是一解还是两解?

1992.9 厂万丽兀7一VI一‘丽少’=丽· .’.在△AOB中,由余弦定理得 (2;)2一12+l:一21·l _36.COSZa~二;.护 乙勺 月3一5 一一"一l故侧面展开图的圆心角0为:”一于 ____3‘_.。._.。。.石bU’二二二X石bU一二乙工b一 O解法二令2一arcsi·器,则SinZa~2425Sin口·COS口 12一丽’ 12s‘nacOSa~丽sinZa十eosZa一1rl21t 由 样 这 3s,na=万解得{ 4c韶a万35根据sin。一于,得狈”面展开图的圆心角0为;“一于 3‘_‘,__.。。.石bU“一~;‘X沙七U-一乙1勺- 勺或0一于·_。。_4、。,。。。。。。dbU’=二二州入J勺U一~乙石匕- 匕 纵观上述…     

一类不等式的证明、推广及应用

考察下面一组不等式:若u、b〔R,且“+b“L_.11、l_!、_25则(“+言)(b+言))分二(2+告)’=l,《l)、..r夕才苦万,、‘若a、权“〔R+,且a+则(a+告)(。+寺)(‘+b+f“生))‘Il《只其)I‘.1、,_、一六下布一二1.币十二犷l,气乙) ‘口、。》I(告一:)+2)(卜,)(斗一:)+:一,+干·不应用这·结论.(2)式是很难i正币冬手的, (_几) 沿川(2)的证法或用数学归纳法去证明推万”了的《3)式,都将会遇到十分未杂的运竹.难以奏效,必须另辟新径.分析:(.r,+止如若上不等式皆正确,有理由猜侧:若￡〔R舟(;二l,艺,…,,)It、.+:,+…+x.二l件乙,11调协这,,个因式,能否…     

一道课本习题的启示作用

高中《代数》甲种本第二册P.96习题:已知:a,。,。任尺 ,.、、_b c .a_,a .bc、~_求证:(二十于 二)(于十二 二))9一J-一.、a’乙’c‘、b’c’a一-可变形为求证:,b .c .a、,1 .1 .1、~,吸一十气尸十一,叹气尸十一十一,沪廿 口0 C OC口 口bC 瀚笋1一殉还可以推广为则名二.习:若:‘>0(‘=1,2,…,:) 不等式虽然简单、易证,但确有显著的特,征,即不等式左端是分式,右端是常数,且左端两部分呈侧数形式,这对证明某些不等式有着!要的启示作用.下面举例说明: 例l已知:a,‘,c是正数~~a .b .e、3水心石干不十砰石十石干石乡万 (1963年英斯科竞赛题) …     

利用函数的单调性证不等式

250一+b城特‘)证明按已知东件,原不等式等价于 a’+石.①a,+‘.② 一、、.J了 ︸.台,.巴十2 二口丫 了户,龟、、 目 的 了,J 数 函. 透 构 .易知式l)禅1二③故不等式0决走牙函数⑧为(非严榕)增函数.f(,+,)一少(,)二a’+气+6.十1 2。’+‘’ 2︵+2︸a一一‘︸一一)一”(扎狱黔少一全畏概护少一乳心托羚‘一“‘’一久一兰业二哪扛扩+ai-‘石土:?..+,6 》O 即l(。+1)>l(。)‘二争函数②为增函数、又由③知,不等式中真,从而原不等式真. 椒上方法可归纳为. 欲证不等式刀(,)》B(。)(>o),(,〔N)可构造函数f(。)‘A(。)一B(。)‘或“(·,一粼).…     

高等数学选登

一”悠(,十劲”存在性证明\/“’a““’“”‘’毛山十向十’”咔一‘+七 那十l〔广州师院张映东,安徽铜凌四中张晓铭分别供稿)利用不等式(a‘李0)并令‘二。、,b=,:二a:““一‘十、,可得翻+1丫,丁‘竺土竺色“口“~邢十1(1) 2”_2”一2_”一IJ由(1一A)有In”=In一万一多2不反了二2石耳一i吸件(1一E)从而用。二l以及b“1十上代入(1),就知为自然数。.丫(‘+劲”(1+告)”簇(,毛丝生卫邪十l 1=1+不百-r.一)”“”=1时等号成立)艺In*)2艺些二卫左+1h=1k=1”十这说明/。一(1+勃”是单调上升且递增的, r二,:、、即’n(川)多2}山_、‘一石飞/!…     

一个不等式的推广

文〔1〕证明了这样一个不等式:已知x,y任R一卜,且x十y,,,1、,1、一9乙久、x一丁’、y一丁少、万二1,求证:一(2一粤)2 乙’经过思考、探究,我证明了以下命题.命题(xZ-若1、x,yeR十,且x十y二1,则)(夕2一步,)“一奇,’,一步,)‘8一青,’· y夕因0相似文献   

用参数法证条件不等式

已知条件为。 b一,(川为常数),可我(l’J的方法证明:设。=要十‘,b二 ‘答一‘(‘乙为参数). 例l已知。,b任衬且“ b~2,求证。‘十b4)2. 证明令a=一 t,b=一t,(t任I亡) 则a‘ b‘=(l t)‘ (I一t)‘ =2十1 2t2十2t4)2. 用与上面同样的设法我们还可证明:当“ b=2时,有。· 乙.)2二 例2已知。>0,b>0,且。 b一l;令一告十‘,“一合一‘,·:。>。,。>。,.…‘.<音压十沁一俪 俪 一了(了不石十勺不巧)2 一丫2 :丫、二了(召万干酉一:例3已知a)0,b)0且。 b一l,求证:抓厕 压、2.冬毛“2 。2毛,‘ 本题可用三角代换法证明,但较繁,仍用·20·证明令。一…     

不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

1993年高考理科第28题的几何解法

题目 1一(三)‘加~万下了 解答设复数:~eoso+isino(0<0<。),,并且1叫二,ars。<晋,求0·亚3因为:一coso十妇幼0,所以三一coso一isino,并且};!一l 又因为}工立三二…_}1+名.} 1一(三)‘功一万不了。,.了了且l功l~一气子一 O了厄一 3}1一(的‘}·}了}}l+:‘}1:‘+1卜了了!:‘一1}(,) 注意到卜‘1一卜}‘~l,设复数矛在复平面上的对应点为A,l的对应点为B,少十l的粤酗对应点为c,如图1所示,】:‘+1!、}:‘一1}分别是菱形oBcA的两条对角线泌、丽的长度.由(,)可知,乙’OC一晋,艺AO”一晋 显然,点刚了)不能落在坐标轴上和二、三~___二、_~~一。。,…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

数学诡辩

费今夫定趣的、楠海份若。>气证:,.’在等比数烈。.,a’一琢,‘一名bZ,…b川r。‘,b:吞矿ox‘.“,口,:’.不:嚼络里‘一爪”一答书‘ b.、o’LI,苏,) U“a.气今l二吞 g泣则嫌等六不成立.另一方彻,利用公式S,奋聋冬立竺卫东~g又是成立(fI沂石“:一0 q. l一q。一。一口_己生亡{ l一。一‘娜(2),. .a众另一个轰度来肴,孟=。,a:争尸.’. q.a名,q.杯!O一lb一场.b‘缈题华饨谬奴=石公式可知二升,(亡)淤’__杏“入习~乙一、.’.︸卜,少卜夕 了嵌蝗(:)’一城含广a,b几而当。,句付,这.书等式就不成立了:解的过醒中j(t李并护一招异一12,飞:永、碗成…     

一个三角形不等式猜想的否定

月尸方程为:肥方程为:‘100云=玉一100101云~一云+101由方程组100示一云一100101云二一云+101解得刃坐标为才(20200 201 1、乏瓦,.所以 1 201}AA,20200 201、。.,1’,’十‘丽十”‘湍八亦平r202同理又易知而于是夕=}BB‘}=了100,+1力‘一1二20一20:二{‘‘尸}=}co}=101.二~b~}泌卜了而不叮,c=1 .1 .1二+二十夯:梦名}朋}二2.谕瑞两几亩篇击一而瑞两+击气亩瓮而+击带揣旨+击.-一<儡+击<儡十击一儡‘另一方面 5 5杯两了不万十而丽耳万+2 一QO尸Oln︸ 安振平同志在亥数学通讯》1991年第8期上《几个三角形不等式的推广》(以下简称文〔1〕)中,…     

数学奥林匹克问题选登

l,.,年s月号问题解答 (解答由供题人给出)23.在O口外切梯形月刀‘刀中,叨//朋.试证:(l)ADZ+刀叮至<月刀,十刀C,,△月刀C.石净,仪产(头 l。.__了万__).=气犷。职M万犷=--二尸~.刀盯. 乙’乙,_、1 .1_1 .1叹Z)气下十下二吸.丁井十下共. 产U声刃七Z幻口刀L,___,。月,AEEF_了万二,。月。“夕‘‘。‘之几。月‘一几节~石蕊~一气犷~,IIu乙。月L刀笼枯 ZUJL洲奋‘ 证明:设O口切AB、货于M、N,切AD、邵于E、F;显然M、o、万共线,连o月、oD.记乃从=朋=a,刀肘=刀尸一b,角,:.乙刀月口二450.此时乙通刀召=450=匕戒甲, 由四点共圆知识又得乙…     

上期课外练习参考解答

,’一袋‘一 {塑二主鱼{’气_:一‘” 1.由题设知1<4一bd女5.又次d头批粉丫 .’.4,州为整数. .’.4一bd~2, 即bd~2. 万户声}万 (丫少,介七气协了 ·{黑或{户或感烤 :’6+“一邢或今士肚冬、_,’、 2.由已知 3a十5b一1乒,“、①,、 4a+7b~z.s厂。.②、., 解得 “=一35一Zc, b~24+c. .’.}⑧!~a+b+c一一35一Zc十24+‘十‘ =一11. 3.①+②十③得,?--- 价蕊,年阳;。沙习汁郑十产不汽a 、①X③X已得..‘伙_、) O妙坏(下_,④ l、‘协解奎· 叭飞至、).‘’仕夕z共d书J外.卜 ①...二+②·少十③·德得_、:.. 扩+二+少+夕十扩+二~x,+笋十二二十3…     

用直线和圆的位置关系证不等式

设直线l:Ax+By+C~0(A、B不同时为 零),圆C:(x一a)“十(y一b)“一尸,则直线l与 ,。*一、__}Aa+Bb+C}一~~、.、‘~ 坦引L-户钊)二‘呀氏、二币,一目下军二二;花二育一,女:尧r·工光月今岁期劝乙.刃 了A‘十B‘ 螂卿孝 这一结论在条件不等式证明中的巧用. 例l已知a)O,b)O,a+b~1,求证: 祷不百+沂万(2. 。一。一合时等号成立,· 例2已知a,b任R,且a+b+1~O,求证 (a一2)2+(b一3)“妻18. 证明令(a一2)’+(b一3)2~尸, 则点(a,b)在直线l:x十y十1一。以及圆 C:(x一2)2十(y一3)’一尸上. 即直线l与圆C有交点. 证明令。~,沂弓呻+沂万, }2+3+11一~,…     

上期课外练习解答

、.,·,。,·,一~.,.,.,.,.,.~一,.,.,.,.,一,.,.尸sinZa=a,O相似文献   

上期课外练习解答

1.化为一元函数求最值.由题设,易得!A B C一‘80’(ZB=A C, B=600,A C一1200.夕一eosZA eos,C=eosZA eosZ(120。一A)1十eosZA 2 吐卫旦兰丝丝兰鱼丝 乙 1,~二=1州卜花犷L COS乙了压十.COS乙4U .COS乙八一十 乙sin240o·sinZA) 1,1_‘万._‘、一1户t二r.又二二COS乙八一一;,Sln乙八) 乙乙乙 1.,,‘一1一二一Slnt艺月一JU 乙易知一300相似文献   

二阶椭圆型方程组的一类斜微商问题

文〔1〕研究了形如02研aZo万’/、护研.十q 2 Lz/千万一卞qZ 0多一(z)dZ环022 ,、dZ砰,、dZ评+q“气z)石万可十q‘、之少二瘾百+、了2.研,到暨,夕竺、一。 、‘dZ一dz/ ,、d附.,、O评.,、d附.,、d『几=r,气之)-十r,又Z,—州~r,气之)—十rd又之)一-二=~ d名一”d之一’d之一d之 +S;(z)研+52‘的评十S。(习,Z任‘(1)10第五卷的二阶椭圆型方程组的斜微商问题,郎寻求在域G内满足方程(1)的广义解附(力任平尹(动,使它在‘的边界厂上适合条件O研,八,,、,八,.、,。一石一=r气不),r气艺少=rl气I夕十名r气丁夕,万匕1 O‘并建立了这一边值问题解…     

借分点公式解一类不等式

议定理x任(二，，x:)幼存在一个正数几，使了=卫+叔2 1+几‘利用上述的分点公式定理，可以巧解一类不等式a0并借助根域法(一2x2一x+4一O的两根为一1士甲丽4，了+3J一1一O的两根为一3士、/丽2 )可解得x任一3一训丽2一1一甲丽4一3+甲产万2一1+勺崛百4 )，这就是原不等式的解.(解答略)注此题若按常规解法，不仅要求解两个:、_一:、3扩一工一7_.3工2一了一7__、一分…     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…