椭圆几何性质教学设计

人们对事物的认识多是从直观到抽象 ,从感性到理性 ,中学生的数学学习过程更是如此 .现行《解析几何》教材对椭圆 (双曲线 )几何性质的编排 ,缺乏感性的铺垫 ,一开始就严格遵循“用方程研究曲线性质”的解析思想 ,这就不太符合学生认知发展的先后顺序 ,学生学起来感到“突然”,不能自然流畅 .从直观和感性的角度入手考虑问题时 ,多数同学首先注意到椭圆的对称性而不是它的范围 ,其次是椭圆的“扁圆”程度 ,最后在位置、大小的比较之下注意到椭圆的范围 .笔者按着这样的认知顺序设计了如下“观察——判断——证明 (或反驳 )、定义”的教学程…     

非欧空间中的广义度量方程及其应用

本文改进了杨世国关于非欧空间中基本图形的度量方程,建立一个一般意义下的、应用更为方便的广义度量方程,作为其初步应用,导出了非欧空间中两个单形之间的一些有趣的几何关系．     

椭圆的一个性质

性质　如图 1 ,T1 (-t,0 ) ,T2 (t,0 ) (0 b >0 )的长轴A1 A2上关于椭圆中心O对称的两定点 ,P是椭圆上的动点 ,当点P沿着弧A2 PB2　图 1　椭圆从A2 向B2 运动时 ,则∠T1 PT2 逐渐变大 ,并且当点P与点B2 重合时 ,∠T1 PT2 达最大值 .证　连结OP ,记|PT1 |=r1 ,|PT2 | =r2 ,|OP|=r,在△POT1 中 ,由余弦定理知　　　　r21 =t2 +d2 - 2tdcos∠POT1 (1 )同理　　r22 =t2 +d2 +2tdcos∠POT1 (2 )由 (1 ) +(2 )得r21 +r22 =2t2 +2d2 .又在△PT1 T2 中 ,由余弦定理知cos∠T1 PT2 =r21 +r22 - 4t22…     

非欧空间中双基本图形的度量方程及其应用

本文提出了n维球面型空间和双曲空间中双基本图形的概念,建立了球面型空间与双曲空间中双基图形的度量方程,并给出度量方程的一些应用.     

非欧几何及其模型

非欧几何的发现是19世纪最引人注目的成就之一，并对几何学产生了深远的影响．由于它事关我们对空间的基本认识，事关我们所熟知的欧几里德几何，每位从事基础数学教育的工作者对它的诞生、内容和意义有所了解，可能是有益的。     

椭圆双曲线准线的几何作图

在解析几何教材中 ,对于椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,都给出了它们的准线方程ｘ=± ａ2ｃ,而未给出准线的作图方法 .鉴于准线有着重要的几何意义 ,本文将根据椭圆、双曲线的有关性质 ,结合平面几何知识 ,给出准线的几种作图方法 .图 11　利用相似三角形进行作图先说明椭圆、双曲线的一个共同性质 :(图 1和 2 )焦点Ｆ、顶点Ａ和对应的准线交ｘ轴的垂足Ｈ与中心Ｏ构成三条线段 ,它们的长度成等比数列 ,即｜ＯＡ｜∶｜ＯＦ｜=｜ＯＨ｜∶｜ＯＡ｜.图 2证明　因为｜ＯＦ｜=ｃ=ａ· ｃａ =ａｅ,｜ＯＡ｜ =ａ ,｜ＯＨ｜ =ａ2…     

关于重视几何直观分析的思考

关于重视几何直观分析的思考王敬庚（北京师大数学系１００８７５）培养学生从几何直观上分析问题的能力，是中学几何教学的任务之一，然而在解析几何教学中，却往往容易把注意力全部放在如何教学生用代数方法解几何题上，而对如何教学生也要注意从几何直观上分析问题重视...     

椭圆的两个有用的性质

性质 1　如图 1 ,T1 ( -t,0 )、T2 (t,0 ) ( 0 b>0 )的长轴A1 A2 上关于椭圆中心O对称的两定点 ,P是椭圆上的动点 ,当点P沿着弧A2 PB2 从A2 向B2 运动时 ,则∠T1 PT2 逐渐变大 ,并且当点P与点B2 重合时 ,∠T1 PT2 达最大值 .证明　连结OP ,记 ｜PT1 ｜=r1 ,｜PT2 ｜=r2 ,在△POT1 中 ,｜OP｜=d ,由余弦定理知r21 =t2 +d2 - 2tdcos∠POT1 ①同理r22 =t2 +d2 + 2tdcos∠POT1 ②由① +②得r21 +r22 =2t2 + 2d2又在△PT1 T2 中 ,由余弦定理知cos∠T1 PT2 =r21 +r22 - 4t22r1 ·r2③因为△T1 …     

关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质

平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的：椭圆的焦距与长轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做椭圆的离心率．双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用ｅ表示,按抛...     

Poisson Kernel for a Degenerate Elliptic Equation and Application to Boundary Value Problems

In this paper we consider the Dirichlet problem to a degenerate elliptic equation in a domain whose interior contains a degenerate surface. By means of the method of expansion of Poisson kernel and applying the properties of special functions, we obtain the twice continuously differentiable solution of the problem on the entire space including infinity.     

有关度量加的几个几何不等式

本文利用代数的方法建立了一个与距离几何中度量加单形的体积和外接超球半径有关的几何不等式,作为其应用,由此可以导出一系列重要的几何不等式.在文末还给出了“广义度量加”的概念,并提出若干猜想供进一步研究.     

一类非线性椭圆型方程奇摄动问题

A class of singularly perturbed problems for the nonlinear elliptic equations is considered. Under suitable conditions, using the theory of differential inequalities the asymptotic behavior of solution for the boundary value problems are studied, which reduced equations possess two intersecting solutions.     

Inequalities for Eigenvalues of a System of Equations of Elliptic Operator in Weighted Divergence Form on Metric Measure Space

Let A be a symmetric and positive definite(1, 1) tensor on a bounded domain Ω in an ndimensional metric measure space■. In this paper, we investigate the Dirichlet eigenvalue problem of a system of equations of elliptic operators in weighted divergence form■,where ■, α is a nonnegative constant and u is a vector-valued function.Some universal inequalities for eigenvalues of this problem are established. Moreover, as applications of these results, we give some estimates for the upper bound of ?k+1 and the gap of ?k+1-?k in terms of the first k eigenvalues. Our results contain some results for the Lam′e system and a system of equations of the drifting Laplacian.     

Second-Order Necessary Optimality Conditions for Some State-Constrained Control Problems of Semilinear Elliptic Equations

In this paper we are concerned with some optimal control problems governed by semilinear elliptic equations. The case of a boundary control is studied. We consider pointwise constraints on the control and a finite number of equality and inequality constraints on the state. The goal is to derive first- and second-order optimality conditions satisfied by locally optimal solutions of the problem. Accepted 6 May 1997     

退化椭圆型方程的一个边值问题

本文主要讨论在ｘ 轴上退化的二阶椭圆型偏微分方程的混合边值问题．     

某些半线性椭圆方程在环域上的正对径解的存在性

利用锥拉伸与锥压缩型的Krasnosel'skii不动点定理讨论了某些二阶非线性椭圆方程在环域上关于Dirichlet边界条件的正对径解的存在性。通过考察非线性项在有界闭区间上的性质建立了若干正对径解的存在性结论。主要结论不涉及非线性项的超线性增长和次线性增长。当非线性项存在极值并满足适当条件时,主要结论是非常有效的。     

高阶半线性椭圆型方程奇摄动边值问题

本文研究了一类高阶半线性椭圆型方程奇摄动边值问题,利用比较定理,证明了渐近解的一致有效性。