A weak duality theorem for stochastic linear programming

Summary A linear programming problem is said to be stochastic if one or more of the coefficients in the objective function or the system of constraints or resource availabilities is known only by its probability distribution. A distinction is usually made between two related approaches to stochastic linear programming, the active and passive approach respectively. An extension of the duality theorem of non-stochastic or deterministic programming problem has been attempted in this paper in the area of stochastic linear programming in its two approaches. The method of proof is based on the idea that since the parameter space defined by a stochastic linear programme is the topological product of the real line with itself, it forms a first countable topological space. Using a set of distinct and selected points in the parameter space the concepts of feasibility, optimality and duality are extended to stochastic linear programming problems of arbitrary dimensionality. Based on the non-singular regions of the parameter space of a stochastic linear programming problem the theorem utilizes the conditions of convergence of the sequence of distinct and selected points in the parameter space to a limit point and thereby generalizes the duality theorem in the stochastic case. Furthermore it is shown that the regions of feasibility of the active and passive approaches of stochastic linear programming may be different, so that on this basis it may be possible to establish some inequality relations for the optimal solutions defined for the respective feasible regions.

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Zusammenfassung Ein lineares Programmproblem wird stochastisch genannt, wenn ein oder mehrere Koeffizienten der Zielfunktion oder des Systems der Beschränkungen oder der verfügbaren Ressourcen nur durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt sind. Gewöhnlich wird zwischen zwei verwandten Verfahren für das stochastische lineare Programmieren unterschieden, dem aktiven und dem passiven Verfahren.In der vorliegenden Arbeit wird versucht, das für nichtstochastische oder deterministische Programmprobleme gültige Dualitätstheorem unter Berücksichtigung beider Verfahrensweisen auf den Bereich des stochastischen linearen Programmierens auszudehnen. Der Beweis gründet sich auf den Gedanken, daß der Parameterraum einen abzählbaren topologischen Raum bildet, da er — durch ein stochastisches lineares Programm definiert — das topologische Produkt der reellen Achse mit sich selbst ist. Unter Benutzung einer Menge von verschiedenen und ausgewählten Punkten im Parameterraum werden die Begriffe der Zulässigkeit, der Optimalität und der Dualität auf stochastische lineare Programmprobleme beliebiger Dimension ausgedehnt. Auf der Grundlage nichtsingulärer Bereiche des Parameterraumes eines stochastischen linearen Programmproblems benutzt das Theorem die Bedingungen für die Konvergenz einer Folge verschiedener und ausgewählter Punkte des Parameterraumes nach einem Grenzpunkt und verallmeinert damit das Dualitätstheorem für den stochastischen Fall. Weiter wird gezeigt, daß die Zulässigkeitsbereiche der aktiven und passiven Verfahren des stochastischen linearen Programmierens verschieden sein können, so daß es möglich sein kann, gewisse Ungleichungen für die optimalen Lösungen aufzustellen, die für die entsprechenden zulässigen Bereiche definiert sind.

     

Lagerhaltung bei Preiserhöhung

Zusammenfassung In dem dargestellten Modell zur Bestimmung optimaler Losgrößen bei Preiserhöhung sind die Bedingungen des klassischen Losgrößensystems derart geändert, daß nach einer Ankündigungszeit der Einkaufspreis um einen bestimmten Betrag erhöht wird. Sowohl für den Fall unendlich kleiner als auch für den Fall endlicher Ankündigungszeit werden aus den zulässigen Strategien die potentiell optimalen ausgewählt und durch Vergleich der individuellen Optima dieser Strategien die optimalen Bestellmengen ermittelt. Es zeigt sich, daß in allen Fällen, in denen es optimal ist, eine Zusatzbestellung durchzuführen — dies hängt ab von der Länge der Ankündigungszeit und dem Lagerbestand zum Zeitpunkt der Ankündigung -, das Lager stets auf das gleiche Niveau aufgefüllt wird.

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Summary In the following model for the determination of optimal lot-sizes at an increase of purchasing price the conditions of the classical lot-size system are modified in such a way that the purchasing price will be increased by a given amount after a previous announcement. Both in the case of an infinitely small and in the case of a finite time of announcement the potential optimal strategies are selected from the set of feasible strategies; the optimal lot-sizes are found by comparing the individual optimal solutions of these strategies. It can be seen that in all cases in which it is optimal to order an additional amount — the order depending on the time of announcement and the amount of inventory at the time of announcement — the inventory is raised to the same order level.

     

Verkehrsplanung einer Großstadt

Zusammenfassung Die im voranstehenden dargelegte Methode setzt sich das Ziel, mit naturwissenschaftlichen Methoden quantitative Aussagen bei der Analyse und Prognose des Verkehrs einer Großstadt zu machen. Sie erhebt zwar weder den Anspruch, sämtliche Verkehrsprobleme zu lösen, noch soll behauptet werden, daß es sich dabei um das einzig mögliche Verfahren handelt. Die geschilderte Methode besitzt aber den Vorteil, daß sie in der Praxis bereits mit geringen Kosten zu brauchbaren Ergebnissen geführt hat.Alle Entwicklungen auf diesem Gebiet stehen jeden Interessenten grundsätzlich zur Verfügung, nur legt das Mathematische Labor, das in Zusammenarbeit mit allen zuständigen Stellen der Wiener Verkehrsplanung die Entwicklungsarbeiten durchgeführt hat, Wert darauf, als Sammelpunkt der Erfahrungen bei der Durchführung an anderen Orten zu fungieren. In einem Fall wurde von einer deutschen Stelle bereits konkreter Gebrauch von der dargelegten Möglichkeit gemacht. Das lebhafte Interesse nationaler und internationaler Instanzen für die Wiener Bearbeitung läßt hoffen, daß sich die Städteplaner in steigendem Maße bei ihren immer schwierigeren Aufgaben naturwissenschaftlicher Hilfsmittel bedienen werden.     

A time-dependent method for the solution of one-dimensional radiating flow

Zusammenfassung In dieser Arbeit lösen wir die eindimensionale Gasströmungsgleichung einschliesslich des Effektes der Strahlungsübergänge für zähe und für reibungsfreie Fälle. Der Charakter der Hauptgleichung wird bestimmt und man findet, dass in Gegenwart von Strahlungsprozessen der zähe Fall zu parabolischen Charakteristiken führt. Die Stabilität des numerischen Schemas wird untersucht und ein Grenzkriterium für den Fall starker Strahlung wird bestimmt. Im Einklang mit diesem Kriterium wird gefunden, dass im Falle starker Stösse und starker Strahlung die Rechnungen sehr langwierig werden.

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This research was conducted under the soponsorship of the Office of Naval Research, under Contract No. Nonr 839(34), Project No. NR 061-135.     

Über ein Bewertungskriterium zur Systemoptimierung von Forschungssatelliten

Zusammenfassung Unter Benutzung des vonShannon definierten Begriffs der Information wird zunächst eine Ertragsfunktion aufgestellt, die in Abhängigkeit von der Datenrate bei Datenspeicherung und -übertragung den Vollständigkeitsgrad der über die einzelnen Meßkanäle eines Satelliten gewonnenen Information bemißt. Ausgehend von den Ertragsfunktionen der einzelnen Meßkanäle wird sodann mit Hilfe des Verfahrens derLagrange-Multiplikatoren die insgesamt verfügbare Datenrate so aufgeteilt, daß unter Erfüllung der von der Auslegung der Datenrahmen her gegebenen Beschränkungen die Summe der Erträge aus allen Meßkanälen ein Maximum wird. Über eine Variation der Datenrate und deren Verknüpfung mit den Entwurfsparametern wird eine systemparameterabhängige Ertragsfunktion des Satelliten gewonnen.

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Summary Based uponShannon's concept of Information, a pay-off function is derived which measures the relative degree of information to be obtained from the individual data channels of a research satellite as a function of the rate of data storage and transmission. By means of theLagrange- Multiplier method, the available data rate is allocated to the various data channels in such a manner that the information return from all data channels becomes a maximum under the constraints imposed by the design of the data frame. A variation of the data rate and its correlation to design parameters permits to arrive at a design parameter dependent pay-off function of the satellite.

     

A theory of hail growth based on studies of alberta storms

Zusammenfassung Radarstudien von Hagelstürmen in Alberta gestatten wichtige Hinweise zu einer Theorie des Hagels. Schwere Stürme sind oft von langer Dauer und ergeben oftmals Hagelfälle, die stundenweise ohne Unterbrechung andauern. Wir schliessen daraus, dass auch der Bildungsmechanismus anhaltender Natur sein muss. In manchen Fällen bildet sich Hagel innerhalb von 20 Minuten vom Zeitpunkt des ersten Erscheinens eines Radarechos; das zeigt ein sehr schnelles Wachstum an, das unserer Meinung nach eine sehr wasserreiche Umgebung erfordert, die wir auf im Aufwind gespeicherten Regen zurückführen.Im vorliegenden Aufsatz beschreiben wir das Wachstum von Hagelteilchen auf Grund dieser Gedanken. Andere Gesichtspunkte, die wir hierbei mit einbeziehen, basieren auf Messungen in europäischen Windkanälen und auf Studien der stochastischen Natur des Gefrierens unterkühlter Wassertropfen. Es ergibt sich, dass alles Hagelwachstum in Alberta zwischen 3 und 7 km Höhe stattfindet, dass es einen Aufwind in der Stärke von ungefähr 15 m sec^–1 erfordert und dass der Gesamtwassergehalt zwischen 10 und 30 gm^–3 liegen muss. Unter solchen Umständen können sich Hagelkörner zu einem Durchmesser von 5 cm innerhalb von 20 Minuten in einer einzigen Auf- und Abwärtstrajektorie entwickeln.

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This work and the field program whose data it utilizes were supported directly or indirectly by the following agencies: The Canadian Meteorological Service, The Research Council of Alberta, The Canadian National Research Council and The Geophysical Research Directorate of the U.S. Air Force Cambridge Research Center.     

Zum Problem des optimalen Wertpapierbudgets

Zusammenfassung Es werden verschiedene Aspekte des Portfolio-Problems diskutiert. Zunächst werden die Ansätze vonMarkowitz undBaumol gegenübergestellt und deren Konsequenzen für den Entscheidenden abgeleitet. Dann wird der Fall diskutiert, daß die eigene Nachfrage die Preise der Anlagemöglichkeiten und damit die Ertragserwartungen des eingesetzten Kapitals beeinflußt. Dies vermag die Zielfunktion des Wertpapierauswahlproblems zu ändern. Drittens wird eine Lösung für den Fall gesucht, in dem dem Entscheidenden nur der Kauf einer ganzen Zahl von Anlagen jeder Anlagemöglichkeit erlaubt ist.

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Summary The well-known portfolio-problem is discussed here in several respects. First, theMarkowitz andBaumol solutions and their different consequences for the decision-maker are discussed. Second, it is shown that one's own demand may influence prices, and consequently earnings, which may alter the solution as given byMarkowitz. Third, we discuss the consequences of allowing to buy only an integer number of pieces of every asset.

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Vorgel. v.:H. Albach.     

Die Zuverlässigkeit eines Systems mit redundanten störanfälligen Komponenten und Reparaturmöglichkeiten

Zusammenfassung Es wird die Zuverlässigkeit eines Systems mit mehreren redundanten Einheiten untersucht, bei dem nicht nur die tätige Einheit, sondern auch die Reserveeinheiten ausfallen und bei dem gestörte Einheiten repariert werden können. Es wird vorausgesetzt, daß die Reparaturzeiten und die Lebensdauern der Reserveeinheiten exponentialverteilt sind, während die Betriebsdauern der tätigen Einheiten, unabhängig von ihrem Alter beim Einsatz, beliebig verteilt sind.Unter diesen Voraussetzungen werden die mittlere Zeit bis zum Ausfall des Systems und die langfristige Verfügbarkeit des Systems explizit für den Fall dreier Einheiten bestimmt.Am Beispiel doppel-exponentialverteilter Betriebsdauern werden die Abhängigkeit dieser Größen von der Reparaturgeschwindigkeit untersucht und die optimale Reparaturrate bestimmt.

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Summary We consider the reliability of a repairable system with several stand-by redundant units, where not only the working unit but also the spares are subject to failure. We assume, that repair-times and life-times of spares are exponentially distributed, whereas the time to failure of a working unit is — independent of its age at the time of switch-on — arbitrarily distributed.Using these assumptions, we derive the expected time to system-failure and the steady-state availability explicitely for the case of three redundant units. The example of double-exponentially distributed working-times is used to examine the dependancy of these characteristics on repair-times, and to calculate the optimal repair-rate.

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Diese Arbeit wurde durch den Sonderforschungsbereich 21 — ökonometrie und Unternehmensforschung — und ein Stipendium der Alexander-von-Humboldt-Stiftung gefördert.     

Optimale Schichtung bei proportionaler Aufteilung mit Hilfe eines iterativen Analogrechners

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur Bestimmung der optimalen Schichtungspunkte bei proportionaler Aufteilung des Stichprobenumfangs für den Fall angegeben, daß stetige Verteilungen zugrunde liegen. Für zwei Anwendungsfälle, die Dreiecks- und die Normalverteilung, werden die Ergebnisse mitgeteilt. Bei Zuhilfenahme eines iterativen Analogrechners zeigt sich, daß der Hauptteil der Schaltung für alle Verteilungen derselbe ist und daß nur der Schaltteil bei Zugrundelegung einer anderen Verteilung geändert werden muß, in dem die jeweilige Verteilungsdichte erzeugt wird.

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Summary A method is given to find the optimal points of stratification when proportional allocation of the sample is used. It is assumed that the distribution function is continuous. For two examples, the triangular and the normal distribution, results are given. It is shown that by the use of an iterative analogue computer the solution can be obtained automatically, and that the essential part of the analogue instrumentation remains the same, regardless of the distribution.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

A simple model for the fast transverse discharges used in pumping high-pressure gas lasers

Zusammenfassung Für die Anregung von Hochdruck-Gaslasern werden schnelle transversale Entladungen benutzt, die eine Art quasi-stabiler Glimmentladungen darstellen. Wir schlagen ein sehr vereinfachtes Modell vor, das solche Entladungen auf Grund einer Leistungsbilanz erklärt. Die durch das angelegte elektrische Feld an das Elektronengas gelieferte Leistung muß der durch Stöße mit den Gasmolekülen verlorenen Leistung der Elektronen gleich sein. An Hand einer numerischen Berechnung zeigen wir, daß dieses Modell eine akzeptable erste Näherung darstellt, daß es aber nicht zulässig ist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Elektronenenergie anzunehmen. Der wahrscheinliche Grund dieser Glimmphase wird auch kurz besprochen, und wir können damit zeigen, warum es äußerst wichtig ist, daß die Anstiegszeit der angelegten Spannung auf einem Minimum gehalten wird.

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This work is part of a joint program between Brown, Boveri & Cie. AG and the Swiss Federal Institute of Technology.     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

On the functional equations in undiscounted and sensitive discounted stochastic games

This paper considers two-person zero-sum sequential games with finite state and action spaces. We consider the pair of functional equations (f.e.) that arises in the undiscounted infinite stage model, and show that a certain class of successive approximation schemes is guaranteed to converge to a solution pair whenever an equilibrium policy with respect to the average return per unit time criterion (AEP) exists. Existence of the latter thus implies the existence of a solution to this pair of f.e. whereas the converse implication is shown only to hold under special circumstances.In addition to this pair of f.e., a complete sequence of f.e. has to be considered when analyzing more sensitive optimality criteria that make further selections within the class of AEPs. A number of characterizations and interdependences between the existence of solutions to the f.e. and existence of stationary sensitive optimal equilibrium policies are obtained.

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Zusammenfassung Die Arbeit behandelt sequentielle Zweipersonen-Nullsummenspiele mit endlichem Zustands- und endlichem Aktionenraum. Es wird das Paar von Funktionalgleichungen für das unendlich-stufige Modell ohne Diskontierung betrachtet und gezeigt, daß eine gewisse Klasse von sukzessiven Approximationen gegen ein Lösungspaar konvergiert, wenn eine Gleichgewichtspolitik für den Fall existiert, daß als Kriterium die durchschnittliche Auszahlung pro Zeiteinheit gewählt wird. Werden empfindlichere Optimalitätskriterien betrachtet, so muß zusätzlich zu dem obigen Funktionalgleichungspaar eine ganze Folge von Funktionalgleichungen untersucht werden. Weiter werden Resultate über die Existenz von Lösungen der Funktionalgleichungen und die damit zusammenhängende Existenz stationärer optimaler Gleichgewichtspolitiken hergeleitet.

     

Optimale Allokation von Ausbildung und Berufsausübung in einem nichtlinearen Kontrollmodell

Zusammenfassung Von Weizsäcker [1966] hat in einer historisch ersten ökonomischen Anwendungen des Maximumprinzips ein lineares optimales Kontrollproblem zur Ermittlung der optimalen Ausbildungspolitik gelöst. Im vorliegenden Beitrag wird dieses Modell für den Fall nichtlinearer, zustandsabhängiger Lerneffizienzfunktionen untersucht. Aufgrund einer Sattelpunktsanalyse erkennt man, daß die optimale Ausbildungsintensität monoton abnimmt und daß — im Gegensatz zum linearen Fall — lebenslanges Lernen optimal ist. Der Ausbildungsstand steigt zunächst bis zu einem maximalen Wert, um danach monoton abzunehmen.

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Summary In one of the earliest economic applications of the maximum principlevon Weizsäcker [1966] has solved a linear control problem for the analysis of the optimal training policy. The present paper investigates this model for the case of nonlinear, state-dependent efficiency functions. From a saddle-point analysis we conclude that the optimal training rate decreases monotonically and that, contrary to the linear case, lifelong training is optimal. Firstly, the skill level increases to a maximal value and decreases thereafter monotonically.

     

Über eine optimale Feedback-Kontrolle unter der Verwendung von ARMA-Modellen

Zusammenfassung Es wird ein dynamisches System betrachtet, dessen Ausgang sich additiv aus einer Kontroll- und einer Störgröße ergibt. Kontroll- und Störgröße entstehen dabei selbst als Ausgänge von ARMA-Filtern, deren Eingänge die Steuerung des Systems bzw. weißes Rauschen sind. Es sind dabei Kosten zu minimieren, die durch die Abweichung des Systemausgangs von einer Zielgröße bzw. durch die Steuerung des Systems entstehen. Die Fragestellung führt auf ein dynamisches Optimierungsproblem, das mit dem Verfahren der rückschreitenden Induktion gelöst wird. In einigen speziellen Fällen kann man auch explizite Formeln für die Berechnung der optimalen Systemsteuerung angeben.

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Summary The aim of this paper is the solution of a feedback control problem. We concern a dynamic system whose output is the sum of the outputs of two ARMA-filters. The inputs of these filters are the control of the system and white noise respectively. We have to minimize costs arising from the deviation of the system-output from a fixed target and by the control of the system. This leads to a problem of dynamic optimization, which is solved by the method of backward induction. In some special cases the computation of optimal system controls is possible by means of explicit formulas.

     

Multiterminal network flows and applications

The paper discusses the ways to use the condensation technique of Gomory/Hu in the case of non-symmetric networks. Sufficient conditions to get the value of a maximal flow as row resp. column sum of the capacity matrix are derived. Procedures to determine the cut with minimal capacity are developed and applications of the minimal cut technique to problems of optimal sequencing are given.

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Zusammenfassung Das Papier diskutiert die Möglichkeiten, die Kondensationstechnik von Gomory/Hu auf den Fall unsymmetrischer Netzwerke zu übertragen. Es werden hinreichende Bedingungen dafür abgeleitet, daß der Wert eines maximalen Flusses mit der Zeilenbzw. Spaltensumme der Kapazitätsmatrix übereinstimmt. Es werden Verfahren entwickelt, den Schnitt minimaler Kapazität zu bestimmen. Anwendungen der minimalen Schnitt-Technik auf Probleme der optimalen Reihenfolge werden vorgestellt.

     

(s,S, U) Lagerpolitik im dynamischen endlichstufigen Problem

Zusammenfassung In Lagerhaltungsmodellen vomArrow-Harris-Marschak Typ wird der gesamte Bedarf über ein Lager ausgeliefert. Wir weichen von dieser Bedingung ab und unterscheiden zwischen Klein- und Großbedarfsmengen. Kleinbedarfsmengen gelangen ab Lager zur Auslieferung, während Großbedarf direkt ab Produktion geliefert wird. Die optimale Entscheidungsregel für dieses Modell ist eine (s, S, U) Politik, wobeiU den optimalen Parameter zur Trennung von Klein- und Großbedarf bezeichnet unds undS die optimalen Parameter für das Lagersystem des Kleinbedarfs darstellen.

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Summary In inventory models of theArrow-Harris-Marschak Type all the demand is delivered from stock. We deviate from this condition and make a difference between small-scale demand and large-scale demand. Small-scale demand is delivered from stock and large-scale demand is delivered directly from production. The optimal decision rule for this model is a (s, S, U) policy, whereU is the optimal parameter to separate large-scale and small-scale demand, ands andS are the optimal parameters of the inventory system for small-scale demand.

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Das zu behandelnde Problem der optimalen Trennung von Groß- und Kleinbedarf in einem dynamischen Modell der Lagerplanung wurde dem Verfasser von Herrn Dipl.-Math.Klaus Wenke bei der Badischen Anilin- und Soda-Fabrik in Ludwigshafen/Rh. gestellt, wo unter sehr allgemeinen Bedingungen eine Untersuchung mit Hilfe der Simulationstechnik auf einer elektronischen Rechenanlage IBM 704 durchgeführt wurde. Herr Professor Dr.H. P. Künzi von der Universität Zürich gab die Anregung zu einer analytischen Lösung des Problems, und dank einer Unterstützung durch den Schweizerischen Nationalfonds wurde die vorliegende Untersuchung ermöglicht, die unter verhältnismäßig milden Restriktionen einen Weg zur analytischen Bestimmung optimaler Lösungen zeigt.Herrn Professor Dr.David Blackwell von der University of Berkeley sowie den Herren Dr.Peter Kall und Dr.Dietmar Onigkeit von der Universität Zürich dankt der Verfasser sehr für wertvolle Hinweise.Fortsetzung folgt als Teil II. — Vorgel. v.:H. P. Künzi.     

Comments on extended pressure-strain correlation models

The importance of including additional terms for rapid distortion and return to isotropy in the modeling of the pressure-strain correlation in turbulent shear flows under the influence of external body forces is examined. Simplications of the Reynolds-stress equations are made by invoking the two-dimensional boundary layer approximations and assuming that production of turbulence energy balances viscous dissipation. Results indicate that for small external body forces a Monin-Oboukhov formula for the mixing-length is again obtained. However, the effects of the additional rapid distortion and return to isotropy terms on the formula are negligible when compared with the use of the simple return to isotropy term proposed by Rotta. In view of this, significant improvement on mixing-length closure models could not be obtained by refining the simple Rotta model for the pressure-strain correlation.

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Zusammenfassung Die Wichtigkeit des Einschlusses zusätzlicher Ausdrücke zur Berücksichtigung schneller Formänderung und Rückkehr in den isotropischen Zustand beim Aufstellen des mathematischen Druck-Formänderungskorrelationsmodelles in turbulenten Strömungen mit Scherspannung unter Einfluß äußerer Körperkräfte wird untersucht. Vereinfachungen der Reynolds-Spannung unter werden durch die Anwendung der zweidimensionalen Grenzschichtnäherungen und auch durch die Annahme, daß die Erzeugung turbulenter Energie die viskose Dissipation ausgleicht, erreicht. Ergebnisse haben gezeigt, daß man für kleine äußere Körperkräfte wieder eine Monin-Oboukhov-Gleichung für die Mischstreckenlänge erhält. Der Einfluß der zusätzlichen schnellen Formänderung und der Rückkehr in den isotropen Zustand auf die Gleichung ist jedoch vernachlässigbar, wenn man ihn mit dem von Rotta vorgeschlagenen Ausdruck zur Berücksichtigung der Rückkehr in den isotropen Zustand vergleicht. Aus diesem Grunde war es nicht möglich, eine bedeutende Verbesserung von Modellen für Mischstreckenlängen durch Verfeinerung des einfachen Rotta-Modelles für die Druck-Formänderungskorrelation zu erreichen.

     

Planung der geringsten Kosten täglicher lokaler Lieferungen. Ein Beispiel für die Anwendung der Dynamischen Planung

Zusammenfassung Die Planung der täglichen Lieferung von Waren vom Erzeuger zum Verbraucher unter Benützung von Transportunternehmen und des firmeneigenen Lastwagenparkes stellt ein ziemlich schwieriges alltägliches Entscheidungsproblem dar, da die Variablen der Zuweisung diskret und normalerweise zahlreich sind. Bei verschieden großen Lastwagenparks ist im Hinblick auf die geringsten Gesamt-Lieferkosten nicht unbedingt jene Zuteilung von Lieferaufträgen die günstigste, bei welcher die eigenen Lastwagen täglich voll ausgelastet werden, und die von Tag zu Tag anzusetzenden Lieferungen können hinsichtlich ihrer Art und Anzahl stark variieren.Ein solches Planungsproblem wurde im Detail studiert. Die vorliegende Unterlage enthält die Ergebnisse dieser Untersuchung.Mit Hilfe von Rekursionsmethoden (Dynamische Planung) und unter genauer Berücksichtigung der speziellen Eigenschaften der betreffenden Kostenfunktion kann man eine einfache Regel für die Wahl jener Lieferpläne, die ein ungefähres Optimum darstellen, finden, sowie einen Ausdruck für die Grenze der Abweichung von den genauen sich ergebenden Mindestkosten festlegen. Klarerweise ist diese Grenze sehr eng gesteckt, und es ist weder wünschenswert noch notwendig, die Planung auf die genauen Mindestkosten abzustellen, vor allem im Hinblick auf die Tatsache, daß der Möglichkeit, präzise Kosteninformationen zu erhalten, praktische Grenzen gesetzt sind und es sehr schwer ist, täglich eine genaue Berechnung des Optimalplanes durchzuführen.Sobald eine Entscheidungsregel für einen annähernd optimalen Tages-Lieferplan aufgestellt ist, ergibt sich natürlich die Frage der Optimalgröße des eigenen Lastwagenparks. Man kann für verschiedene hypothetische Größen des Wagenparks Kostenvergleichsberechnungen in bezug auf die im unmittelbar vergangenen Jahr vorhandene Liefersituation anstellen, wobei man die Entscheidungsregel für den annähernd optimalen Lieferplan als Grundlage für die Bestimmung der Mindest-Betriebskosten für jeden einzelnen Wagenpark nimmt und Lastwagen von Jahr zu Jahr aus dem Dienst zieht oder neu ankauft, um den Wagenpark in der Nähe der Optimalgröße zu halten. Der hier vorgeschlagene Planungsabschnitt, nämlich ein Jahr, kann länger oder kürzer gewählt werden, je nach den näheren Umständen des Marktes und den Usancen bei Kapitalinvestitionen und deren Versicherung. Auf diese Weise kann man erreichen, daß die Leiferkosten ziemlich in der Nähe des Minimums gehalten werden, vorausgesetzt daß die saisonbedingten Schwankungen in der durchschnittlichen Anzahl und der Art der täglichen Lieferungen nicht von Planungsperiode (d. h. Jahr) zu Planungsperiode allzu sehr verschieden sind. Wenn die Unterschiede von Jahr zu Jahr groß sind, kann die Aufgabe, einen optimalen Wagenpark zu finden, tatsächlich sehr kompliziert werden, da die Vorhersage der saisonbedingten Schwankungen im durchschnittlichen Tagesvolumen allein nicht genügt, sondern evtl. auch Änderungen in der Art (d. h. Lieferzeit und Lieferumfang) der Lieferungen ebenfalls vorhergesagt werden müssen.Gleichgültig, wie genau die Optimalgröße des Lastwagenparks bestimmt werden kann, bleibt es doch wichtig, eine annähernd optimale Entscheidungsregel für die Verteilung der täglichen Lieferungen auf eigene Lastwagen und Transportunternehmen zu finden. Die Einsatzentscheidung muß Tag für Tag getroffen werden, gleichgültig, wie zutreffend die Entscheidung über die Investition in firmeneigenen Lastwagen war; dabei kann es um beträchtliche Geldsummen gehen, vor allem in unserem Beispiel, wo die Lieferkosten einen wesentlichen Teil der Gesamtkosten ausmachten. In manchen Fällen lassen sich die größten Einsparungen durch eine richtige Einschätzung der Optimalgröße des firmeneigenen Lastwagenparks erzielen.

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Summary The scheduling, between common carrier and private fleet truck, of local delivery of product from manufacturer to customer is a daily decision problem of some complexity, because the assignment variables are discreet and ordinarily many in number. For any given size of private truck fleet, the most efficient assignment of deliveries (in the sense of least total delivery costs) is not necessarily one in which a private fleet is used to capacity each day, and the deliveries to be scheduled each day may be highly variable in number and kind.This scheduling problem has been studied in detail for a manufacturer of glass containers. The results of this study are reported herein.By use of recursion methods (Dynamic programming) and explicit consideration of the special properties of the cost function involved, a simple decision rule is found for scheduling deliveries which is approximately optimum, and an expression is given for a bound upon the deviation from exact minimum cost thereby entailed. The bound is evidently small and an exact minimum cost scheduling is neither desirable nor required, particularly in view of the practical limitations of getting precise cost data and the difficulties of making daily an exact calculation of optimum scheduling.Having determined an approximately optimum daily scheduling decision rule, the question of optimum private, truck fleet size naturally arises. Comparative cost calculations may be made for various hypothetical private fleet sizes related to the deliveries encountered during an immediately previous year, using the near optimum daily scheduling rule as a basis for determining minimum operating costs connected with each fleet size, and private trucks may be retired or purchased annually to control the private fleet at near optimum size. The planning period suggested, i. e. one year, may be increased or decreased, depending upon the market circumstances and practices used for making and underwriting capital investments. The control thus obtained will be comparatively close to a minimum for delivery costs, provided the seasonal variation of average daily number and character of deliveries do not fluctuate violently from one planning period (e. g. year) to the next. If the annual variation is great, the problem of optimizing fleet size may be complex indeed, because forecasts of the seasonal variation of average daily volume alone are not sufficient. Changes in the character (i. e. destination and related volume of goods) of deliveries may have to be forecasted.Regardless of how well an optimum fleet size can be determined, it is important to have an approximately optimum daily decision rule for assignment of deliveries between private truck and common carrier. The operating decision to be made arises day by day, no matter how well the decision for investment in company trucks has been made, and considerable funds may be at stake, particularly in the case study presented here where delivery costs are a substantial part of total costs. The largest savings may be derived, in some instances, from correctly assessing the optimum size of private truck fleet.

     

The influence of turbulence on the transfer of heat to cylinders near the stagnation point

Zusammenfassung Es wird das problem des Einflusses der Turbulenz auf den Wärmeübergang an einem quer angeströmten Zylinder untersucht. Die Untersuchung beschränkt sich auf den Teil des Umfangs, über den sich die laminare Grenzschicht erstreckt. Einige ältere Messungen an der Vorderseite eines Zylinders werden miteinander verglichen, und es zeigt sich, dass ein wichtiger Parameter, nämlich die Intensität der Vorturbulenz bei den Untersuchungen nicht berücksichtigt worden ist. Die bekannten Messungen von Schmidt und Wenner werden kritisch untersucht und der genannte Effekt wird an ihnen aufgezeigt.Weiter werden eigene Messungen der lokalen Nusseltschen Zahl beschrieben. Die Messungen waren durchgeführt worden an der Vorderseite eines einzelnen Zylinders im Querstrom, und zwar in drei sich nicht überdeckenden Gebieten der Intensität der Vorturbulenz. Die Versuchsanordnung wird beschrieben und mögliche Einflüsse der Veränderung der Druckverteilung am Zylinder werden diskutiert. Obwohl dieser letztere Effekt nicht völlig eliminiert worden war, zeigen die Versuche doch klar, dass steigende Turbulenz ein starkes Anwachsen der lokalen Nusselt-Zahl bedingt. Dieses Anwachsen ist bei kleiner Turbulenz besonders stark. Ein Vergleich mit der theoretischen Lösung Froesslings, die für Turbulenz 0 gilt, zeigt, dass die Turbulenz den Wärmeübergang in der Staulinie bis zu 80% erhöhen kann, bei einer Turbulenzvariation von 0–3%.Diese Ergebnisse, die qualitativ interpretiert werden, stützen die Hypothese einer früheren Veröffentlichung, die annimmt, dass der Effekt durch Änderungen der laminaren Grenzschicht, die hervorgerufen werden durch Schwankungen von zunehmender Amplitude, wie sie bei zunehmenden Vorturbulenzen auftreten, bedingt ist.     

Optimierung in der Stichprobentheorie durch Schichtung und Aufteilung

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß sich das Problem der optimalen Schichtung und Aufteilung für ein und mehrer Merkmale auf ein nichtlineares Programm mit nichtlinearer Zielfunktion und im allgemeinen nichtlinearen Restriktionen zurückführen läßt. Lösungsverfahren für den Fall diskreter und stetiger Merkmale mit a) verschwindendem, b) nichtverschwindendem Auswahlsatz werden angegeben. Ergebnisse für die Normalverteilung und die logarithmische Normalverteilung werden mitgeteilt. Es zeigt sich, daß die bekannte Formel vonDalenius zu falschen Ergebnissen führen kann, weil bei der Herleitung eine (nichtlineare) Restriktion nicht berücksichtigt wurde. Am Beispiel einer zweidimensionalen Normalverteilung wird die Verallgemeinerung der Problemstellung und des Verfahrens demonstriert.

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Summary It will be shown that the problem of optimum stratification and allocation for one and several variates can be reduced to a nonlinear program with a nonlinear objective function and in general nonlinear restrictions. Methods for solving these problems are given for discrete and continuous variates with a) vanishing, b) non-vanishing sampling fraction. Results are tabulated for the normal and the lognormal distribution. It will be shown that the well-known formula ofDalenius may lead to wrong results, because one of the (non-linear) restrictions may be not satisfied. The problem and the methods for solving this problem can be generalized. This will be shown with the two-dimensional normal distribution.