数学问题解答

1706在△ABC中，AB—AC，∠ABC的平分线交AC于D，且BC=AD-BD，求∠A． （沈阳市于洪区黑山路10—19甲222号孙哲110034） 解 在AD上取一点E，使AE=BD，由BC=AD-BD． 得ED=BC 作EF//BC，连DF，作∠GBC=∠A，则BG=BC     

一道高考试题的源与流

我们先看2007年江西卷第15题：如图1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB^→，AC^→=n，则m＋n的值为____．     

一个新发现的点——牛顿线段的中点

在△ABC中,O,G,H分别是它的外心、重心、垂心,O,G,H三点共线,此线是著名科学家牛顿首先发现的,故被命名为牛顿线,其中线段OH称为牛顿线段,对于牛顿线段有OG∶GH=1∶2;如果分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,如图,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,我们得到如下定理定理在△ABC中,分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,三条直线CD′,AD″,BD共点,设此点O′,称点O′为△ABC的边对称外心;此点是牛顿线的中点,且有OG∶GO′∶O′H=2∶1…     

两个三角形重心相同的充要条件

在△ABC中，A1，B1，C1分别是直线BC，CA，AB上的点，且满足： AC1^→=λC1B^→,BA1^→=μA1C^→,CB1^→=tB1A^→,其中λ，μ，t均不为-1.     

三角形中的一个共点性质

本文给出三角形中的一个共点性质,并兼证三角形重心的一个向量性质与三角形内心的一个向量性质． 性质 点M是△ABC内一点,直线BM交边AC于点E,直线CM交边AB于点F,过点M的直线分别交AB、AC于点P、Q,AF^→=mAB,AE^→=nAC^→,AP^→=xAB^→,AQ^→=yAC^→,则1-m/my＋1-n/nx=1-mn/mn.     

争鸣

问题问题215这道题是题目错了还是参考答案错了题目从5名男生、1名女生中,随机抽取3人,检查他们的英语口语水平,在整个抽样过程中若这名女生第一次、第二次均未被抽到,那么她第三次被抽到的概率是多少?这道题目的参考答     

争鸣

问　题问题 39　 在概率论中 ,试判断下面两个命题的真假 :命题 1　若事件A ,B互斥 ,则A ,B不独立 .命题 2　若事件A ,B独立 ,则A ,B不互斥 .观点 1　命题 1,命题 2均是真命题 .其理由如下 :因为事件A ,B互斥 ,所以事件A发生则B必定不会发生 ;或者事件B发生则A必定不会发生 ,这表明事件A与B之间存在相依关系 .因此 ,事件A ,B不独立 .由于命题 2恰好是命题 1的逆否命题 ,而命题 1是真命题 ,所以 ,命题 2也是真命题 .观点 2　命题 1是真命题 ,命题 2是假命题 .命题 1的正确性其理由与观点 1相同 ,命题 2的否定请看如下反例 :设事件A是…     

争鸣

问题　　 问题 4 5　 在实数范围内解不等式x2 <0 ,我们通常就将答案写成原不等式无实数解或原不等式的解集为 .但在实际教学中 ,我们发现学生解题答案中出现了x∈ 的形式 ,针对x∈ 这种形式表述是否正确 ,有两种观点 :观点 1　认为可以表述为x∈ 这种形式 ,因为∈是表示元素和集合之间的关系 ,而对于一个元素和一个集合 ,这个元素要么在这个集合内 ,要么不在这个集合内 ,二者必居其一 ,因此x∈ 的形式就说明x“在” 中 ,而根据 的意义 ,又没有这样的实数x存在 ,故x∈ 此时表示x不存在 ,从相应的不等式解来看 ,就说明原不等式无实数…     

争鸣

问题　　 问题 85　1　人教版数学 (必修 )第二册 (上 )的P72 的习题 7.5的第 7题 :求与点O( 0 ,0 )与A(c,0 )的距离的平方差为常数c的点的轨迹方程 .在其配套的人教版数学 (必修 )第二册 (上 )教师教学用书的P50 给出了答案 :当c≠ 0时 ,轨迹方程为x =c± 12 ;当c=0时 ,轨迹为整个坐标平面 .显然 ,在本题中 ,若设动点为M ,答案的意思就是 :当c≠ 0时 ,|MO| 2 - |MA| 2 =c或 |MA| 2 - |MO| 2 =c,即认为点O ,点A无先后顺序之分 .2　人教版数学 (必修 )第二册 (上 )的P78的例5 :已知一曲线是与两个定点O( 0 ,0 ) ,A( 3,0 )距离的比为 …     

争鸣

问题　　 问题 81 　笔者在教学中 ,遇到了这样一个问题 ,同学们给出了两种不同的解法 ,都认为自己的解法有道理 .然后我们几个老师在一起讨论 ,也有所分岐 .题目　已知外接圆半径为 6的△ABC的边长为a ,b ,c,角B ,C和面积S满足条件 :S =a2 - (b-c) 2 和sinB +sinC =43.1)求sinA ;2 )求△ABC面积的最大值 .解法 1　 1)S =a2 - (b -c) 2 =a2 -b2 -c2 +2bc =- 2bccosA +2bc .又S =12 bcsinA ,所以 - 2bccosA +2bc =12 bcsinA ,　　 4 -sinA =4cosA ,　　sinA =817或sinA =0 (舍去 ) .2 )因为sinB +sinC =43,且外接圆的半径为6 ,所以…     

争鸣

问题 6　 某教师在讲授“ａ ,ｂ全为0”的否定时 ,采用如下方式进行 .“ａ ,ｂ全为 0” ,即是ａ =0且ｂ =0 .我们把ａ =0且ｂ =0记作一个命题 ｐ ,只有当ａ =0且ｂ =0时命题 ｐ才是真命题 ,其它情况都是假命题 ,它们都属于非 ｐ .非 ｐ包含三种情况 :①ａ =0且ｂ≠ 0 ;②ａ≠ 0且ｂ =0 ;③ａ≠ 0且ｂ≠ 0 ,这三种情况概括为 :ａ ,ｂ中至少有一个不等于 0 ,即ａ ,ｂ不全为 0 ,因此“ａ ,ｂ全为 0”的否定 (即非ｐ)应该是“ａ ,ｂ不全为 0” .上述讲授方式是否科学 ?问题 7　 下面的陈述是否恰当 :“或”命题是两个命题至少有一个存在的复合命…     

争鸣

问题　　 问题 6 9　已知函数 y =f(x) 的对称轴为x =b ,求 y=f(kx +c) (k≠ 0 )的对称轴方程 .解　因为 f(kx +c) =f(k(x + ck) ) ,所以 y=f(kx +c)的图象是由 y =f(x) 的图象先实施平移变换 ,再实施伸缩变换而得到 .x =b进行相应的平移变换后得x =b - ck ,再将x =b - ck 进行相应的伸缩变换后得x =b- ckk .即x =kb-ck2为 y =f(kx +c)的对称轴 .上述解法对吗 ?若不对请说明产生错误的原因 .(本刊编辑部根据来稿摘登 )　　问题 70 　在人教版数学第一册 (必修 )的三角函数一章中 :正切函数 y =tanx的单调递增区间表示为 (kπ - π2 ,kπ + …     

争鸣

问题　　 问题 72 　两名战士在一次射击比赛中 ,战士甲得 1分、2分、3分的概率分别为 0 .4 ,0 .1,0 .5 ;战士乙得 1分、2分、3分的概率分别为 0 .1,0 .6 ,0 .3,那么两名战士得胜希望大的是 .解 1　甲的期望Eξ1=1× 0 .4 + 2× 0 .3+ 3× 0 .5=2 .5 ,乙的期望Eξ2 =1× 0 .2 + 2× 0 .6 + 3× 0 .3=2 .2 ,所以甲胜的希望大 .解 2　记事件A ,B ,C分别为在这次射击比赛中 ,“甲胜”、“乙胜”、“甲乙得分相等” ,事件A1,A2 ,A3 分别为“甲得 2分 ,乙得 1分”、“甲得 3分 ,乙得 1分”、“甲得 3分 ,乙得 2分” ,显然P(A) =P(A1) +P(A2…     

争鸣

本刊自2002年开办“争鸣”栏目以来，得到了广大读者的热情支持，提出了不少好的问题，本刊表示衷心感谢!为了进一步办好“争鸣”栏目，繁荣教学研究的大好局面，尽量避免在一些具体问题上因自然语言方面的歧义而导致的争论不清，本刊除了希望广大读者继续大力支持本刊，提供有关教学上的具体问题之外，还特别希望就一些大的方面也提出自己的问题，开展百家争鸣，如教学思想、理念、观点，对新课标、新教材、素质教育与高考等的不同意见，通过探讨，各抒己见，防止一种倾向掩盖另一种倾向，推动新一轮课改健康、深入地开展．     

争鸣

问题174 一个关于函数方程的问题的两种解答之疑．