一类三次无理函数积分的求解方法

设Pn(x)为n次多项式,a0≠0,m≥2且m∈N,得到形如∫Pn(x)ma0x3+a1x2+a2x+a3dx的三次无理函数积分可解的充要条件,且其解的形式为∫Pn(x)ma0x3+a1x2+a2x+a3dx=Qn-2(x).m(a0x3+a1x2+a2x+a3)m-1+C,其中Qn-2(x)为各项系数待定的(n-2)次多项式.运用待定系数法可求出Qn-2(x)的各项系数.     

一类无理函数积分公式的相互关系及应用

<正> 一、问题的提出在计算一些积分或用积分解决实际问题时,经常会碰到形如∫(a~2-x~2)~(1/2)dx,∫(x~2±a~2)dx,     

简单无理函数的积分

无理函数的积分,一般高数教材中只讨论R(x,(ax b)~m及R(x,((ax b)/(ce e))~n)这两类函数的积分。这里,介绍常出现的几个类型的无理函数的积分技巧。     

一类无理函数积分能表成初等函数的充要条件

本文得到了公式式中的Ｐｎ（Ｘ）为ｎ次多项式，Ｑｎ－１（ｘ）为各项系数待定的（ｎ－１）次多项式，λ为待定常数．并在此基础上彻底解决了　　　　　　　　　（ｍ＞２，ｍ∈Ｎ）能表成初等函数的充要条件，这是用其他任何积分法都无法做到的。     

一类无理函数值域的求法

岌清一种橄栩认识少为了说明间题,转抄八九年九月黑龙江科技出版社出版的《中学数学学习方法》一书中183页:得,、令分析,由,一:=丫气二万.··…(l),平方得:“例22求函数,二:十了牙石的最小值错解:两边平方得:护一“{矛+l),十l+,2=0丫二任人,.’.d=〔一(2犷+一)]全一月(1+,2))0 x“一(2,+I)二+1+,,二o……(2),两式不等价·因为·的取值范围扩大了·……所以,的最小值为令明显错了.” 以上过程是错上加错,事实上(l)、(肋两式的二范沃澡中学数学(湖北)1993.2乒围是一致的,都是二》1. 这是因为由(2)式 二2一(2,+l)二+l+,2二0斗夕2一2刁+xZ一:+…     

一类无理函数的最值问题

型如y=m(f(x))~(1/2) n(g(x))~(1/2)的函数(m、n是任意非0常数),当f(x) g(x)=c(c为大于0的常数)时,它的最值(值域)虽然借助导数法可以求得,但运算量很大,若运用数形结合法,则可快速求得．具体步骤是:首先作代换,即令u=(f(x))~(1/2)、v=(g(x))~(1/2),则得到u2 v2= c(u≥0,v≥0);然后,在直角坐标系uOv内,作出圆弧C:u2 v2=c(u≥0,v≥0)及直线L:v =-m/nu 1/ny:最后,根据所作的图形并结合m、n的符号来确定其最值,下面举例说明．     

求一类无理函数值域的新视角

形如y=mg(x)~(1/2) nf(x)~(1/2),(m,n∈R 且大于零)其中g(x) f(x)=c(常数)类型的无理函数值域问题,现给出利用向量的数量积来求解,它能很好地联系数学各部分知识,有益于打破定势思维,培养创新精神．     

一类无理函数最值的求法

<正>求函数的最值问题是涉及的知识面广、解决方法灵活多样、技巧性强的一类数学问题.本文介绍一类形如"f(x)=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)"的特殊函数最值的解决方案,仅供参考.一、应用导数研究函数的单调性解决函数最值可以说导数是研究函数单调性的"万能工具",对求函数最值或值域就很有用了,其基本步骤是:一确域,先求出函数的定义域;二求     

一类无理函数最大值、最小值的求法

一类无理函数最大值、最小值的求法何国梁（湖南师大数学系４１０００６）由于对任意的ｔ∈［０，１］，都可通过代换ｘ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ使得。ｘ∈［ａ，ｂ］，故在求形如的无理函数的最大值、最小值时，可先用换元的方法，换元后的函数的定义域成为［０，１］再利用三...     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量^→a=（x1＋y1）,^→b=（x2,y2）,则称cos（^→→a,b）=x1x2＋y1y2/√x1^2＋y1^2√x2^2＋y2^2为向量^→a与^→b的坐标形式的夹角公式．有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的．其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量→a=(x1,y1),→b=(x2,y2),则称cos〈→a,→b〉=(x1x2+y1y2)/~1/2((x21+y21)(x22+y22))为向量→a与→b的坐标形式的夹角公式.有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的.其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,同学们求解时,若能适当构造向量,还原其本来面目,则可利用该公式求这类无理函数的值域(这是一类有较大难度的函数值域问题).下面略举两例加以说明,供同学们参考.     

一类无理函数值域问题的多种解法

在高考试题和竞赛试题中,经常会出现求形如y=m√axk＋b＋n√cxk＋d（ac〈0）的无理函数值域的问题,很多考生对此类题目无从下手、无能为力!     

一类无理函数值域问题的统一解法

不少文献研究了无理函数ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａｋ≠０）（）的值域问题（设ｂ２－４ａｃ≠０）．本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法．原函数式配方,得ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａ（ｘ＋ｂ２ａ）２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．作替换ｚ＝ｘ＋ｂ２ａ,则ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．若ａ＜０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋ－ａ　·ｂ２－４ａｃ４ａ２－ｚ２．若ａ＞０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａ　·ｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ２．因此,函数式的根号内可化为ｒ２－ｚ２…     

巧设坐标求一类无理函数的最值

的无理函数的最值问题,常用求导法来解决.本文借助平面直角坐标系,巧设坐标,数形结合,介绍一种既简单又直观的初等方法.     

用一一映射变换求一类无理函数的值域

用一一映射变换求一类无理函数的值域７２３１００陕西南郑江南压铸总厂子校郝世富首先，我们建立一个从区间［ａ．ｂ］到区问［ｃ，ｄ］上的一个一一映射．为此．我们需要解决的是如何确定这个映射的对应法则．设ＡＢ、ＣＤ是两条互相平行的数轴（如图），易知区间［ａ，...     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

运用向量的数量积求一类无理函数的值域

本文用向量的数量积探讨形如y=m√g(x)+n√f(x)(其中f(x)+g(x)=r2,r为正常数,m,n为非零常数)的一类无理函数值域的求法.     

利用两个不等式求一类无理函数的最值

贵刊１９９９年第一期刊出了胡格林老师的文章《一个不等式习题的应用》,读后受益非浅．该文谈及的是柯西不等式在解最值方面的应用．有一类无理函数,它既有最大值又有最小值,若仅用柯西不等式往往只能求出其中一个,因此,笔者经过认真思考探究发现,把满足一定条件的完全平方公式演变成两个不等式,用它能解决一类无理函数的最值问题,从而比较完满地解决了一类既有最大值又有最小值的无理函数的最值问题．对于完全平方公式：（ａ±ｂ）２＝ａ２＋ｂ２±２ａｂ,若限定条件ａ≥０,ｂ＞０或ａ＞０,ｂ≥０,则可得到如下两个不等式：ａ…