层层剥求复合函数的单调区间

对于复合函数 y =f[g(x) ],可以分解成 y =f(u) ,u =g(x) ,我们称 y =f(u)为外层 ,u =g(x)为里层 ,u为中间变量 .求复合函数 y =f[g(x) ]的值域 ,即求外层 y的取值范围 ,无可非议从里到外进行 .求复合函数 y =f[g(x) ]的单调区间 ,即求里层中自变量x的取值范围 ,有很多试题仍选择从里到外进行 ,显得方便、易于叙述 ,但有时也会遇到麻烦 .下面略举两例 ,介绍一种从外到里的方法 ,故称之为层层剥 .预备知识　设函数 y =f(u)的定义域M ,u =g(x) 的定义域为N ,且当x∈ [a ,b]([a ,b] N)时u∈ [m ,n]([m ,n] M ) .若 y =f(u) ,u∈ [m ,n],u =g(…     

划分复合函数单调区间时的常见错误

划分复合函数的单调区间作为一种基本技能,频频出现在各类试题中,其解题原理并不复杂,可是这种题的得分率并不高.究其原因,皆是一些细节错误.本文把这些错误整理出来,以警来者. 常见错误1 忽视定义域的作用 例1求函数y=lgsin(2x π/4)的单调增区间. 错解∵y=lgx是增函数, ∴只需求y=sin(2x π/4)的增区间,于是有 2kπ-π/2≤2x π/4≤2kπ π/2 (k∈Z). 解得原函数的单调区间为     

三类常见函数单调区间的确定

已知常见基本初等函数的单调性后,如何确定由它们经加减、乘除运算得到的函数以及复合函数的单调区间,本文就此作一浅析.1　函数单调性定义仍是确定单调区间的一种最基本方法例1　求函数f(x)=x 1x的单调区间.分析　任取x1x1,所以　x2-x1>0.设f(x2)f(x1),则x1x2>1或x1x2<0.假定x1=x2=x,则由01得x∈(1, ∞)或x∈(-∞,-1).可知0、±1是区间的单调分界点.当0相似文献   

怎样求正弦函数的单调区间

<正>求正弦函数的单调区间的时候,你可能遇到过不会思考问题,或者不知怎样求单调区间的方法而着急的现象,此文教会你求单调区间的一种方法——化归法.1.化归法的应用例1求函数f(x)=sin(1/2x+π/3)在[-2π,2π]上的递增区间.分析问题因为求熟悉函数的递增区间容易,所以,我们把不熟悉函数转换为熟悉函数,此后,先求熟悉函数的递增区间,再求不熟     

一类单调函数的数学期望

对一类单调可微的有界函数 ,利用相对变化率的概念 ,定义了一种由该函数生成的概率密度函数 ,讨论了有关数学期望的计算和性质 ,并给出了在函数上升或下降速度比较、药动学模型识别中的应用 .     

探求法确定函数单调区间的技巧

探求法确定函数单调区间 ,是指用定义法求函数单调区间过程中 ,因无法直接确定因式的正负号而利用解不等式的方法求得单调区间的方法 .作为推理证明的一种补充手段 ,它对于学生而言比较容易接受 ,而且不改变思维的延续性与整体性 .下文通过一些典型的例题来剖析探求法的解题实质与运用技巧 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 3ｘ ,ｘ∈Ｒ ,1 )判断函数的单调性并证明 ;2 )求 ｆ(ｘ)在 [- 2 ,2 ]上的最大值 ,并指出何时取到最大值 .解　 1 )设ｘ1<ｘ2 ,则　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 )=ｘ3 1-ｘ3 2 - 3ｘ1+ 3ｘ2=(ｘ1-ｘ2 ) (ｘ21+ｘ1ｘ2 +ｘ22 - 3) ,图…     

探求法确定函数单调区间的技巧

探求法确定函数单调区间是指通过定义法求单调性过程中无法直接确定所求因式的符号 ,必须分区间研究而又无法判断区间端点的情况下 ,利用解不等式的方式求得单调区间 ,从而作为推理证明的一种补充手段 ,它对于学生而言比较容易接受 ,而且不改变思维的延续性与整体性 .下文通过一些典型例题来剖析探求法的解题实质与运用技巧 .例 1　已知函数 f( x) =x3- 3x,x∈ R( 1 )判断函数的单调性并证明 ;( 2 )求 f( x)在 [- 2 ,2 ]上的最大值 ,并指出何时取得最大值 .解　 ( 1 )设 x1相似文献   

一类函数的对数完全单调性

通过对参数λ,μ的讨论,主要利用函数的单调性理论,已有对数完全单调函数的性质以及幂函数的积分表达式研究了函数Gλ,μ(x)及函数[Gλ,μ(x)]-1的对数完全单调性,并在此基础上得到了一定条件下函数Gλ,μ(x)及[Gλ,μ(x)]-1对数完全单调的充要条件.     

复合函数单调性的判定

在学习函数的过程中,经常会遇到y= f[g(x)]形式的函数,这样的函数叫复合函数． u=g(x)称为内函数,f(u)称为外函数．而判定复合函数的单调性是一个难点,下面通过例题说明如何判定复合函数的单调性．     

序轴法--复合函数单调区间的一种简捷求法

复合函数是高中数学中的一类重要函数 ,讨论复合函数的单调性 ,求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题 .本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法 ,供大家参考 .本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理 (判定定理 )　若 y =F1(x) ,u1=F2 (x) ,… ,un=Fn 1(x)都是单调函数 ,则 n次复合函数 y =F1{ F2 [… Fn 1(x) ]}在其定义域内也是单调函数 ,且它为增函数的充要条件是 y =F1(x) ,u1=F2 (x) ,… ,un =Fn 1(x)中减函数的个数为偶数 ;它为减函数的充要条件是y =F1(x) ,u1=F2 (x) ,… ,un=Fn 1(x)中减函数的个数…     

关于复合函数的单调性

由函数y=f(u)和u=φ(x)构成的复合函数y=f[φ(x)],其单调性是对自变量x而言,学生感到十分棘手。由于对复合函数、单调函数理解得不深不透,他们或想当然地认为减函数与减函数复合还是减函数,或困惑不解,乱猜乱想。本文给出的充分条件,可以化繁为简,把复     

一类不可导函数的单调性

利用Schw arz导数的相关知识,讨论了一类不可导函数的单调性,并给出几个重要且实用的结论.     

对于一类函数问题的研究

<正>导数与三角函数结合,既能体现三角函数的特殊性(对称、有界、周期等),又能发挥导数强大的工具作用,不同思路的选择往往让解题得到优化,又能实现高考对理性思维的考查要求.下面以近期北京市模考题中三角函数的最值与零点问题为例,谈谈我们微课题小组对于这类问题的探索.     

函数单调性的探讨

关于函数的单调性,课本只给出了一个定义,但用定义直接求出函数的单调区间有一定的局限性,往往避不开复杂的讨论。本文给出若干有关函数单调性的命题,盼能给学生以帮助。为了行文方便,约定y=f(x)在某区间上单调增记作“↑”,单调减记作“↓”。如在[a,b]上单调增记作“[a↑b]”,在区域D上单调减记作“D↓”。其它情况仿上标记。〈一〉奇偶函数的单调性关于原点的对称区间上奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性。(读者自证) 利用奇函数与偶函数的这一关系在研究     

正,余弦函数单调区间的快速求法

在求函数 ｙ =Ａ·ｓｉｎ(ωｘ φ)及 ｙ =Ａ·ｃｏｓ(ωｘ φ)的单调区间时 ,学生往往容易出错 ,特别是在ω <0的情况下 ,尤为突出 .本文介绍一种既保险又快捷的求法 ,解法分三步 .第一步 :求出函数的最小正周期Ｔ =2π|ω|;第二步 :寻找一个ｘ0 ,使ｘ =ｘ0 时 ,ｙ值最大 ;图 1　ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)示意图第三步 :写出函数的单调增区间[ｋＴ ｘ0 -Ｔ2 ,ｋｔ ｘ0 ] ,ｋ∈Ｎ ;单调减区间 [ｋＴ ｘ0 ,ｋＴ ｘ0 Ｔ2 ] ,ｋ∈Ｎ .以上解法 ,请同学们结合图 1就不难理解了 ,关于ｘ0 的求法 ,只须根据Ａ的符号及函数名称 ,令ωｘ φ =…     

利用单调函数的性质证明一类不等式

利用单调函数的性质证明一类不等式苏万春（吉林省永吉三中）由单调函数定义知：若函数ｆ（ｘ）在区间Ｍ上是增函数，则对于Ｍ上的任意两个不同的自变量的值ｘ１和ｘ２都有（ｘ１－ｘ２）·［ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）］＞０（反之亦然）；若函数ｆ（ｘ）在区间Ｍ上是减函数...     

一类非光滑函数的区间扩张

本文指出了文献[1]中的一个错误,并给予修正,同时讨论了一类非光滑函数的区间扩张,它在数学规划有很多应用。所举的例子说明,我们给出的区间扩张函数优于文献[1]中的区间扩张函数。     

关于一类函数单调性的再讨论

针对函数F(x)=x∫0(x-ct)f(t)dt的单调性,通过反例说明某文献的相关论述存在错误,并给出命题,全面讨论此类函数在各种情况下的单调性.     

利用单调函数的性质证明一类不等式

文[1]用单调函数的性质,变更定义中的表达形式,非常简单地证明了一类不等式,读后深受启发．如果变更定义中的表达形式为f(x1)-f(x2)＜0(或＞0),f(x2)/f(x1)＞1(或＜1),解决我们常用数学归纳法证明的一类数列不等式,将收到较好的效果．     

浅谈复合函数单调性的判定

题目已知函数y=-3/2cos（π/6-1/2x）,x∈R.（1）求函数的最大值及取得最大值时的x构成的集合;（2）求函数的单调递减区间.这是我校2013-2014学年高一下学期期中考数学试题,其中第（2）小题主要考查复合函数的单调性,即利用复合函数单调性的相关知识,对复合函数单调性进行判断.题目源于人教版《普通高中数学标准实验教科书数学必修（4）A版〈1．4．2正弦函数、余弦函数性质〉》中的例5．虽然题目源于课本,但又高于课本,这对于高一学生来说综合性较强,对解题能力要求较高,成为学生失分的重灾区．现结合学生中出现的错解分析引伸如下：