三次函数性质的研究和应用

随着新教材的使用和推广,使高中学生用导数来解决高次和无理函数的性质成为现实,三次函数的有关问题作为典型在近几年的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解决了三次函数图象的对称中心问题,本文试用导数对y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)进行较全面的研究,并加以适当的应用.一、y=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象和性质1.三次函数的单调性分析:因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:Ⅰ.当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实根x1,x2(访设x10,所以y=ax3+bx2+cx+d(a>0)在(-∞,x1)或(…     

数形结合巧解题一例

例方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一非零 根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根x2, 求证:方程ax2/2+bx+c=0必有一根介于x1,x2 之间．     

韦达定理变形后的发现

设一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根为x1 、x2 ,则x1 +x2 =-ba ,　x1 x2 =ca.这就是著名的韦达定理 ,如果将其稍作如下变形 :ax1 +ax2 =-b ,　ax1 ·ax2 =ac,就会发现 ,以原方程各根的a倍为根的一元二次方程是x2 +bx +ac=0 .可看出此方程是把原方程的二次项系数a乘到常数项c上得到的 .我们不妨称x2 +bx +ac =0为ax2 +bx +c =0的衍变方程 .由于衍变方程的二次项系数是 1,一般情况下较原方程求解容易些 ,尤其当各项系数的绝对值较小或具有某些简算特征、两根为有理根时 ,利用二次三项式因式分解的规律公式x2+ (p + q)x + pq =(x +p…     

再谈“一元二次方程求根公式的推导”

贵刊 2 0 0 3年 5月下载文“一元二次方程求根公式的推导”读后受益匪浅 .该文介绍了国外数学家的三种推导方法 ,笔者经过深入研究 ,得出另一种全新的推导方法 .对于方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 ) ,当c =0时 ,方程的解是明显的 ,此时方程至少有一个零根 ;当c≠ 0时 ,方程无零根 ,即x≠ 0 .在方程两边同除以x得ax +b + cx =0 ,即ax + cx=-b ,设ax =-b2 +t,cx=-b2 -t,二式相乘得ac =b24-t2 ,t2 =b2 -4ac4.当b2 -4ac≥ 0时 ,t=± b2 -4ac2 ,将此代回所设 ,得ax =-b2 ± b2 -4ac2 =-b±b2 -4ac2 ,所以　x =-b±b2 -4ac2a .再谈“一元二次方程求根…     

巧用判别式

判别式是初中数学重要的内容之一.熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系,并灵活运用,可巧妙解决有关问题.一判断方程根的情况例1 设a、b、c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a     

一道高考压轴题的优化解法

2007年江苏高考卷的压轴题如下:已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.此题主要考查函     

三次曲线切线的两个性质

文[1][2]给出了三次函数f(x)=ax~3 bx~2 cx d(a≠0)的对称中心为(-b/3a,f(-b/3a)),受此启发笔者对三次曲线的切线进行了研究,发现了如下两个性质,供读者参考.定理1已知三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),A为曲线上的除对称中心外的任一点,在A点处的切线m交曲线于B,在B点的切线为n,kn,km表示两切线的斜率,则kkmn=4的充要条件是b2=3ac.图1定理1图证设A(x0,y0),∵f′(x)=3ax2 2bx c,∴km=3ax02 2bx0 c.切线m的方程:y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),其中f′(x0)=3ax02 2bx0 c.联立方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),y=ax3 bx2 cx d,解得:x=-2x0-ab,所以B点为(-…     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

方程根的定义在解竞赛题中的妙用

(1)x0是方程ax c=0(a≠0)的根ax0 c=0;(2)x0是方程ax2 bx c=0(a≠0)的根ax02 bx0 c=0.特别地,若ax21 bx1 c=0,ax22 bx2 c=0(a≠0),则当x1≠x2时,x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个不等实根;当x1=x2时,x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个相等实根.灵活运用上述结论,求解涉及方程根的有关数学问题,常能化繁为简,化难为易,请看下面数例(所选例子均为各地中考题或数学竞赛题):例1如果方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,则a=.(第十四届“希望杯”初一第二试试题)解:∵方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,∴2003 4a=2004a-3,故a=1.003.例2若α…     

一道初中数学竞赛题的简解

20 0 0年 4月 2日举行的全国初中数学联赛 (更名为数学活动创新能力评估 )试题二试( C卷 )第三题除了评分标答的解法外 ,还可用下面的方法来解答 .题　求所有的正整数 a、b、c,使得关于 x的方程 :　 x2 - 3ax 2 b =0 ,x2 - 3bx 2 c =0 ,x2 - 3cx 2 a =0的所有的根是正整数 .解　设方程 x2 - 3ax 2 b =0的两正整数根为 x1、x2 ,方程 x2 - 3bx 2 c=0的两正整数根为 x3 、x4 ,方程 x2 - 3cx 2 a =0的两正整数根为 x5、x6,由根与系数的关系 ,得　　 x1 x2 =3a,x1x2 =2 b,　　 x3 x4 =3b,x3 x4 =2 c,　　 x5 x6=3c,x5x6=2 a.由 …     

运用方程根的定义解题例谈

灵活运用方程根的定义解题,常能化繁为简、化难为易,收到事半功倍的效果. 一、正用方程根的定义若x1、x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根,则有ax21 bx1 c=0,ax22 bx2 c=0. 例1 已知x1、x2是方程x2 3x-√5=0的两根,求x21-x22 4x1-2x2的值. 分析用求根公式解出两根,再代入求值     

四次函数图像的对称性

定义:若一个函数的图像关于直线x=a对称,称该函数为轴对称函数. 　　本文先讨论四次函数y=x4+ax3+bx2+cx+d的对称性,再进一步讨论一般四次函数y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(a0≠0)的对称性.……     

分式线性递推数列的通项

分式线性递推数列an 1=aan bcan d就是一个很值得研究的典型题例,本文给出它的一个重要性质并由此得到其通项的一般求法.定理设有分式线性递推数列an 1=aan bcan d,(a,b,c,d∈R,c≠0),则当特征方程x=ax bcx d有两个相等的根x0时,{1an-x0}成等差数列,其公差为D=ca cx0;当特征方程x=ax bcx d有两个不相等的根x1,x2时,{an-x1an-x2}成等比数列,其公比q=a-cx1a-cx2.证1)当特征方程x=ax bcx d有两相等根x0时,方程化为cx2 (d-a)x-b=0.∴cx02 (d-a)x0-b=0,且(d-a)2 4bc=0,即b-dx0=(cx0-a)x0,且x0=a-d2c.1an 1-x0=1aan bcan d-x0=can d(a-cx0)an b-d…     

含向量的方程

在高三的一本数学复习资料中,有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题.下面在该题求解的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程.　　题目　已知a,b,c为非零向量且a⊥b,x∈R,x1,x2 是方程ax2 + bx + c=0的两实根,求证:x1=x2 .1　解法探讨错解　因为a⊥b则a·b=0 .b·(ax2 + bx+ c) =0 ,(b·a) x2 + b2 x+ b·c=0 ,∴　x=- b·cb2 .故,原方程只有唯一解,所以x1=x2 .错因分析　“将原方程两边同点乘b”,不是同解变形.b·(ax2 + b·x+ c) =0成立时,除了ax2 + bx+ c=0外,还有可能是b⊥(ax2 + bx+ c) .所以- (b·c) / b2不一定是原方程的解.…     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .关于x的方程 6mx2 +3nx +2 =0和 2 4mx2 +1 0nx+7=0有公共根是 12 ,则m =,n =.2 .关于x的二次三项式 (m -1 )x2 +4 (m -1 )x +2m +2是一个完全平方式 ,则m的值等于3 .若x1,x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则二次三项式ax2 +bx +c在实数范围内可分解为.4.已知方程 3x2 -4x =-1的两个根为x1,x2 ,不解方程 ,代数式 x2x21+x1x22=.5 .关于x的二次方程 (x+2 ) 2 =2 -n(n <5 )无实数根 ,则n的最大整数值是 .6.在平面直角坐标系内 ,已知点 ( 1 -2a ,a -2 )在第三象限 ,且a为整数 ,则a =.7.设P(x ,y)是平面直角坐标系中…     

实系数一元三次方程实根的一个判别法

1一元三次方程根的判别法的内容及证明定理一元三次方程f(x)=ax~3+bx~2+cx+d=0(其中a≠0),导函数f′(x)=3ax~2+2bx+c的判别式为△=4b~2-12ac,定义f(x)=ax~3+bx~2+cx+d=0的判别式为△′=(b~2-4ac)(c~2-4bd)-ad(27ad-2bc).则(1)当△≤0,或△>0且△′<0时,f(x)=     

一元二次不等式中的五类典型题

<正>学习一元二次不等式除掌握它的解题方法外,还要掌握五类典型题及解法.现介绍如下:一、一元二次不等式的逆向问题例1已知关于x的不等式ax²+bx+c>0的解集为{x|α0的解集为{x|α2+bx+a<0的解集.解由已知得a<0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为α、β,由韦达定理,知     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

三次函数对称中心再探

设三次函数的一般形式为f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0).f′(x)=3ax2 2bx c.易知二次函数f′(x)=3ax2 2bx c(a≠0)的顶点坐标是(-b3a,f′(-b3a)),点(-b3a,f(-b3a))在函数f(x)的图象上.设点M(x0,y0)是函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的图象上的任一点,M关于点(-b3a,f(-b3a))对称的点M′(-     

一道2010年全国数学联赛试题的别解

2010年全国数学联赛第9题: 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1时,f'(x)≤1,试求a的最大值.