数学问题与解答

20 0 3年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 466　设M =5 2 0 0 1 + 72 0 0 2 + 92 0 0 3+ 1 1 2 0 0 4 ,求证 :M能被 8整除 .证明　令An =5 2n- 1 ,Bn =72n,Cn =92n- 1 ,Dn =1 1 2n(n∈Z+)( 1 )当n=1时 ,有A1 =5 ,B1 =49,C1 =9,D1 =1 2 1 ,所以A1 除以 8余 5 ;B1 除以 8余 1 ;C1 除以 8余 1 ;D1 除以 8余 1 .( 2 )假定n=k(k∈Z+)时 ,有Ak 除以 8余 5 ,即Ak =5 2k- 1 =8S1 + 5 (S1 ∈Z+) ;Bk=72k除以 8余 1 ,即Bk=72k=8S2 + 1 (S2∈Z+) ;Ck =92k- 1 除以 8余 1 ,即Ck =92k- 1 =8S3+1 (S3∈Z+) ;Dk =1 1 2k 除以 8余 1 …     

一个课本例题结论的推广

高中代数下册 P2 52上 ,利用 ( 1 - 1 ) n =0 ,左边用二项式定理展开 ,推得结论( C0n C2n … ) - ( C1n C3n … ) =0 ( 1 )即 C0n- C1n C2n- C3n … ( - 1 ) n Cnn=0 ( 2 )笔者经探索研究 ,发现 ( 2 )式有如下的推广形式 .定理　设 m、n是非负整数 ,且 m 相似文献   

关于三角形内切圆的一个性质的思考

文[1]指出:设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,内心为O,内切圆半径为r,M为△ABC内切圆上任意一点,ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,则2r-r(a-b c)bc(a b-c)≤ME MF≤2r r(a-b c)b(ca b-c).①笔者经思考发现,在双圆n边形中有定理设双圆n边形A1A2…An的内心为I,内切圆半径为r,P为内切圆上任意一点,PM⊥Ak 1Ak于M,PN⊥Ak 1Ak 2于N,k=1,2,…,n-1,An 1=A1,n≥3,n∈N,则有2r(1-sinA2k 1)≤PM PN≤2r(1 sinA2k 1)②证明连结Ak 1I,记Ak 1I交⊙I于U、V,且U为⊙I上的近Ak 1点,V为⊙I上的远Ak 1点,U到Ak 1Ak、Ak 1Ak 2的距…     

上楼梯趣题一则——一个排列组合问题的解法及推广

问题　一楼梯共有 1 0级 ,如果每步均可上 2级或 3级 ,要登上第 1 0级 ,共有多少种不同的走法 ?解　要登上第 1 0级 ,设 x次上 2级、y次上 3级 ,则有 2 x 3 y =1 0解得　 x1=2 ,y1=2 .　　 x2 =5,y2 =0 .所以登上第 1 0级的走法有两类 :第一类 :上 2次 2级 ,2次 3级 ,有 P4 4P22 . P22=6(种 ) .第二类 ,上 5次 2级 ,仅 1种 .故共有 7种走法 .将其推广到一般情况 ,可得到以下结论 :结论 1　一楼梯共有 m级 ,如果每步均可上 a级或 b级 ,要登上第 m级 ,共有∑ki=1(xi yi) !xi! . yi! 两种不同的走法 .其中 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,… ,(xk,yk)…     

集合与简易逻辑

1.1　集合的概念及元素的特征内容概述1.集合通常用列举法、描述法表示 ,有时还用特定记号法、图示法、区间法来表示 .2 .非空集合中的元素具备确定性、互异性、无序性等特征 .3.含有 n个元素的集合共有 C0n C1n C2n … Cnn =2 n个子集 ,2 n - Cnn=2 n- 1个真子集 ,2 n -C0n - Cnn =2 n - 2个非空真子集 .4 .两个集合的交、并、补运算方法是定义法、韦恩图法、数轴法 .两个易错的常用的习题结论是CU( A∩ B) =( CUA)∪ ( CUB) ,CU( A∪ B) =( CUA)∩ ( CUB) .5 .运算特例 :( 1) CAA = ,　 CA =A,CU( CUA) =A,　 A∩…     

探求椭圆面积公式的另一种方法

关于椭圆面积公式的探求有多种方法 ,不少的刊物上曾刊登过相关的研究文章 ,本文给出另一种探求方法 .图 1如图 1所示 ,设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,Ak(xk,yk) (k=1 ,2 ,3,...n)是椭圆上的n个点 ,A1 A2 ...An 是椭圆的内接n边形 ,当n→∞时 ,｜AkAk+1 ｜max =ln → 0 ,则 x2 ka2 + y2 kb2 =1 ,由此得x2 k + abyk2 =a2 ,可见 ,点Bk xk,abyk (k =1 ,2 ,3...n)是圆x2 +y2 =a2 上的n个点 ,且这n个点在圆上的排列顺序与点Ak(k=1 ,2 ,3...n)在椭圆上的排列顺序相同 ,所以 ,B1 B2 ...Bn 是圆x2 +y2 =a2 的内接n边形 .连接OA1 ,OA2…     

构造概率模型证明组合恒等式

对于组合数恒等式的证明无固定的方法, 使得人们常感到无从下手.下面介绍构造概率 模型证明组合恒等式几例,供读者参考. 例1 求证:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 证明 设事件A在一次试验中发生的概率 为1/2,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是:PA(k)=Cnk(1/2)k·(1-1/2)n-k=1/2nCnk. 令k=0,1,2,…,n,并求和得 即 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 例2 求证:(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2= C2nn. 证明 设一个口袋中有n个白球n个红 球,任取n个球,求A={至少有一个白球}的概     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式:(1)Sn=an bn=(a b)Sn-1-abSn-2;(2)Sn=an bn cn=(a b c)Sn-1-(ab bc ca)Sn-2 abcSn-3.将(1)变形为Sn-(a b)Sn-1 abSn-2=0,则发现其系数与方程x2-(a b)x ab=0的系数相同,而方程的两根就是a,b.(2)也有同样的情形,是巧合还是必然结果呢?再经过归纳发现这么一个事实,即定理若数列{an}的通项公式an=c11λn c2λ2n … ckλkn,且1λ,λ2,…,kλ是方程xk B1xk-1 B2xk-2 … Bk=0(Bk≠0)不相等的根,则数列{an}有递推式an B1an-1 B2an-2 … Bkan-k=0(n>k),其中B1,B2,…,Bk由初始条件或韦达定理确定.证因为λ1,2λ,…,kλ是方…     

与二项式系数有关的求和问题的解题策略

1赋值求和例1设(2x-3)10=a10(x-1)10 a9(x-1)9 … a2(x-1)2 a1(x-1) a0,求a1 a2 a3 … a10的值.解令x=2,得a0 a1 a2 a3 … a10=1;令x=1,得a0=(-1)10=1,所以a1 a2 a3 … a10=1-1=0.例2设(1 x x2)n=a0 a1x a2x2 … a2nx2n,求a1 a3 a5 … a2n-1的值.解令x=1,得a0 a1 a2 … a2n=3n;令x=-1,得a0-a1 a2-…-a2n-1 a2n=1.两式相减得a1 a3 a5 … a2n-1=3n-12.2逆用定理例3已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,求和:a1C0n a2C1n a3C2n … an 1Cnn.解a1C0n a2C1n a3C2n … an 1Cnn=a1C0n a1qC1n a1q2C2n … a1qnCnn=a1(C0n qC1n q2C2n … qnCnn)…     

一道国家集训题的导数证明

2005年国家集训题:从任意n(n≥2)个给定的正数a1,a2,…,an中,每项取k个数作乘积,所有这种乘积的算术平均值的k次方根,称为这n个数的k次对称平均,记为Bk.即Bk=a1a2…ak a1a3…ak 1 … an 1-k…an-1anCkn1k求证:若1≤k1相似文献   

弱群逆的扰动及其应用

1引言 设Cn,n表示n×n阶全体复矩阵的集合.记A*,R(A),N(A),rk (A),‖A‖,ρ(A)分别表示矩阵A的共轭转置,值域,核空间,秩,谱范数,谱半径.记A的指标为Ind(A)=k,其中k是满足rk(Ak+1) =rk(Ak)成立的最小非负整数.进一步,记CCMn={A | A∈Cn,n,rk(A2)=r...     

圆内接闭折线垂心的又一个新性质

从闭折线 A1A2 A3… An 的 n个顶点中 ,任意除去 2个顶点 Aj、Ak( 1≤ j相似文献   

两个和式的求法

文[1]给出了以下问题及其答案： 问题 有一个楼梯共有n级，如果规定每一步只能走1级或者2级，那么要登上第n级楼梯共有多少种不同的走法？     

二项式展开的抵消系数以及$q$-摸拟

Let {An}∞n=0 be an arbitary sequence of natural numbers. We say A(n,k;A) are the Convolution Annihilation Coefficients for {An}n∞=0 if and only if n k=0 A(n,k;A)(x - Ak)n-k = xn. (0.1) Similary, we define B(n,k;A) to be the Dot Product Annihilation Coefficients for {An}n∞=0 if and only if n k=0 B(n,k;A)(x - Ak)k = xn. (0.2) The main result of this paper is an explicit formula for B(n,k;A), which depends on both k and {An}∞n=0. This paper also discusses binomial and q-analogs of Equations (0.1) and (0.2).     

不等式研究成果集锦(17)

20 2　设 xi >0 ,i =1,2 ,… ,n,n≥ 2 ,∑ni= 1xi =1,记 Ek(x) =Ek(x1 ,x2 ,… ,xn) =∑1≤ i1 <… 0 )时 ,有Ek(1x1 - m,… ,1xn - m)≥ Ckn(n - m) k.(续铁权 .2 0 0 1,1)2 0 3　设 Ai >0 ,λk>0　 (i =1,2 ,… ,n;k = 1,2 ,… ,n) ,∑ni=1Ai ≤π,n∈ N.(1)若 0≤λ≤ 1,有C2n(1-λ21 λ2 ) 2 (λπ) 2 ≤ (n - 1 cosλπ) .∑nk= 1cos2 λAk - cosλπ(∑ni=1cosλAi) 2 ≤ C2n(λπ) 2 ,等号同时成立当且仅当λ=0 .(2 )若 0≤λ≤ 1,有4λ2 C2ncos2 λ2 π≤ (n - 1 cosλ…     

“二项式定理”有哪些常见的题型

1　“二项式定理”常见的题型1)求指数n ;2 )求二项式两项中的某一项 (或相关部分 ) ;3)求二项展开式的某一项 ;4 )求二项展开式的某些项的系数和 ;5 )求n个二项式的和、差、积的某项 ;6 )三项式问题 .2　例题研究例 1　 x +14(x - 1) 5的展开式中 ,x4的系数为 (　　 )(A) - 4 0 .　　 (B) 10 .　　 (C) 4 0 .　　 (D) 4 5 .解　展开式的通项为　Cr4x4-r2 Ck5x5-k(- 1) k=(- 1) kCr4Ck5x14 -r -2k2 (0≤r≤ 4 ,0≤k≤ 5 ) .令14 -r - 2k2 =4 ,得 2k +r=6 .∴ r =0 ,k =3,或 r=2 ,k =2 ,或 r=4 ,k=1.∴x4的系数为 -C04C3 5+C24C25-C44C…     

关于算子迹的Bellman不等式

本文将矩阵中关于半正定 Hermite矩阵的 Bellman不等tr(AB) k tr(Ak Bk) ,k =1 ,2 ,…推广到 Hilbert空间 ,得到关于正的迹算子的相应不等式     

杨辉三角与棋盘形街道走法

近期有学生问到以下问题:问题图1与图2分别是某市棋盘形街道,从A到B处的最短走法种数分别是多少?图1图2分析图1中,从A到B,最短路程的每一种走法应是5段横向、4段纵向共9段;若9段中5段横向确定,那么4段纵向也随之确定,即对应从A到B的一种走法,故共有C95=126种最短走法.图2中的街     

也谈“广义吉祥数”的计数问题

文[1]将自然数a的吉祥数意义推广为:如果a的各位数字之和等于m(m∈N ),那么称a为“广义吉祥数”,进而就所有不超过n 1位的各位数字之和为m的“广义吉祥数”的个数(记作A(n 1,m))的计数问题,给出如下4个定理:定理1当1≤m≤9,m∈Z,n≥0,n∈Z时,A(n 1,m)=Cnn m.定理2当10≤n≤19,m∈Z,n≥0,n∈Z时,A(n 1,m)=Cnn m-(n 1)Cnn m-10.定理3当9|m且0≤n<9m-1或9m且0≤n<[9m](m≥1,n∈Z,n≥0,n∈Z)时,A(n 1,m)=0.定理4当9|m且n≥9m-1或9m且n≥[9m](m≥1,m∈Z,n≥0,m∈Z)时,A(n 1,m)=∑[1m0]i=0(-1)iCni 1Cnn m-10i.本文也给出并证明该问题的一…     

一个问题的解决

文[1]提出了如下问题[1]:设正n边形A1A2…An的边长为1,记kn=1n-1∑nj=2A1Aj,容易算出k3=1,k4=2 33≈1.134,k6=4 53≈1.146,数列{kn}是否有界,有极限?本文给出否定的答案,并提出改进.问题解决的关键,在于将和∑nj=2A1Aj表为n的函数,而这恰是一个已解决的三角函数求和的问题.解设