完善一道平几极值题的解法

题:要在一平直河岸l上建一抽水站P,供应l同侧两居民点A、B用水,试问站址P应选在l上的什么地方才能使铺设的水管总长最短(不考虑V形路径)? 这是一道著名的几何极值问题,在一般书刊上出现的解法大致是:     

一道课本复习题的题后反思

数学学习中,很多同学往往喜欢做大量的课外习题,而对于数学书常常丢在一旁,很少花时间去研读,这种做法是有失偏颇的,殊不知教材中的例题习题具有很强的代表性,如果我们能多花时间去仔细研究,多做一些思考,必定会有收获.下面我就为大家介绍一个由苏科版教材复习题所引发的思考.教材中的原题(苏科版八下P123复习题探索研究15题):如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线     

一道复数题的解法及反思

复数问题的求解。首先要掌握好复数的各种表示形式及运算法则.其次对复数模、共轭、幅角的性质及几何意义也要正确把握.综合利用复数的性质及几何意义求解,常常能简捷、巧妙地解答问题.其中,转化的等价性要特别注意,我们从一道复数题的解法及反思来说明它. 问题1 已知复数z,满足|z|=1,且z1997     

对一道复合函数题的反思

<正>~~     

一道中考探究题的再反思

反思,反向思考之意,它不是数学学习一般性的回顾与重复,而是深究数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等,具有较强的科学研究的性质.由于数学对象的抽象性,数学活动的探索性,数学推理的严谨性和数学语言的特殊性,所以对处于思维发展中的学生不可能直接把握数学活动的本质,必须通过反复思考、深入     

一道极值题的错解,正解与简解

在立几问题中 ,有一类运用平均不等式求极值的问题 ,搞不好就会掉入陷阱 .图 1　题目图题　若球半径为Ｒ ,试求它的内接圆柱体积Ｖ的最大值 .错解 :设圆柱底面半径为ｒ ,则 :4ｒ2 =4Ｒ2 -ｈ2 ,Ｖ =πｒ2 ｈ=π4 ( 4Ｒ2 -ｈ2 )ｈ=π4 ( 2Ｒ ｈ) ( 2Ｒ -ｈ)ｈ=π8( 2Ｒ ｈ) ( 4Ｒ - 2ｈ)ｈ≤ π82Ｒ ｈ 4Ｒ - 2ｈ ｈ33=π8( 2Ｒ) 3 =πＲ3 .分析 :初看上去 ,会感到解法似乎无懈可击 ,但细心的同学不难发现 :当且仅当2Ｒ ｈ =4Ｒ - 2ｈ =ｈ ( 1)时 ,上式中“≤”取等号 .但方程组 ( 1)无解 ,即“≤”不能取等号 .由此可知以上解法有漏洞…     

一道研究生入学考试题的若干探讨

从一道2018年全国研究生入学考试《线性代数》试题出发,深入探讨了相关矩阵秩相等的几个充要条件,推广了已知的相关结果.     

对一道概率题的若干思考

问题 某人有5把钥匙，但他忘了开房门的是哪一把，于是，他便将5把钥匙逐把不重复地试开，问恰好三次打开房门锁的概率是多少?     

对一道向量题的探究与反思

向量是近代数学中重要而基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.它是高中数学的一个重要内容,是数形结合的载体,也是学好数学、提高能力的重要载体.在近几年的高考及各地的模拟试卷中,出现了很多精彩的考题.而学生在学习向量的过程中,往往有一种畏难情绪,碰到向量题,很多时候无从下手.这个时候就需要教师引导学生站在更高的层次去研究这些题目,通过对这些题目的研究,“去伪存真”,挖掘题目的背景及本质,并作一些适当的变形,这样不仅提升学生的学习兴趣,有时候还能得出一些有用的小结论.     

关于一道概率题的商榷

对浙江大学编《概率论与数理统计》（第二版）第五章习题7（2）的答案及解答提出商榷。     

关于一道立体几何题的探讨

在一些复习资料中有这样一道题:三棱锥的三条侧棱两两垂直,三个侧面与底面所成的角分别是30°,45°,60°,底面积为6,则三棱锥的体积为.编者是想通过此题考查三角形与其射影的面积关系和整体处理思想的运用,所以提供了下面的解法.解法1如图1,设△VAB,△VBC,△VAC与图1解法1用图底面ABC所成的角分别为30°,45°,60°,根据S侧=S底cosα知S△VAB=6·cos30°,S△VBC=6·cos45°,S△VAC=6·cos60°.设侧棱VA,VB,VC的长分别为a,b,c,则有12ab=6·23,12bc=6·22,12ac=6·21,即ab=18,bc=12,ac=6,∴(abc)2=36,∴abc=6.∴VV-ABC=31·21·…     

关于一道不定积分题的注记

有理分式的积分,常常可用有理函数分解成最简分式的方法求解,且不致出现错误.     

关于一道概率题的商榷

对浙江大学编《概率论与数理统计》(第二版 )第五章习题 7(2 )的答案及解答提出商榷     

关于一道立体几何题的探讨

在一些复习资料中有这样一道题： 三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面与底面所成的角分别是30°，45°，60°．底面积为√6．则三棱锥的体积为____．     

关于一道不等式赛题的推广

第三届北方数学奥林匹克邀请赛的第二题为： 设△ABC的三边长分别为a,b,c,且a＋b＋c=3．求：     

关于一道复数题答案的对白

高中课本代数下册复习参考题八的 2 ( 2 )题 :判断命题“复数集Ｃ与复平面内所有向量的集合一一对应”的真假 ,并说明理由 .有人给出答案 :假 ,因为实际上是复数集Ｃ与复平面内所有以原点Ｏ为起点的向量所成的集合一一一对应 .下面就是教师 (Ｂ)与学生 (Ａ)关于这个答案的讨论 .Ａ :这个答案很有道理 .复数集与平面内以原点为起点的向量集 (记作Ｖ)一一对应 .平面内所有向量的集合 (记作Ｖ′)的元素比集合Ｖ的元素多得多 ,所以集合Ｃ与Ｖ′就不能一一对应 .Ｂ :似是而非 .首先 ,向量 (ｖｅｃｔｏｒ ,亦称矢量 )有且只有两个要素———方向与…     

关于一道赛题解法的思考

题目　若不等式ａ +ｂ≤ｍ 4ａ2 +ｂ2 对所有正实数ａ ,ｂ都成立 ,则ｍ的最小值是 (　　 ) .(Ａ) 2　 (Ｂ) 2 32 　 (Ｃ) 2 34 　 (Ｄ) 4(第 13届“希望杯”邀请赛高二年级第 7题 )从此题的外表看 ,形式优美且有趣 .然而真正解起来 ,却不那么容易下手 .本文谈谈我们的一些解法与思考 .解法一　对于正实数ａ ,ｂ ,由《代数》课本下册 16页的 11题得(ａ +ｂ2 ) 2 ≤ ａ2 +ｂ22 ①∴　 [(ａ) 2 + (ｂ) 22 ] 2 ≤(ａ) 4+ (ｂ) 42 .∴　(ａ) 2 + (ｂ) 22 ≤ (ａ) 4+ (ｂ) 42 .由①易得(ａ +ｂ2 ) 2 ≤ (ａ) 2 + (ｂ) 22 ,∴　 ａ +ｂ2 ≤4(ａ) 4+…     

关于一道IMO训练题的引申

1998年加拿大IMO训练题 :设x1 ,x2 ,… ,xn+1 是正实数 ,满足条件 11 +x1+ 11 +x2+… +11 +xn+1=1 ,求证 :x1 x2 …xn+1 >nn+1 .上述命题表明 :如果正实数x1 ,x2 ,… ,xn+1满足条件 :11 +x1+ 11 +x2+… + 11 +xn=1 - 11 +xn+1时 ,有xn+1 ≥ nn+1 ni=1xi,所以 :11 +x1+ 11 +x2+…+ 11 +xn≥ 1 - 11 + nn +1 ni=1xi=nn+1 ni=1xi1 + nn +1 ni=1xi=nn+1nn+1 +x1 x2 …xn.由此我们引出一个新命题 :设x1 ,x2 ,… ,xn 是正实数 ,且11 +x1 + 11 +x2 +… + 11 +xn<1 ,　 11 +x1+ 11 +x2+… + 11 +xn≥ nn+1nn+1 +x1 x2 …xn( 1 )事实上 ,由于 11 +x…     

一道2011年自主招生题的探究与反思

题目(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生第7题)求|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.本题作为最后的压轴题,完解本题,意义非凡.对多数考生和老师来说,题型新而难,是备考中没有见过的,不知从何入手.实际上,文[1],[2],[3]对此题型作了专门探讨,分别用绝对值不等式性质和分段函数的单调性给出了结论及其证明.在此基础     

对一道向量题的变式探究及反思

向量是新教材改革增加的内容之一,是近代数学中很重要和基本的数学概念之一,向量因具有代数和几何的双重性特征,在代数和几何中起到重要的桥梁作用.近几年的高考及各地的模拟试卷中,出现了很多向量的小题,解法灵活多样,而学生却往往望而生畏,这就需要教师引导学生站在更高层次上去研究题目,“去伪存真”,挖掘题目的背景及本质.