有趣的“勾股弦数”

“勾三股四弦五”几乎成为学过数学者的一句口头禅,这三个数都是正整数,并且可视为一个直角三角形的三条边(32 42=52),因此,人们称这类数为“勾股弦数”. 我们知道勾股弦数有很多,例如5,12,13;6,8,10等等,但有心人会发现6,8,10这三个数具有公因数2,提取2后,实质上与3、4、5并无本质的不同. 在没有除1以外的公因数的勾股数a、b、c中,看来似乎a与b,b与c,c与a都是互质的;另外c必是奇数,a与b则必为一奇一偶. 这些规律,是否真的体现了勾股弦数一些特征呢?答案是肯定的.那么如何说明呢? (1)若a,b有公因子t(t≠1),则令a=a1t,b=b1t,其中a1,b1互质.则a12 b12=(a2 b2)/t2=     

有关勾股图的几种变形

<正>~~     

奇妙的勾股世界

<正>勾股定理可以称得上是数学中的一颗璀璨的明珠,被称为"几何学的基石",它为我们揭示了直角三角形的三边之间的关系,数千年来,人们一直对勾股定理保持有极高的热情.我们从最简单最熟悉的勾股数入手,可以发现许多结论,探索出许多的规律.我们最熟悉的勾股数有3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等.通过观察这些勾股数组,我发现这些表示弦的数都可以表示成两个     

勾股容圆问题

题:Rt△ABC中,斜边AB=10cm,内切圆半径r=2.5cm,求其周长。解法一:如图,设内切圆分别切三角形于D、E、F。∵AF=AD,BE=BD。∴AF+BE=AB=10,又CE=CF=2.5 ∴Rt△ABC的周长是25cm 解法二、如图,设AF=x,BE=y,则有 x+y=10 (x+2.5)~2+(y+2.5)~2=10~2 化简得,4x~2-40x÷125=0 由于△=(-40)~2-4.4.125<0 故本题无解。两种解法,其结果截然不同。问题在哪里?这是我国古代著名的勾股容圆问题。试看命题本身,如图,因AB=10,则BC=l0sinA,     

圆中的勾股关系

如图1,在圆C中,点D为弦AB的中点,则CD⊥AB,弦心距d、半径r和半弦l/2构成直角三角形,根据勾股定理有d^2＋（l/2）^2=r^2.     

古今中外妙证勾股

勾股定理有许多种证法,1940年统计,国内外对勾股定理的证法达365种,迄今为止,已达500余种.兹仅撷取了如下几种,旨在激起同学们“善于探索创新,归纳总结实践”,创造出更多更好的证法.     

求矩阵幂的几种方法

求矩阵幂的几种方法严文利（淮阴工业专科学校）在矩阵及矩阵函数研究中，常常要涉及到矩阵幂的计算问题，根据定义Ａｎ＝Ａ·Ａ．．．Ａ，而ｎ个计算ｎ个矩阵相乘即便对二阶矩阵而言，也是比较繁琐的。本文试图通过对矩阵自身及一些特殊矩阵的性质的探讨介绍几种求Ａｎ的...     

求二面角的几种常用方法

一、求二面岛的平面角的大小 因为二面角是用它的平面角来度量的,所以只要求出它的平面角的大小就行了。 例1.在棱长为口的正方体ABCD一A、B‘C‘D:中,求二面角B一A:C一D 的大小。滋一解1:如图,过B作 BE工A:C垂足为万,连 刀E。由三垂线定理知 A:C土BD,…A:C土平面 刀ED,.’.A:C_上ED,乙┌─────┐│喻 ││‘一‘甘\ │└─────┘BE刀是二面角B一A:C一D的平角。两直角三角形么A:石C“△B五C,B万·A‘C二A iB .BC,︸‘Ul产一no.’。BE二A rB·BC A一C了)一a连EO,由O刀二易证E刀二五刀,誓二得乙BE口二6。’:…     

勾股趣题的解法

1997年安徽省初中数学联赛试题中有这样一道富有探索性、挑战性的生动趣题,引起我们的广泛兴趣.现将我们的研究心得介绍于后.题目如图1,在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n,则以x、m、n为边长的三角形的形     

广义勾股模糊软集

为了进一步拓展勾股模糊集理论,本文利用勾股模糊集和广义直觉模糊软集,提出了广义勾股模糊软集,给出了它的数学结构和特性,又探讨了一些运算性质。从而将勾股模糊集和模糊软集的应用进一步泛化,为下一步广义勾股模糊控制系统和广义勾股模糊决策及其实际应用的研究提供了更新的理论基础。     

例析求二次曲线弦长的方法

2005年全国高中数学联赛第一试第11题:若正方形ABCD的一条边在直线y=2x -17上,另外两个顶点在抛物线y=x2上,则该正方形面积的最小值为_____．该问题的关键是求解正方形的边长,因此,问题的实质是求解抛物线(二次曲线)的弦长．这样的问题是数学竞赛和高考的热点,本     

求二元函数极限的几种方法

在高等数学中,关于二元函数的极限,许多教材都只是在介绍了定义之后,给出几道证明函数在某点极限不存在或极限值为某数的例子,而未涉及如何求极限．因此,学生在具体来H元函数的极限时,觉得无从下手,特别象函数点的任何邻域内都存异于（0,0）点而不属于定义域的点,也存在异于（0,0）点而属于定义域的点,按教材的定义,函数在点（O,0）处的极限是不存在的,但可将极限定义稍加推广,使这样的点成为被考虑的对象．推广的极限定义如下：设点（X。,八）的任何邻域内都有异于（X。,儿）而属于八X,y）的定义域的点．若对于任何给…     

求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

求动点坐标的几种方法

纵观近几年的中考题,求动点坐标的开放性问题常见于各类题型中,由于点的位置不固定,符合条件的点往往又不惟一,开放性很大.本文以近两年的中考题为例,介绍几种方法,供参考.……     

比较数的大小的几种方法

比较几个数大小的习题,题型虽小,但解法却很灵活,一般都不易由观察直接得解,故需根据题意寻找适当的间接方法,本文介绍几种,供读者参考。一选取媒介值比较例1 试比较0.3~2、lg0.3、2~(0.3)三数的大小。解取媒介值0、1。∵0<0.3~2<1,lg0.3<0,2~(0.3)>1, ∴lg0.3<0.3~2<2~(0.3) 例2 试比较log_23与log_34的大小。解∵log_23=log_29~(1/2)>log_28~(1/2)=3/2, log_34=log_316~(1/2)log_34 媒介值选取的原则是:①能直接与已知数中任何一数比较大小;②媒介值应介于所比较的二     

关于正方形的勾股剖分

将一个正方形剖分成n个勾股形（即三边长都是整数的直角三角形），n的最小值是多少？这是一个有趣的未解决的问题［fi．1968年，人们找到了将正方形剖分成5个勾股形的一个剖分图，如图1．那么n的最小值是否就是5呢？本文将回答这个问题．定理如果正方形可剖分成n个勾股形，那么n＞5．在证明定理之前，先介绍两个引理．引理1【'」三边长都是整数，底边上的高等于底边的整边三角形不存在．gi理2如图2，E、F分别在正方形儿汉D的边AD、CD上，则剖分三角形bABE、西汉F、凸n双、bEBI；'不可能都是勾股形．证明假设4个剖分三角形都是勾股形，…     

求一类勾股数组的公式

定义:如果正整数x、y、z能满足下列不定方程x~2+y~2+=z~2,那么,x、y、z叫做勾股数。观察下列各式: 这样,我们就得到了三组勾股数:4、3、5;12、5、13;24,7,25。按照此法,在数列1,3,5,7,…2k+1,…中找出一平方数,它前面的项数与项数加1再和这个平方数的平方根一起就构成一个勾股数组。如49=7~2=     

求两圆公共弦方法的一个活用

课外作业中我遇到这样一道题 :过椭圆 x24 y23 =1的右焦点 F2 作直线 l交椭圆于 A、B两点 .若 |AF2 ||BF2 |=2 ,求左焦点 F1到直线 l的距离 .本题我是这样思考的 :因为容易求出 F1( -1,0 )、F2 ( 1,0 ) ,所以 ,要求 F1到直线 l的距离 ,必须求出 l的方程 .由于已知 l过 F2 ( 1,0