Unilateral contact between a plate and an elastic foundation

Summary The unilateral frictionless contact between a plate and an elastic subgrade is examined. The foundation is modeled as an elastic half-space or as a Winkler subgrade. The variational formulations more convenient to get approximate solutions are presented. Furthermore the results of a numerical investigation relative to an axisymmetric circular plate are given.

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Sommario Si analizza il problema di contatto unilaterale senza attrito tra una piastra e una fondazione elastica. Per la fondazione si esaminano i modelli di semispazio elastico e di suolo alla Winkler.Vengono presentate le formulazioni variazionali più convenienti ai fini dell'approssimazione delle soluzioni col metodo degli elementi finiti e si illustrano alcuni risultati di un'indagine numerica per il caso di piastra circolare con carico assialsimmetrico.

     

The dynamical problem of an elastic plate resting on a two-parameter foundation which does not react in tension

Summary This paper analyzes the dynamic problem of an elastic plate which is unilaterally constrained by a two-parameter foundation of Pasternak of Hetényi type. It is assumed that no friction exists at the area of contact. A regularizing technique has been used both in formulating the problem and in the subsequent discussion. Some results of existence and uniqueness of the solution are given. In the application example described, a finite element approach is used to numerically analyze an axisymmetric circular plate. From the numerical results obtained, it can be observed how the solution is influenced by the principal parameters involved.

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Sommario Il lavoro esamina il problema dinamico di una piastra elastica vincolata unilatepalmente su una fondazione a due parametri del tipo Hetényi o Pasternak. Il contatto è supposto privo di attrito. Il problema viene formulato e discusso mediante una tecnica di regolarizzazione: se ne forniscono alcuni risultati relativí all'esistenza ed unicità della soluzione. In particolare si analizza dal punto di vista numerico mediante discretizzazione agli elementi finiti il caso di una piastra circolare assialsimmetrica. I risultati numerici mostrano l'influenza sulla soluzione dei principali parametri da cui essa dipende.

     

On the statical unilateral contact problem with friction of rectangular plates resting on an elastic half-space

Summary In this paper the statical equilibrium problem of a rectangular plate unilaterally constrained against an elastic half-space is analyzed. The frictional contact hypothesis at the interface between plate and foundation is made. The assumed friction law represents a suitable regularization of Coulomb's classical law, which is particularly helpful in view of the theoretical and numerical developments.The problem is formulated and discussed from a theoretical point of view. Some numerical results are also given showing the influence on the solution of the frictional contact hypothesis.

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Sommario In questo lavoro si analizza il problema di equilibrio statico di una piastra rettangolare vincolata unilateralmente su un semispazio elastico. Viene fatta l'ipotesi di contatto con attrito all'interfaccia fra piastra e fondazione. La legge di attrito che si assume rappresenta una opportuna regolarizzazione della classica legge di Coulomb, la quale è particolarmente utile per gli sviluppi sia teorici che numerici. Il problema viene formulato e discusso da un punto di vista teorico; vengono inoltre forniti alcuni risultati numerici che mostrano l'influenza sulla soluzione dell'ipotesi di contatto con attrito.

     

Buckling of an elastic plate subjected to unilateral constraints

Summary In this paper we show how it is possible to extend the well-known variational properties of the critical loads for elastic structures to the case of unilateral constraints. In particular we examine the buckling of an elastic plate unitalerally constrained between two elastic half-spaces and loaded by axial forces. For this problem we discuss the existence of the lowest positive and greatest negative critical load multiplier and provide a characterization of these multipliers by means of the minimal properties of a suitable functional.

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Sommario In questo lavoro viene mostrato come sia possibile estendere le ben note proprietà variazionali dei carichi critici di una struttura elastica dal caso dei vincoli bilaterali a quello dei vincoli unilaterali. In particolare viene esaminato il problema di svergolamento di una piastra rettangolare elastica, sollecitata da forze assiali agenti nelle due direzioni e vincolata unilateralmente tra due semispazi elastici. Per tale problema si discute l'esistenza del più piccolo moltiplicatore positivo dei carichi e del più grande negativo per cui si ha instabilità. Inoltre viene fornita una caratterizzazione variazionale di tali moltiplicatori mediante le proprietà di minimo di un opportuno funzionale.

     

On the dynamics of homogeneous,isotropic, electrically conductive elastic bodies subjected to a magnetic field. Case of vibratory plates

Summary With reference to previous own works, the author deals more fully with the vibratory motion of a homogeneous, isotropic perfectly electric conductive elastic body, subjected to a uniform magnetic field, and highlights the possibility of asymmetrical stresses. He applies the results obtained to the case of transversal vibrations of a plane homogeneous plate whose thickness is very small compared to its area, subjected to a uniform magnetic field, perpendicular to its plane.He then considers the particular case of a circular plate clamped at the boundary and determines the influence of the magnetic field on the vibratory constants.

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Sommario L'Autore, riferendosi a lavori suoi precedenti, considera in modo più ampio e completo il moto vibratorio di un corpo elastico omogeneo isotropo, perfetto conduttore dell'elettricità e soggetto a un campo magnetico uniforme, mettendo in evidenza la possibilità di sforzi asimmetrici.Applica i risultati ottenuti al caso delle vibrazioni trasversali di una piastra piana omogenea di spessore molto piccolo in confronto della sua area, soggetta a un campo magnetico uniforme diretto perpendicolarmente al suo piano.In particolare considera una piastra circolare incastrata al contorno e determina l'influenza del campo magnetico sulle costanti di frequenza.

     

On the derivation of the acoustic matrix for isotropic linearly elastic shells

In this paper, we obtain the modes and velocities of acceleration waves on a thin hyperelastic shell in terms of the second fundamental form, which represents the geometrical properties of the shell, and of seven elastic moduli derived from the velocities in a plate of the same material. Some examples are studied, and approximations obtained in the case of a shallow shell.

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Sommario In questo lavoro si ottengono i modi e le velocità delle onde di accelerazione in una volta sottile iperelastica, con riferimento alla seconda forma fondamentale che rappresenta le proprietà geometriche della volta e a sette moduli elastici derivati dalle velocità in una piastra dello stesso materiale. Si studiano alcuni esempi e si presentano soluzioni approssimate nel caso di una volta ribassata.

     

Some static problems for elastic bodies with a crust

Summary This paper studies the diffusion of stresses in a linear isotropic elastic body coated with a thin elastic shell called the ?crust?. Two static problems are considered. The first is that of the semi-infinite half-space covered by a thin plate subject to a point load at the origin. In the second problem a solid elastic sphere enveloped by a thin spherical elastic shell with two opposite point loads at the poles is investigated. Solutions for the displacement within the thin crust are obtained in the two problems by means of the Hankel transform and the Legendre polynomial respectively.

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Sommario Questo lavoro studia la diffusione degli sforzi in un corpo elastico, lineare, isotropo rivestito da un guscio elastico sottile denominato la ?crosta?. Sono considerati due problemi elastostatici. Il primo è quello di un semispazio coperto da una piastra sottile soggetta and un carico concentrato nell'origine. Nel secondo problema si studia una sfera solida elastica avvolta da un guscio sottile elastico con due carichi concentrati opposti nei poli. Nei due problemi le soluzioni in termini di spostamenti entro la crosta si ottengono rispettivamente mediante la trasformata di Hankel e i polinomi di Legendre.

     

On the energy method in the non-linear theory of thin plates

Summary The equilibrium configuration of a thin plate under normal pressure is studied. A variational non-linear treatment of the problem is considered, taking into account the bending stresses and allowing large deflections.Existence, uniqueness, and regularity of solutions are obtained.

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Sommario Si studia il problema non lineare della configurazione di equilibrio di una piastra sottile caricata normalmente nel suo piano medio, tenendo conto delle tensioni di natura flessionale e in un regime di spostamenti moderatamente grandi.Con una tecnica variazionale si studiano l'esistenza, l'unicità, e la regolarità delle soluzioni del problema.

     

The membranal and flexural equations of thin elastic plates deduced exactly from the three-dimensional theory

Summary The classical field and boundary equations governing the in-plane stretching and the transversal bending of a thin plate are obtained by means of an exact mathematical procedure consisting in integrating over the thickness the equilibrium equations for a three-dimensional cylindrical body, made of a homogeneous, linearly elastic, transversely isotropic material, and subject to suitable internal constraints.

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Sommario Le classiche equazioni che descrivono il comportamento flessionale e membranale di una piastra, con le relative condizioni ai limiti, sono ottenute mediante un procedimento matematico esatto, consistente nell'integrazione sullo spessore delle equazioni di equilibrio per un corpo tridimensionale cilindrico, costituito da materiale linearmente elastico, omogeneo, trasversalmente isotropo e soggetto ad opportuni vincoli interni.

     

The equations of Reissner-Mindlin plates obtained by the method of internal constraints

The aim of this paper is to give the title theory of shearable plates a precise and exact position with respect to three-dimensional linear elasticity. We assume that the Reissner-Mindlin representation of the displacement field hold in a 3-D body in the shape of a plate, and discuss how a constitutive response consistent with such a representation should be chosen. We find that the Reissner-Mindlin plate theory results from mere integration over the thickness of the equilibrium equations of a cylindrical body made of a linearly elastic material which is both transversely inextensible and transversely isotropic.

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Sommario Scopo di questo articolo è fornire una deduzione esatta, nell'ambito dell'elasticità lineare tridimensionale, della teoria delle piastre deformabili a taglio menzionata nel titolo. Ammesso che la rappresentazione di Reissner-Mindlin per il campo di spostamento valga in una regione tridimensionale a forma di piastra, si discute come scegliere la risposta costitutiva in maniera coerente con quella rappresentazione. Si trova che la teoria delle piastre di Reissner-Mindlin si ottiene per semplice integrazione sullo spessore delle equazioni di equilibrio di un corpo cilindrico che sia costituito di un materiale linearmente elastico tanto trasversalmente inestensibile che trasversalmente isotropo.

     

Natural frequencies of a non homogeneous isotropic elastic infinite plate of variable thickness resting on elastic foundation

Summary The dynamic free response of a nonhomogeneous isotropic elastic infinite plate of parabolically varying thickness resting on an elastic foundation has been studied. The frequencies, deflections and moments corresponding to the first five modes of vibration have been computed for the two combinations of boundary conditions, clamped-clamped (C-C) and clamped-simply supported (C-SS) and various values of taper constant, nonhomogeneity parameter and foundation modulus by applying the method of Frobenius for the solution of the governing differential equation of motion.

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Sommario Si sono studiate le oscillazioni libere di una piastra elastica infinita, non omogenea, isotropa, di spessore parabolicamente variabile, poggiata su un suolo elastico. Applicando il metodo di Frobenius per la soluzione della equazione differenziale del moto si sono calcolate le frequenze, le deformate ed i momenti corrispondenti ai primi cinque modi di vibrazione per due combinazioni di condizioni al contorno, incastro-incastro ed incastro-appoggio e diversi valori della rastremazione, del parametro di non omogeneità e del modulo del suolo.

     

On the problem of the elastic plate on one-sided foundation

Summary Solution existence, uniqueness and regularity are analyzed for the elastic plate on unilateral elastic foundation problem. Some results are also given for the one-sided rigid foundation case.

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Sommario Si studiano l'esistenza, l'unicità e la regolarità delle soluzioni del problema della piastra elastica su fondazione elastica unilaterale. Sono anche dati alcuni risultati per il caso di fondazione rigida unilaterale.

     

Finite element incremental analysis of elastoplastic plate bending

Summary The paper discusses the numerical solution of the elastoplastic bending of plates with any polygonal boundary subject to a generic load and to distributed dislocations.For the discretization of the plate Herrmann's and Hellan's constant moment triangular equilibrium model has been chosen. Compatibility is imposed through a minimum principle, proposed by Capurso and Maier, which can be considered a generalization of the minimum complementary energy principle for elastoplastic workhardening continua allowing for distributed dislocations.By means of a completely automatic computation program, the cases of simply supported and clamped square plate under uniformly distributed load and under central concentrated load are solved. Present results are partly compared with existing solutions.

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Sommario Viene studiato il problema della flessione di una piastra a contorno poligonale qualsiasi costituita da materiale elastico-incrudente e sottoposta ad un carico generico e a distorsioni diffuse. Per la discretizzazione della piastra viene scelto il modello triangolare equilibrato a momento costante di Herrmann e Hellan. La congruenza viene imposta attraverso un principio di minimo proposto da Capurso e Maier che può essere riguardato come la generalizzazione del principio della minima energia complementare per materiali elastico-incrudenti in presenza di distorsioni diffuse.Viene sviluppato un programma di calcolo automatico, che stende sulla piastra un reticolo di densità prefissata, numera e collega fra di loro nodi, lati e triangoli. In tal modo il programma genera le condizioni di equilibrio nodale e costruisce la funzione dell'energia da minimizzare. Vengono risolti, per il confronto con le soluzioni esistenti i casi di piastra quadrata semplicemente appoggiata e incastrata al contorno sottoposte a carico uniforme e ad una forza concentrata nel centro.

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This study forms part of a research program supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R. Gruppo Problemi avanzati di ingegneria strutturale).     

Non linear analysis of plates by means of finite element method

Summary The report presents an approach to the numerical solution of bi-harmonic problems in the non-linear field. Within the sphere of more recent methods based on finite elements alone, there are a large number of works that propose solutions to this problem. Here, with reference to an approach produced by Mindlin, assumptions are advanced that will make it possible to analyse thin plates in the presence of deformatory effects due to shear. The problem is also reformulated in terms of three-dimensional elasticity, with appropriate conditions on the components of the stress tensor and of the deformation. This method makes it possible to deal with the punctual quantities inside the solid in question, instead of the intermediate components on the cross-section, which are typical of classic approaches to the matter. Moreover, by means of appropriate numerical integration techniques, it reduces the resolvent system of equations to the usual dimensions for the analysis of flat plates. This procedure is particularly advantageous in the case of non-linear phenomena, which are present as laws constituting the stress-strain relationship. This report produces examples that take as assumptions of non-linearity the not completely elastic behaviour of the material, using VON MISES' limit function within the framework of the plasticity theory.

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Sommario Viene presentata una formulazione non lineare di elementi finiti di piastra. Le ipotesi adottate consentono di tenere in conto dell'effetto del taglio, seguendo un'impostazione dovuta a Mindlin. La non linearità considerata è quella del materiale per cui è stata adottata, nell'ambito della plasticità classica, come funzione limite quella di Von Mises. Il controllo di condizione di plasticità viene effettuato in un numero finito di punti all'interno di ogni elemento e attraverso lo spessore. Vengono infine presentati e confrontati con soluzioni classiche alcuni esempi risolti con un programma sviluppato all'uopo.

     

Load-induced stress singularities in the bending of cosserat plates

Summary Presented in this paper are the solutions to several plate bending problems as governed by a recent theory developed by Green and Naghdi, into which couple-stress is incorporated. Specifically, each problem considered is subjected to boundary conditions emanating from a singular load distribution acting on the free edge of a semi-infinite plate. The method of integral transforms is applied in the solutions.In general, it is found that the singularities in the shear and moment resultants are of the same order as those given in Reissner's plate theory, however the detailed structures of these singular functions are altered. The present theory also suggests that, in most cases, the maximum magnitudes of the moment resultants are diminished as compared to the corresponding results given in Reissner's theory.Also discussed is the exact relationship between the Green-Naghdi theory and Reissner's theory.

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Sommario In questa memoria sono presentate le soluzioni di alcuni problemi relativi a piastre inflesse studiati in base ad una teoria recentemente sviluppata da Green e Naghdi, in cui si considerano distribuzioni di coppie di volume.In ogni problema considerato le condizioni al contorno presentano una singolarità nella distribuzione di carico agente su un bordo libero di una piastra semi-indefinita. Per la risoluzione è applicato il metodo delle trasformate integrali.In generale risulta che le singolarità nel taglio e nel momento sono dello stesso ordine di quelle date dalla teoria delle piastre di Reissner, benchè gli andamenti di queste funzioni singolari siano diversi. La teoria sviluppata porta inoltre a valutare, nella maggior parte dei casi, momenti massimi più piccoli di quelli corrispondenti ottenuti in base alla teoria di Reissner.Si discute inoltre l'esatta relazione tra le teorie di Green-Naghdi e di Reissner.

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This research is sponsored by the U. S. Navy under Contract Nonr-610(06) with the Office of Naval Research in Washington, D. C.     

Discretized solution of junction problems in shells

Summary A discretization method based on a shifting field is presented. For plate flexure this is a congruent field of displacements, for plate extension an equilibrium configuration of stresses, for shells a mixed system. The main purpose of the present investigation is to establish a procedure for the numerical analysis of shell intersection problems.

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Sommario Si presenta un metodo di discretizzazione che si vale di un campo mobile, di spostamenti congruenti per gli stati flessionali della piastra, di tensioni equilibrate per gli stati estensionali, di spostamenti e tensioni per il guscio. Scopo essenziale della ricerca è la costruzione di un procedimento per l'analisi numerica dei problemi di intersezione dei gusci.

     

Selection of Optimal Parameters of Multilayer Plates at Nonstationary Loading

This investigation features two approaches to optimal design of multilayer plates at impulse loading. The first approach deals with minimization of stresses in the plate layers by selecting the elastic properties of the fillers. The second approach is based on a twolevel synthesis procedure applied to the problem of optimal design of multilayer plates with a minimum mass. The effectiveness of these approaches is illustrated by numerical examples.Sommario. L'analisi è tesa alla caratterizzazione di due procedure di progettazione ottimale di piastre multistrato ad azioni impulsive. La prima procedura concerne con la minimizzazione dello sforzo negli strati della piastra selezionando le proprietà elastiche dei riempimenti.II secondo approccio e basato su di una procedura a due livelli di sintesi applicata al problema del disegno ottimo di piastre multistrato con una massa minima. L'efficacia di questi approcci e illustrata tramite esempi numerici.     

Limit analysis of plates with piecewise linear yield surface

Summary Rigid-plastic plates having a piecewise linear yield surface are studied by limit analysis. Extremum principles for the evaluation of specific dissipation power are defined by means of linear programming concepts. The law governing the plastic collapse of plates is formulated on the basis of the well-known kinematic theorem of limit analysis. A general procedure for the approximate determination of the collapse load is proposed. The paper ends with a brief numeric investigation of the uniformly loaded square plate.

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Sommario Si studiano attraverso l'analisi limite le piastre costituite di materiale rigido-plastico aventi superficie di snervamento di tipo poliedrico. I principi di estremo riguardanti la valutazione della potenza specifica di dissipazione vengono definiti attraverso i concetti della programmazione lineare. Attraverso il noto teorema cinematico dell'analisi limite, si formula la legge che regola il collasso plastico delle piastre. Viene proposto un procedimento per la determinazione approssimata del carico di collasso del tutto generale. Si conclude infine con una breve indagine numerica relativa al caso di piastra quadrata con carico uniforme.

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The results presented in the paper form part of a Research supported by the National Research Council (C.N.R.).     

The problem of the rotating plate

Summary The problem of determining stresses and displacements in a homogeneous rectangular plate rotating at constant angular speed about the barycentric axis, perpendicular to the plane of the plate, is considered. It is shown that this problem, if one assumes that the material is linear elastic with Poisson's ratio v, exhibits the same mathematical difficulties as the well-known problem of the rectangular plate subjected to parabolically-distributed tensile stress at two opposite sides.At difference from other methods employed in the past, a kind of solution based on biharmonic polynomials is proposed. This solution satisfies one boundary-condition exactly. The remaining three are satisfied in the mean. An evaluation of the error is performed.

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Sommario Dal punto di vista della teoria dell'elasticità infinitesima si studia il problema della determinazione della tensione e della deformazione di una lamina rettangolare omogenea rotante con velocità angolare costante attorno all'asse baricentrico perpendicolare al piano della lamina stessa. Si dimostra che questo problema, se si vuole tenere conto del fattore di Poisson v, presenta le stesse difficoltà del ben noto problema della lamina rettangolare soggetta a forze con andamento parabolico su due lati opposti. In alternativa ai metodi già utilizzati in passato in casi come questo, si propone un tipo di soluzione basata su polinomi biarmonici che soddisfano esattamente solo una delle quattro condizioni al contorno. Le rimanenti tre sono soddisfatte in media. Si effettua una stima dell'errore.

     

Probable collapse mechanisms in indefinite plates on an elastoplastic continuum

Summary With reference to a theory expounded in a previous note [2] on the limit state behaviour of plates resting on an elastoplastic continuum subject to distributed loads, probable collapse mechanisms are considered in order to supplying more tractable solutions for technical practice. As the case is a general one, it is shown that the results obtained are suitable for following the load carrying capacity of plates and the relative collapse mechanism as the limit resistance of the soil and the spread of the load acting on it vary.Some examples are worked out to illustrate the applicational procedure.

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Sommario Con riferimento ad una teoria esposta in una nota precedente [2] sul comportamento allo stato limite delle piastre su mezzo elasto-plastico continuo soggette a carichi diffusi, si esaminano delle schematizzazioni di probabile collasso allo scopo di fornire soluzioni di più facile impiego nel campo della pratica tecnica.Trattando quindi un caso di carattere generale, si mostra come i risultati ottenuti si prestano ad essere utilizzati per seguire la capacità portante della piastra ed il relativo meccanismo di collasso al variare della resistenza limite del suolo e della estensione del carico su di essa agente.Alla fine, a chiarimento del procedimento applicativo, si sviluppano alcuni esempi.

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This work was supported by CNR (Italian Research Council).