抛物线的一个性质与一组探索性问题

大家都知道抛物线的焦点弦有这样一条性质： 过抛物线y^2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,设两个交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1·y2=-P^2．     

对教参一道习题证明的补遗

平面解析几何课本P99有这样一道题：过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2＝－P2．教学参考书（人民教育出版社）给出的解题过程是：证明设过焦点的直线为去分母后整理得ky2－2py-kp2＝0设这个方程的两根为y1，y2，则有我们知道，不是所有的直线都存在斜率的，并且只有当直线斜率存在时，才能写出其点斜式方程．不难看出，本题的过焦点的直线斜率有可能不存在，因为点斜式方程不包括这种情形，所以本题的"证明"不严密完整的证明还应补上直线科率不存在这种情形的证明：若过焦点的直线的斜…     

抛物线的一个性质与一组探索性问题

大家都知道抛物线的焦点弦有这样一条性质:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,设两个交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1.y2=-p2.现对这个性质进行推广,得到抛物线的一条新性质:     

一道课本题的推广

课本P119有结论:“过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1y2,求证:y1y2=-p2”。此结论可推广为如下的结论:     

抛物线焦点弦的性质与判定

这是《平面解析几何》习题八的第8题: 过抛物线y=2px的焦点的直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1,y_2.求证;y_1y_2=-p~2。现在考虑它的逆命题;直线交抛物线     

对一道习题的反思

现行高二《平面解析几何》第101页有一道典型习题:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点的纵坐标分别为y1,y2,求证:y1y2=-p2. 分析设过抛物线的焦点F(p/2,0)的直线方程为x=my p/2.将上式代入方程y2=2px,化简y2=2pmy-p2=0.因为y1,y2是该方程的两根,所以y1y2=-p2,这里之所以将过F(p/2,0)的直线方程设为x=mx p/2,而不     

关于抛物线的一个命题的推广

抛物线有一个有趣的命题：过定点M(2p,0)的动直线l与抛物线C：y2=2px(p＞0) 相交于P、Q两点,O为坐标原点,则∠POQ恒为直角.与其等价的命题是：过原点O作抛物线y2=2px(p＞0)的两条互相垂直的弦OP、OQ,则直线PQ恒过定点M(2p,0).文［１］给出此命题的一个推广,本文从另一角度给出此命题的推广.命题1 设M(x0,y0)为抛物线y2=2px上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,则直线PQ恒过定点M′(x0 2p,-y0)证 设PQ的方程为：x=my n(n≥0),代入y2=2px 得 y2-2pmy-2pn=0.由韦达定理得：y1 y2=2pm,y1y2=-2pn(1)其中y1,y2…     

圆锥曲线的"伴侣点"研究综述

1问题索源(1)早在80年代初,研究抛物线y2=2px(p> 0)焦点弦相关性质时,由高中教材中一道习题,即求证y1y2=-p2(y1,y2为焦点弦两端点纵坐标),当时曾提出近20道相关命题,其中如,已知焦点弦AB,过A、B两点作抛物线切线,则两切线交点必在     

引导学生开展研究性学习的一点体验

“研究性学习”作为培养学生的创新精神和实践能力的一种重要途径 ,日益受到教育工作者的重视 .本文从我们中专教材中的一道习题出发 ,从证明方法到习题变式 ,就如何引导学生体验探究 ,培养创新习惯的一点作法谈谈体会 .1　问题的提出过抛物线 y2 =2 px( p >0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,求证 :y1 y2 =- p2 .(学生的多种证明方法此处略 )2　引导探究图 1T:上述问题从研究直线与圆锥曲线位置关系的常规思路 (用直线的普通方程、参数方程 )出发 ,大家已经得到几种证明方法 ,结合我们中专教材还有其它的…     

抛物线一个性质的推广

命题（抛物线的一个性质）：设抛物线y2—2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC//x轴。交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

对抛物线性质的一点探究

设过抛物线y^2=2px的焦点F的直线交抛物线于A（x1,y1），B（x2，y2）两点。如图1所示，以A,B为切点作抛物线的两条切线（由于它与焦点有关，所以我们暂且叫它抛物线的焦切线）相交于点M，几何画板的作图表明．点M似乎在准线x=-p/2上，那么事实上是否如此呢？下面我们对此作一点探究．     

习题的探究

<正>题目过抛物线y²=2px,（p>0）的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y₁,y₂;求证:y₁y₂=-p²,此题是人教社课本高二（上）册P₁₁₉页第7题,本题内涵十分丰富,笔者从以下几方面进行探究与反思.     

抛物线的外切三角形和内接三角形的另外两个性质

文[1]给出了抛物线的外切三角形和内接三角形的两个性质:性质1抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A,B,C处的切线两两相交于P1,P2,P3,设△ABC和△P1P2P3的重心分别为G1,G2,则G1,G2的纵坐标相同.性质2抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A,B,C处的切线两两相交于P1,P2,P3,设抛物线的焦点为F,则     

抛物线的两个直角性质

本文介绍抛物线的两个直角性质,供读者参考.定理1经过抛物线y2=2px(p>0)的准线和对称轴的交点E作斜率为k的直线,与抛物线的一个交点是P,F是抛物线的焦点,若∠EPF=     

抛物线切线的一个性质

<正>性质已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为k的动直线l与抛物线C交于不同两点M、N,过M、N做抛物线的切线,则切线交点的轨迹为一条平行于x轴的射线.(特别地:当直线斜率不存在时,轨迹为x轴的负半轴).证明设M(x1,y1),N(x2,y2),     

一道课本习题教学记实

高中《平面解析几何》(必修)课本P101第8题是一道极有教学价值的习题,认真挖掘该题的丰富内涵,对提高学生的数学意识和素养、培养创新精神大有裨益.本人在抛物线一节的习题课教学中,诱导学生从原题出发积极探索,不断提出新问题、解决新问题,取得了较好的教学效果,充分发挥了习题课的作用.原题　过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2.求证:y1y2=-p2.1　教师启发,学生作答(1)请画出该题图形并标出字母.(2)y1y2=-p2说明了什么?答:如图1,交点A、B的纵坐标之积等于常数-p2.(3)该常数为什么是-p2,而不是p2或p或2p等等呢?换言之,常数-p2是怎样发现的?答:一般问题特殊化.图1由P101第5题知,当AB为抛物线通径时,y1=p,y2=-p,可得y1y2=-p2.(4)对于一般情形,怎样证明y1y2=-p2?答:若把y1和y2看作某个以y为未知数的一元二次方程的两实根,y1y2就是两根之积,所以只需找到该一元二次方程就行了.(5)怎样找?答:“设而不求”.由直线AB的方程与抛物线方程联立方程组,方程组的解就是交点A、B的坐标,消去x可得关于y的一元二次方...     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

课本上一道切线问题的推广

人教版《解析几何》第126页第19题:从抛物线的焦点向它的任意一条切线引垂线,求证这条垂线和准线的交点,在过切点且平行于对称轴的直线上.我们将它翻译成符号语言和图形语言,如图(1).直线l是过抛物线y2=2px(p>0)上一点P的切线,过该抛物线焦点F的直线FN⊥l于点N,与抛物线的准线交于点M.求证:直线MP平行于x轴.原题证明比较简单,这里略去.经过笔者研究发现,这里“FN⊥l于点N”的条件是“虚晃一枪”,实质上,点N是“抛物线两条切线(切线l与过顶点的切线——y轴)的交点”,利用一般化和类比的方法,原题可以推广为更一般、更广泛的形式.推广1如…     

圆锥曲线切线的一个统一性质

性质1 如图1,已知P是过抛物线y^2=2px（p〉0）的准线与x轴的交点M的弦AB在两端点处的切线的交点,线段AB的中点为C,F为抛物线的焦点,则（1）PF⊥x轴;（2）PC⊥PF． 证明 （1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为x=ty-p/2,联立直线AB的方程和抛物线方程消x整理得y^2-2pry＋p^2=0,所以由韦达定理有y1＋y2=2pt,y1y2=p^2     

抛物线的一个黄金分割比

本文介绍抛物线的一个黄金分割比,供读者参考.定理经过抛物线y2=2px(p>0)的准线和对称轴的交点E作斜率为k的直线与抛物线的一个交点是P,F是抛物线的焦点,若∠EPF=90°,则