一组优美的不等式

俄罗斯杂志《中学数学》每期都有“新题”的专栏．笔者从2004年和2005年《中学数学》杂志中选择了若干有关不等式的新题，并给出了解法．这些新题大多具有优美的结构，并能用巧妙的方法进行解答，在数学教学中有较大的参考价值．题后括号内注明了该题的命题者．     

瓦西列夫不等式的再推广

贵刊文[1]介绍了俄罗斯杂志《中学数学》刊登的一组不等式，其中之一是下面的瓦西列夫不等式： 设a，b，c〉0，且a＋b＋c=1，则 a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2 （1）     

两个优美不等式的推广

本刊文[1]介绍了一组俄罗斯杂志《中学数学》刊登的不等式题，其中有下面的瓦西列夫不等式和彼得罗夫不等式：     

关于等差数列的一组不等式

设{ａｎ}是以ｄ为公差的等差数列 ,ａ1 >0 ,ｄ>0 ,文 [1 ]证明了ａ1 ａ2ａ1 ａ4ａ1 ａ4ｎ ≤ ａ1 ａ3…ａ2ｎ- 1 ａ2 ａ4…ａ2ｎ ≤ ａ1 ａ3ａ2 ａ2ｎ 1·ａ2 ａ4ｎ 1 ａ2 ａ5(1 )本文给出关于 ａ2 ａ4…ａ2ｎａ1 ａ3…ａ2ｎ- 1上下界的一组不等式 .引理 1　设ｄ >0 ,ｘ≥ 2ｄ ,0 <ｒ<1 ,则ｘｘ -ｄ >ｘ ｒｄｘ (ｒ- 2 )ｄ　　　 (2 )成立的充要条件是12 <ｒ <1且ｘ>ｒｄ2ｒ - 1 ,当 0 <ｒ≤ 12 ,(2 )的不等号反向 .证明 (2 ) ｘ2 [ｘ (ｒ- 2 )ｄ]>(ｘ2 - 2ｄｘ ｄ2 ) · (ｘ ｒｄ) (2ｄｘ-ｄ2 ) (ｘ ｒｄ) >2ｄｘ2 (2ｒ- 1 )ｘ>…     

一组代数不等式的相关探究

2008年江西高考理科数学压卷试题为：     

重要不等式及其应用

不等式是中学数学的重要内容。也是数学奥林匹克的热点，又是解数学竞赛题的重要工具．     

推介一组优美的国外代数不等式竞赛题

不等式证明是各级各类数学竞赛的热门话题,在2012年国外的数学竞赛里,出现了许多优美的不等式证明题,笔者收集整理了当中的一部分,作为新颖的竞赛辅导资料必是有益的.对于这些不等式的证明,其关键是恰当的代数变形,以及适时利用均值不等式、柯西不等式.     

一组不等式竞赛题目的探究

问题1-1(2003年北京市高一数学竞赛复赛题)设a,b,c为正实数,求证:设a3/a2+ab+b2+b3/b2+bc+c2+a2+c3/c2+ca+a2≥a+b+c/3如果将分母里的交叉项的加号改变为减号,就得类似的问题.     

对《关于等差数列的一组不等式》一文中主要结果的意见

《关于等差数列的一组不等式》(作者续铁权 )发表在《数学通报》2 0 0 1年第 8期上 .该文的主要结果是一个定理 ,即文中的不等式 (6 ) ,不等式(7) ,和两个推论 ,即不等式链 (8) ,(9) ,还有 (8)的一个应用 ,即不等式链 (1 0 ) .经笔者验算后得知 ,(1 0 )对ｎ =1 ,2构不成不等式链 ,加之 (1 0 )中还有……表示蕴含更多的链 ,这就表明 ,链越多 ,对ｎ的限制越大、没有ｎ∈Ｎ普适意义 .(1 0 )中出现的问题在 (8) (也包括(9) )也类似地存在 .这样 ,此文的价值就受到很大的削减 .下面是笔者验算的主要结果 ,请编辑与作者细查 .当ｎ=1时 ,(1 0 )变成…     

用数轴法确定不等式组的解集

不等式组是中学数学中一个非常重要的学习内容,也是中考数学中的一个常考点,同时也是不少学生的失分点.在教学中,有不少教师教会学生巧记口诀进行解答,利用口诀时必须判定好不等式组的情形然后依据相应的口诀解答,要求学生必须熟练记忆和应用口诀,同时它只适用于较为简单的不等式组     

解不等式与证明不等式的差别

充要条件是中学数学中主要的概念之一．数学推理的思维,都是从它出发去进行,因而,必须重视对它的教学,指导学生弄懂它,并善于从它出发去考虑问题、解决问题．但是由于实际上很多问题表面叙述并不包含有“充要条件”、“必要条件”、“充分条件”等字眼,从而容易导致在这方面犯错误．     

貌似相同,实质迥然——由一组题组辨析基本不等式的应用条件

由于不等式问题相对比较灵活,能较好地开发学生的逻辑思维能力,故而成为高考的必考内容。在运用基本不等式证明一些不等式问题时,有些貌似相同的题目用相同的方法来解决,却得出了正误截然相反的结果,到底是怎么回事?在复习不等式时,笔者将以下两题作为一组题组呈现给学生,并针对学生在解题中的困惑给予分析和指导。题目如下:     

一组加权平均值参数不等式

采用变量替换,构建了一组加权平均值参数不等式,对Popovic不等式与Rado不等式进行了加权推广,加细了加权算术-几何-调和平均值不等式．     

方程（组）与不等式（组）复习研究

复习目标 了解有关方程、方程组的概念；能正确、熟练地解一元一次方程、一次方程组和一元二次方程；掌握分式方程的解法并会验根；掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法；掌握一元二次方程根的判别式及应用；能正确列出方程或方程组解应用题．     

关于一道不等式赛题的推广

第三届北方数学奥林匹克邀请赛的第二题为： 设△ABC的三边长分别为a,b,c,且a＋b＋c=3．求：     

一道不等式名题的反向探索

波利亚有句名言：“一道好题的价值在于它能产生其他一些好题．”好题就像是一眼活水,只要我们做一个有心人,放任想象,大胆尝试,勇于探索,常可从中攫得新的水源．     

2002年全国各地高考数学模拟试题新题评析——不等式

不等式是研究数学问题的重要工具 ,是培养推理论证能力的重要内容 ,它渗透在高中数学的各个部分 ,尤其是与函数、数列、复数、三角有着密切的联系 .不等式是数学思想的载体 ,突出体现了等价转化 ,函数与方程 ,分类讨论 ,数形结合等数学思想 .因此 ,在各地模拟试卷及历届高考中 ,不等式都是考查的重点 ,经常在知识网络交汇点进行命题 ,用来考察学生综合掌握知识的程度和灵活运用知识的能力 .通常选择题、填空题各一道 ,解答题 1～ 2道 ,1996年至 2 0 0 2年 7年的高考试卷 (理科 )与不等式有关的试题分值累计均在 5 0分以上 ,2 0 0 2年的理科…