四元数自共轭矩阵特征值的不等式

本文证明了四元数矩阵特征值的几个重要的不等式,推广了文［１］、［２］的结果．     

四元数自共轭矩阵乘积的特征值不等式

由于四元数对乘法无交换律,因而对四元数自共轭矩阵的特征值问题的讨论比复数矩阵的相应问题要困难得多,文[1]、[2]分别对四元数自共轭矩阵的特征值和两个四元数自共轭矩阵乘积的特征进行了估计,做了一定的工作,但与复数域上的有关结果相比较,还有较大差距.本文对四元数自共轭矩阵乘积的特征值进行了探讨.得到了较好的结论,推广了[1]、[2]中的结果。     

一对四元数矩阵方程的共轭延拓解

定义广义四元数共轭延拓矩阵的概念,利用矩阵分块和四元数矩阵的实表示方法,分别给出四元数矩阵方程AX=C和XB=D存在列共轭延拓解和行共轭延拓解的必要充分条件及解的表达式.     

正定自共轭四元数矩阵的均值

本文引进了两个正定自共轭四元数矩阵的算术均值，几何均值，调和均值三概念，给出了正定自共轭四元数矩阵的算术－几何－调和均值不等式，得到了正定自共轭四元数矩阵的几何均值的一个最大性质及其相关的某些性质．     

自共轭四元数矩阵特征值的极值原理

本文将Ｈｅｒｍｉｔｅ算子特征值的两个一般的极值原理推广到自共轭四元数矩阵，并给出了几个推论，同时也去掉了子空间的包含条件     

自共轭四元数循环矩阵的特征值问题

循环矩阵是一类应用广泛的特殊矩阵.设A是一个自共轭四元数循环矩阵,运用四元数矩阵的复表示,以及循环矩阵的特定结构形式,得到了矩阵A的特征值的计算公式.反之,对于任意给定的n个实数,证明了一定存在自共轭四元数循环矩阵A,使得A以这n个实数为它的特征值,同时给出了自共轭四元数循环矩阵A的计算方法.推广了复循环矩阵的相关理论结果.     

半正定自共轭四元数矩阵广义逆的单调性问题

对于四元数矩阵的Ｌｏｗｎｅｒ偏序，设０≤Ｂ≤Ａ．本文利用（ｎ，≥）中矩阵的同时合同化简，给出了Ｂ｛１；≥；ｓ；≥Ａ（１）｝的表式，以及下面三个单调性结论的特征刻划：ｉ）Ｂ（１）∈Ｂ｛１；＊｝，Ａ｛１；＊；≤Ｂ（１）｝≠；０；ｉｉ）０≤Ｂ（１，２）≤Ｂ（１，２）≤Ａ（１，２）；ｉｉｉ）Ａ（１，２）∈Ａ｛１，２；≥｝，Ｂ｛１，２；≥；≤Ａ（１，２）｝只含一个元素．     

四元数自共轭矩阵乘积的相似变换

本文证明了下列结果:(i)四元数矩阵A可写成两个自共轭四元数矩阵的乘积A相似于实矩阵A Hermite相似于A~*.(ii)A可写成一个半正定自共轭四元数矩阵与一个自共轭四元数矩阵的乘积A相似于实对角矩阵或者A～diag(D,I_r(×)J_2(O)),其中D是一个实对角矩阵.本文还给出了体上实矩阵AB与BA相似的一个充要条件.     

四元数体上共轭辛矩阵的结构及应用

把实数域上的辛矩阵概念推广到四元数体上形成共轭辛矩阵类.用矩阵四分块形式刻划了正定辛矩阵和自共轭辛矩阵的特征结构.作为应用,给出四元数矩阵方程AS=B存在四分块对角型共轭辛矩阵解的充要条件及其解的表达式,同时用数值算例说明所给方法的可行性.     

自共轭四元数矩阵广义逆A{i,…，j;＊}的Loewner偏序

本文利用自共轭四元数矩阵广义逆的显公式，给出了在Loewner偏序下A{1；*；s；≤Aκ^(1),A{1;*;t;≥Aκ^(1)}（其中A∈H（n，*））；A{2；≥；t；≥Aκ^(2)},A{2;≥;s;≤Aκ^(2)},A{1;≥；t；≥As^(2)}（其中A∈H（n，≥））的表式。     

四元矩阵方程AXB＝D的Hermite解

本给出了四元矩阵方程AXB＝D有Hermite解的充要条件，利用A，B，D及它的Moore-penrose逆的一般Hermite解表示。     

矩阵方程的通解及其结构

本文导出了齐次矩阵方程的基础解阵形式通解 ,还得出了非齐次矩阵方程具有广义逆矩阵形式通解的一个充分必要条件 .     

一四元数矩阵方程组的广义(反)反射解

该文给出了四元数矩阵方程组X_1B_1=C_1,X_2B_2=C2,A_1X_1B_3+A_2X_2B_4=C_b可解的充要条件及其通解的表达式,利用此结果建立了四元数矩阵方程组XB_a=C_a,A_bXB_b=C_b有广义(反)反射解的充要条件及其有此种解时通解的表达式.     

The Real Solutions to a System of Quaternion Matrix Equations with Applications

In this article we establish necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions of the general real solutions to the classical system of quaternion matrix equations A ₁ XB ₁ = C ₁, A ₂ XB ₂ = C ₂. Moreover, formulas of the maximal and minimal ranks of four real matrices X ₁, X ₂, X ₃, and X ₄ in solution X = X ₁ + X ₂ i + X ₃ j + X ₄ k to the system mentioned above are derived. As applications, we give necessary and sufficient conditions for the quaternion matrix equations A ₁ XB ₁ = C ₁, A ₂ XB ₂ = C ₂, A ₃ XB ₃ = C ₃ to have common real solutions. In addition, the maximal and minimal ranks of four real matrices E, F, G, and H in the common generalized inverse of A ₁ + B ₁ i + C ₁ j + D ₁ k and A ₂ + B ₂ i + C ₂ j + D ₂ k, which can be expressed as E + Fi + Gj + Hk are also presented.     

The Metapositive Definite Self－Conjugate Solution of the Matrix Equation AXB＝C over a Skew Field

ＴｈｅＭｅｔａｐｏｓｉｔｉｖｅＤｅｆｉｎｉｔｅＳｅｌｆ－ＣｏｎｊｕｇａｔｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＭａｔｒｉｘＥｑｕａｔｉｏｎＡＸＢ＝Ｃｏｖｅｒ　ａ　Ｓｋｅｗ　ＦｉｅｌｄＷａｎｇＱｉｎｇｗｅｎ（王卿文）（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈ．，Ｃｈａｎ...     

Moore-Penrose Inverse of a Gram Matrix and Its Nonnegativity

Let M=[A  a] be a matrix of order m×n, where A∈ℝ ^m×(n−1) and a∈ℝ ^m is an m×1 vector. In this article, we derive a formula for the Moore-Penrose inverse of M ^* M and obtain sufficient conditions for its nonnegativity. The results presented here generalize the ones known earlier. The authors thank the anonymous referee for suggestions on an earlier version that have resulted in an improved presentation.     

Moore-Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解

线性方程组的逆矩阵求解方法只使用于系数矩阵为可逆方阵,对于一般线性方程组可以应用Moore-Penrose广义逆矩阵来研究并表示其通解,本文主要探讨Moore-Penrose广义逆矩阵及一般线性方程组通解和最小范数解.     

行块矩阵M-P逆的充要条件

通过使用矩阵秩方法,证明了如下结果:[A,B]+=[αA+βB+]βAA*αBB*.[A,B][A,B]+=αAA++βBB+R(A)=R(B).这里,α+β=1,α>0,β>0.这两个结果是2007年田永革在国际线性代数学会会刊中获得的相应结果的推广.