例谈构造法解题

利用构造法解题,要改变常规的思维方式,独避蹊径,不断的挖掘数学的深层次的客观规律,这对提高解题效率,激发学习兴趣,培养创新精神都是大有裨益的.本文将从七个实例说明如何巧用构造法解题.例1（2010重庆）已知x〉0,y〉0,x＋2y＋2xy=8,则x＋2y的最小值是（）.     

挖掘隐含条件完善解题过程

高中学生在解题时,如何充分利用已知条件,特别是如何从题意中分离出隐含条件,找到有效的解题方法,完善解题过程是一个值得注意的问题.一、函数中的几个问题例1设函数f(x)=loga(1-ax)在[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围.解:由题意可知:a>0,∴g(x)=1-ax在[1,2]上单调递减.要使f(x)在[1,2]上单调递增只需:0g(<2)a<>10即:01-<2aa<>10∴a∈0,21其实,问题的关键在挖掘对数要求真数大于0这一隐含条件.例2已知,x+2y=2,(x≥0,y≥0)求x2+y2的最值.解:以x=2-2y代入x2+y2为x2+y2=(2-2y)2+y2=5y2-8y+4=5y-452+54∵yx≥≥00∴2y-≥20y≥0∴0≤y≤1∴x2+y…     

取值范围问题的解法探究

<正>在一次数学测试中,有这样一道题目:已知实数x>0,y>0,且x²+y2+y²-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x2-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x²+y2+y²-xy=3,整理得7y2-xy=3,整理得7y²-5ty+t2-5ty+t²-3=0.因为方程有解,     

对条件最值问题的思考

本文通过对一道最值问题的多角度思考 ,来说明求最值时的一些常用思想方法 .题目　已知x >0 ,y >0 ,xy -(x +y) =1,求x +y的最小值 .思路 1　由于已知条件中x、y的地位均等 ,x、y实际上是对称的两个量 ,因此 ,从对称的角度我们可以猜想当且仅当x =y时 ,x +y取得最小值 (波利亚的解题思想 ) .解法一　 (猜想 )　若x =y ,则　x2 -2x -1=0 ,∴　x =1± 2 .∵　x >0 ,　∴　x =y =1+2 .故猜想x +y的最小值为 2 +2 2 ,以下工作只是“补行手续”(波利亚语 ) .思路 2　若将x +y看作为一个整体变元 ,问题则变更为设法消去xy项 ,寻求关于x+y的等式或…     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

由点与椭圆的位置关系探索一道高考题的新解法

平时在解题过程中往往运用一些结论性的知识,而缺乏对这些结论的深刻认识,从而会错失一些有效的解题方法.如果在解题之后能养成反思总结的习惯,也许会获得更多的解题思路. (2010湖北高考文-15)已知椭圆C:x2/2+y2=1的两个焦点F1,F2,点P(x0,y0)满足0＜x20/2+y20＜1,则|PF1|+| PF2 |的取值范围为,直线x0x/2+y0y=1与椭圆C的公共点个数为_____.     

第七讲 观察与联想

“观察”就是“看”,“联想,就是“思考”。我们的解题活动,就是将观察得到的信息与我们已有的知识和技能联系起来进行思维,然后从已有的知识与技能中选取合适的几条来解决它。可见,“观察”是解题的先导、“联想”是解题的关键。二者是一个有机的整体.但是为了把问题阐述得更透彻一些,我们还是分几个问题来讲: 1“观察”本身就是一种解题方法。例1 求函数y=x+1~(1/2)/x+2的值域。解由y=x+1~(1/2)/x+2,得 y~2x~2+(4y~2-1)x+4y~2-1=0 当y≠0时,∵x为实数,必有 (4y~2-1)~2-4y~2(4y~2-1)≥化简,得-1/2≤y<0或0相似文献   

例谈圆锥曲线定义的应用

定义揭示的是事物的本质属性 ,对于某些数学问题 ,若能灵活运用定义解题 ,往往事半功倍 .本文试就圆锥曲线的定义举例说明它在解题中的应用 .1　应用圆锥曲线定义解方程例 1　解方程x2 -10 3x+ 80 +x2 + 10 3x+ 80 =2 0 .分析　此类题的常规解法是经过两次平方去根号 ,解出x ,但这种解法运算繁杂 ,且容易出错 .如果我们联想到椭圆第一定义 ,将方程配方后令 5=y2 ,可得 (x-53 ) 2 + y2+ (x+ 53 ) 2 + y2 =2 0 ,且 2 0 >10 3 ,由椭圆的第一定义可知 :点M (x ,y)的轨迹是一个以F1(-53 ,0 ) ,F2 (53 ,0 )为焦点 ,长轴长为 2 0的椭圆 ,从而原方…     

高中数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略.也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,经常会出现错误.同时,学生在解题时,对所给题目缺乏全面细致地考虑,往往出现对问题的漏解.下面列举数例,希望能对学生克服思维的片面性,养成严谨缜密的思维品质有所帮助.一、忽视隐含条件,导致结果错误例1求函数y=x2+4x+3x2+x-6的值域错解(用判别式法)将原函数变形得:(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0①当y=1时,①式化为-3x=9,有解x=3;当y≠1时,∵①式中x∈R∴Δ=(y-4)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0即:25y2-20y+4≥0,解这个不…     

构造余弦定理模型解题

余弦定理是高中数学解三角形的重要定理.如果我们把余弦定理当做一种解题的思路和工具,就可构造余弦定理模型,跳出三角函数的苑囿,求解其它很多数学问题.1求解最值问题例1已知x,y∈R+,且4x 2+y 2+xy=1,求2x+y的最大值.     

一位名师一道题

问题 :实数a ,b,c满足 (a +c) (a+b+c) <0 .求证 :(b -c) 2 >4a(a +b+c) .分析与解　要证的式子与二次方程的判别式形式相似 .故可构造辅助函数y=ax2 + (b-c)x + (a+b +c) .当a≠ 0时 ,二次函数过点P1( 0 ,a+b+c)及P2 ( -1 ,2 (a+c) ) .显见 ,y1y2 =2 (a+b +c) (a +c) <0 (已知条件 ) .即P1、P2 中有一点在x轴上方 ,另一点在x轴下方 .为此二次函数的图像与x轴相交 .所以　Δ =(b -c) 2 -4a(a +b +c) >0 .即得　 (b-c) 2 >4a(a+b+c) .当a=0时 ,由已知条件得c(b+c) <0 ,即b≠c,(b -c) 2 >0 ,结论也成立 .原命题得证 .构造二次函数来解题是一…     

函数思想在数学解题中的应用

所谓函数思想的运用 ,就是对于一个实际问题或数学问题 ,构建一个相应的函数 ,用函数的有关知识去分析问题 ,最终达到目的———解决问题 .运用函数思想解题是中学数学中的一种重要方法 .下面举例说明函数思想在数学解题中的应用 .1　求值例 1　设x ,y∈R ,且 (x - 1 ) 3 +2 0 0 3(x- 1 ) =- 1 ,(y - 1 ) 3 +2 0 0 3(y - 1 ) =1 ,求x+y的值 .解　设 f(t) =t3 +2 0 0 3t,易知 f(t)是奇函数 ,且在R上是增函数 ,故由已知条件得f(x - 1 ) =- f(y - 1 ) =f(1 - y) ,∴x - 1 =1 - y ,∴x +y =2 .例 2　已知x ,y∈ - π4 ,π4 ,a∈R且x3 +sinx - …     

复数问题错解分类辨析

复数是高中代数的重要内容之一 ,并且地位特殊 .它相对独立于其它内容 ,以至于概念多 ,运算繁 ,容易和实数的性质、运算混淆 ,造成解题中的失误 ,下面就学生在解题过程中出现的错误进行分类辨析 ,供大家参考 .一、未掌握复数的特性例 1　下列两命题 :(1 )设x,y ,z,都是复数 ,若x2 +y2 >z2 ,则x2 +y2 -z2 >0 ;(2 )设x、y ,z,都是复数 ,若x2 +y2 -z2 >0 ,则x2 +y2 >z2 .那么下列说法正确的是 (　　 )A .命题 (1 )正解 ,命题 (2 )也正确B .命题 (1 )正确 ,命题 (2 )错误C .命题 (1 )错误 ,命题(2 )也错误D .命题 (1 )错误 ,命题 (2 )正确错解…     

一个分式不等式的解题功效

本刊刊出了《构造不等式,巧解最值题》[1],该文介绍了分式不等式: 定理设x1,x2∈R,r1,r2,∈R+, 则x12/y1+x22/y2≥(x1+x2)2/(y1+y2) (当且仅当x1:y1=x2:y2时,等号成立) 本文将进一步介绍定理的解题功效.     

例谈一个结论的应用

<正>结论若a、b为实数,a²+b2+b²=0,则a=0且b=0.在解题中若能充分利用这一结论,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解,现举几例.例1已知实数x、y满足x2=0,则a=0且b=0.在解题中若能充分利用这一结论,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解,现举几例.例1已知实数x、y满足x²+y2+y²-zx+4y+5=0求x、y的值.分析此题为一个方程两个未知数,似乎     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

简解一道美国数学月刊征解题

问题设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,贵刊文[1]给出一个三角代换的解法,求解过程中还运用到导数的知识,运算繁杂难度较大,不易掌握.文[2]给出一个     

解圆问题常见错误分析

圆是中学数学的重要内容之一.圆的概念较多,综合性较强,且解题有一定的技巧性,学生在解题时经常因审题不严、考虑不周、应用能力差而错解题目.下面就学生在解题中出现的错误,分类辨析如下.一、不理解题意例1已知直线l:x=m(x<-2)与x轴交于点A,动圆M与直线l相切,并且与圆O:x2+y2=4外切.求动圆的圆心M的轨迹C的方程.错解设M(x,y),依题意得x2+y2=2+|x-m|,当x≥m时,得:y2=2(2-m)x+(2-m)2;当x相似文献   

对数函数问题

对数函数 y =logax(a >0 ,a≠ 1)是指数函数 y=ax(a >0 ,a≠ 1)的反函数 ,也是数学中十分重要的基本初等函数 .学习对数函数 ,我们不仅应熟练掌握对数函数的定义域、值域以及单调性等基本性质 ,而且还要能灵活运用其性质解决有关问题 .具体解题时 ,若给出函数的草图 ,往往能“一目了然”地获得问题的结果 .例 1　 (1999年全国高中数学联赛试题 )若(log2 3) x- (log53) x≥ (log2 3) - y- (log53) - y,则(　　 )(A)x - y≥ 0 .　　　　 (B)x +y≥ 0 .(C)x - y≤ 0 . (D)x +y≤ 0 .解　因为 0 相似文献   

求解函数问题的首先考虑

定义域是函数的一个基本要素 ,研究函数的有关问题时 ,如果忽略定义域 ,往往会导致解题失误 .因此 ,必须优先考虑函数的定义域 .下面结合数例加以说明 .1　求函数的值域 (最值 )例 1　已知 3x2 +2 y2 =9x ,求u =x2 +y2 的最大值 .错解 :∵ 3x2 +2 y2 =9x ,∴ y2 =12 (9x - 3x2 ) ,∴u =x2 +y2 =x2 +12 (9x - 3x2 )=- 12 x - 922 +818,所以当x =92 时 ,u有最大值为818.剖析　由制约条件 3x2 +2 y2 =9x知y2 =12 (9x - 3x2 )≥ 0 ,解得 0≤x≤ 3,即u =- 12 x - 922 +818的定义域为 [0 ,3],而x =92 [0 ,3],所以u不可能取得818,故上述解法有误 …