有着重要的意义,一般说来,要验证一个分布函数族关于参数的单调性是比较困难的.鉴于此种情况,本文提供研究分布函数族关于参数的单调性的一个较为一般的方法,并且用这种方法证明几个常用分布函数族关于参数是单调的.     

构造具有多项式方差函数的自然指数族

一、PVF-REF 的重要性本文内容属于规范指数族的结构理论。定义在样本空间(Y,B_y)上的分布族 P_θ(y),若对某σ-有限测度μ有密度函数dP_θ(y)=exp[(?)(θ)T(y)—(?)(θ)]dμ(y),则称 P_θ(y)为指数族分布,这是统计学中最重要的一类分布。我们对各指数族实行规范化:首先取(?)(θ)=(θ_1,…,θ_r)∈R_r;其次考虑 X=T(y)的分布 F_θ(x),它仍是指数族,对某σ-有限测度 v 具有密度形为 exp[θ'x-(?)(θ)];不失一般性可取 v 为 r 维分布函数 F(x),且使自然参数空间(?)R_r,具有非空内点集,这就成为具有最小维数的自然指数族。记 M={m:m=E_θx,E_θx 存在且有限,θ∈(?)}。众所周知,这种 m(θ)的定义域包含了(?)。最后,我们取 m 作为新参数代替θ,则上述自然指数族成为规范指数族(REF):     

多参数指数族的逆Bhattacharyyà信息阵并应用于正态分布

本文进一步讨论多参数指数族中给定可估函数的 UMVUE 的方差计算问题.设定义于(X,B_X)上的 r.v.X 的分布为 P_θ,θ∈Θ.P_θ受某σ-有限测度μ(x)所控,称{P_θ,θ∈Θ)为自然指数族,是指     

关于截断型分布族中估计的经验过程的渐近分布的进一步研究

但是,若分布 F 中含有未知参数θ,即 F=F(x;θ),那么为计算经验过程,就必须对θ进行适当的估计,把估计(?)_n 代入(2),(1)中,便得到一估计的经验过程(?)_n(t)。那么,这一估计的经验过程的渐近分布如何?Durbin 研究了这一问题。对一般的分布族 F(x;θ),θ∈(?),在一定的假设条件下(主要是所谓条件 A_2),他证明了这一估计的经验过程(?)(t)其渐近过程是一较复杂的正态过程,这个正态过程一般是依赖于 F 的,甚至依赖于未知参数θ的。但该文指出,当θ是位置、刻度参数时,渐近过程可与θ无关。尔后,Durbin,Schneider 等又具体地研究了指数分布族、Gamma 分布族,得到具体结果,     

Mlinex损失函数下一类分布族参数的Bayes估计

考虑分布函数形如F(x;θ)=1-[g(x)]~θ或[1—g(x)]~θ,A≤x≤B,θ0的分布族,其中g(x)是关于x单调递减的可微函数,且g(A)=1,g(B)=0.在Mlinex损失函数下,给出了其中参数θ的Bayes估计及其容许性,并对分布的一个充分统计量的逆线性形式的容许性进行讨论.最后通过蒙特卡洛模拟说明Bayes估计在小样本情形时的优良表现.     

平方损失下的可容许估计

设(x)为样本空间,P_θ为其上的分布族,θ∈Θ为参数.欲估计g(θ),损失函数为L(g(θ),d).称R(g(θ),d(X))=EL(g(θ),d(X))为估计d(X)的风险函数.称d_0(X)是g(θ)的可容许估计,如果不存在其它估计d_1(X),使得R(g(θ),d_1(X))≤R(g(θ),d_0(X)),对一切θ∈Θ,且不等号至少对某θ_0∈Θ成立.设在参数空间Θ上建立了σ~-域θ,ξ为(Θ,θ)上σ~-有限测度.称g(θ)的估计δ_0(X)关于ξ是几乎可容     

近邻预测风险的收■性

§1 引言和结果设(X,θ)是一个取值于 R~d×R~l 的随机向量,对其分布一无所知。(X_1,θ_1),…,(X_n,θ_n)为(X,θ)的观察样本。假定(X,θ)(X_1,θ_t),…,(X_n,θ_n)是独立同分布(iid.)的。设已有了 X 的观察值 x,但θ之值未观察。要依据样本(X_i,θ_i),i=1,…,n,及 X 的已知值 x,去预测θ的值。由于对(X,θ)的分布无所知,这个问题是非参数性的,通常的线性回归方法等都不适用。有一种简单而比较实用的非参数方法,叫近邻预测法,其法如下:先按与 x 的距离     

经验Bayes估计渐近理论中的若干未决问题

这里介绍Singh在[3]中提出的关于经验Bayes估计的渐近理论的几个猜测,及某些有关问题。 设有绝对连续的一维指数分布族 dP_θ(x)=f_θ(x)dx=C(θ)~(θx)h(x)dx,θ∈ 为R~1上的一有限或无限区间。假定取平方损失L(a,θ)=(a-θ)~2θ有先验分布G.θ的Bayes估计记为d_G=d_G(x),其Bayes风险记为B(G). 设有历史样本X_1,…,X_n,当前样本X。按经验Bayes理论的基本假定,X_1,…,X_,(X,θ)相互独立,且每个X_i的分布与X的边缘分布相同。任一同时依赖于X_19,…,X_n和X的估计d_n=d_n(X_1,…,X_n,X)称为θ的一经验Bayes估计,其Bayes风险定义为     

再论最近邻判别分析

一、引言: 设(X,θ)为在R~d×{1,…,M}中取值的随机向量,称X为指标变量,θ为类别变量。假定X的值已知,据此要对与其匹配的θ值进行判定,这就是判别分析问题。在(X,θ)的分布未知的情况下,为进行判别,除利用X的当前观察值外,还要借助于历史知识。设(X_i,θ_i),i=1,…,n,是(X,θ)的一组iid样本,常称为训练样本。此时我们考虑的问题是,利用(X_i,θ_i),i=1,…,n及X值对θ进行判别。假定在R~d中引进了某一距离函数p(x,     

一维离散指数族参数的连续函数的渐近最优经验Bayes估计

考虑写成下面形状的离散指数分布族:P_θ(X=x)=h(x)β(θ)θ~x,x=0,1,2,…,(1)θ∈Θ,Θ={θ:θ>0,sum from x=1 to ∞ h(x)θ~x<∞},f(θ) 为在Θ上定义的任一连续函数.本文的目的是研究在平方损失 L[f(θ),d]=[f(θ)-d]~2之下,f(θ) 的渐近最优 (asymptotically optimal,简记为 a.o.) 经验 Bayes 估计问题.根据 Robbins 在[1]中介绍,Johns 于1956年在其博士论文 [2] 中,对(1)的一重要特例,即 Poisson 分布族     

渐近Bayes判别

<正> 一、引言设(θ,X),(θ_1,X_1),…,(θ_n,X_n)为 iid 随机变量,其中 X 取值于只 R~d(d≥1),θ只取0,1两个值,记 P(θ=0)=η_0,P(θ=1)=η_1=1-η_0,设 X 在给定θ=i 时的条件密度为 f_i(x)dx,i=0,1.(θ_1,X_1),…,(θ_n,X_n)是已知的样本,常称为训练样本,在实际应用上,常需借助于它们,以根据 X 之观测值,对θ的值做出判別.记 f(x)=η_0f_0(x)+η_1f_1(x),则后验概率为     

非参数回归模型中回归函数的估计的渐近性质

§1.引言 考虑下列的回归模型:Y在X=x的条件之下的分布密度为f(y|X=x)=p(y-θ(x)),(1.1)其中p(y)满足条件回归函数θ(x)为下列集合的成员之一存在,x∈U},(1.3)其中U是一个开区间,θ~(p)(x)表示θ(x)的p阶导数。又设随机变量X的分布密度为q(x),它在X的支撑U上为连续正函数。现在设(X_1,Y_1),…,(X_n,Y_n)是(X,Y)的     

单参数指数型分布族中的可容许估计

§1 引言1958年,Karlin 在平方损失下,对于单参数指数型分布族 p(x,θ)-β(θ)·e~,得到了ax 是 E_θx=-β′(θ)/β(θ)的可容许估计的充分条件,即众所周知的 Karlin 定理.并且[1]对于两种类型的截断型分布族 p(x,θ)=q(θ)·r(x),b>x>θ和 p(x,θ)=q(θ)·r(x),a<α<θ,证明了(2a+1)/(a+1)·q~(-a)(x)是 q~(-a)(θ)(0<α<∞,已知)的可容许估计.1961年,Katz 对单参数指数型分布族,讨论了限制参数空间的可容许估计问题.1964年,成平应用 Cramr-Rao 不等式,把 Karlin 定理推广到更为一般的情况.1977年,Ghosh 和 Meeden 及1981年,     

双边截断型分布族参数函数的渐近最优经验Bayes估计

本文考虑一维双边截断型分布族参数函数在平方损失下的经验 Bayes估计问题 .给定θ,X的条件分布为f (x|θ) =ω(θ1,θ2 ) h(x) I[θ1,θ2 ] (x) dx其中θ =(θ1,θ2 )T(x) =(t1(x) ,t2 (x) ) =(min(x1,… ,xm) ,max(x1,… ,xm) )是充分统计量 ,其边缘密度为 f (t) ,本文通过 f (t)的核估计构造出θ的函数的经验 Bayes估计 ,并证明在一定的条件下是渐近最优的 (a.0 .)     

一种非参数回归估计量的条件 平均绝对误差的指数收敛速度

<正> 设(X,Y),(X_1,Y_1),…,(X_n,Y_n)是取值于R~d×R~1的独立同分布随机变量,E|Y|<∞.以m(x)=E(Y|X=x)记Y对X的回归函数,Q记X的概率分布测度,Z_n记{(X_i,Y_i),i=1,…,n},它是(X,Y)的已知观测值.一般的非参数回归估计问题,就是对指定的x∈R~d,利用Z_n对m(x)进行估计.设θ=θ(x,Z_n)是这样一个估     

均匀分布族U(0,θ)参数的经验Bayes估计的收敛速度

本文讨论均匀分布族U(0,θ)参数θ的经验Bayes(EB)估计的收敛速度问题。 考虑均匀分布族{U(0,θ)},θ∈Ω=(0,∞),设Ω上参数θ的先验分布为G(θ)。当给定θ时,随机变量X的条件密度和条件分布函数分别如下:     

条件L泛函的核估计及其Bootstrap逼近

设(X,y)为取值于 R~d×R~1的随机变量,X 具有边缘分布 F(x),Y 关于 X 的条件分布为 F(y|x).对于条件 L 泛函θ_1(x)=integral from n=0 to 1 J(y)F~(-1)(y|x)dy(1)θ(x)=integral from n=0 to 1 J(y)F~(-1)(y|x)dy+sum from j=1 to k a_jF~(-1)(p_j|x)(2)在[1]中曾给出了它们的近邻估计,并讨论了估计的渐近性质(其中 F~(-1)(x)=inf{t:F(t)≥x}).在本文中,我们将用核函数方法构造它们的另一类估计,并讨论估计的一些渐近性质.设(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),…是(X,Y)的一个样本列,取 w_n_i(x)=K((x-X_i)/h_n)/sum from i=1 to n K((x-X_i)/h_n),其中 K 为 R~d 上的概率密度函数,并有0相似文献   

回归函数的最近邻估计之大偏差概率的指数率

设(X,Y)是取值于 R~d×R~1 的随机变量,其 X 的边缘分布为 v,Y 关于 X 的条件分布函数为 F(y|x).于是变量 Y 关于 X 的回归函数即条件期望为r(x)=∫_(R~1)ydF(y|x).(1.1)设(X_1,Y_1),…,(X_n,Y_n)是(X,Y) 的一组独立观测值,或称为(X,Y)的一组样本.对固定的 x∈R~d,记(R_(1,x)~(?),…,R_(n,x)~(?)为(1,…,n)的一个随机置换,     

两样本分位数差异的半经验似然比检验

设x1，…，xn；y1，…，ym为独立随机样本，x1，…，xn同分布，x1～F（x），F未知，y1，…；ym同分布，y1～Gθ（y），Gθ（y）的形式已知，θ为未知参数．本文结合非参数似然思想和参数似然方法讨论F和Gθ的分位数差异的检验问题，在一定的条件下得到了半经验似然比统计量的渐近分布．     

随机化最近邻判别分析中错误概率估计的极限性质

设(X,θ)是取值于 R~d×{1,…,M)的随机向量.我们分别称 X 与θ为指标变量和类别变量.又设 Z~n(?){(X_i,θ_i),i=1,…,n}为(X,θ)的 iid.样本,称之为训练样本.判别分析的问题就是要依据 Z~n 及 X 的观察值对θ进行判别.假定在 R~d 中引进了某一距离ρ(x,y),x,y∈R~d.于是当 X=x 给定时,我们可按照距离ρ(x,X_j),j=1,…,n,的上升秩序,把 X_1,…,X_n 重新排列成 X_((R)_1),…,