n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法

通过引入n个积分因子,给出了n阶常系数线性微分方程y~(n)+p_1y~(n-1)+p_2y~(n-2)+…+p_(n-1)y′+p_ny=f(x)的积分因子解法,并进而得到n阶欧拉方程x~ny~(n)+p_1x~(n-1) y~(n-1)+…+p_(n-1)xy′+p_ny=f(x)的积分因子解法.该方法对任意的可积函数f(x),均可给出其通解形式,具有一定的理论研究价值和实际应用价值.     

解微分方程时应注意的两点

笔者认为，初学者在解微分方程时，应注意两点：（一）注意变量x,y地位的对称性。即在判别微分方程的类型或解微分方程时，若按x为自变量、y为函数时不易处理，可转而考虑按x为自变量、x为函数时的情形。为便于应用，现说明如下：a．一阶齐次方程的两种形式：（这里x为自变量），或：生二。（半）（这里y为自变量）．””dH－”，“”““““““““””b．一阶线性微分方程的两种形式：dyn。、。，、，、。。、，。。，。、三十P（x）y一Q（x）（这里y为x的函数），dH“”—”“””—””““H““““。。。／，。dx、‘＾或三十P（…     

二阶线性微分方程的积分解法

称为二阶线性微分方程,其中p、g、f都是x的已知连续函数。     

一类一阶高次微分方程的解法

给出了一类一阶常系数高次微分方程的特征方程解法.     

全微分方程的不定积分解法及其证明

0　引言一个一阶微分方程写成P( x,y) dx +Q( x,y) dy =0 ( 1 )形式后 ,如果它的左端恰好是某一个函数 u=u( x,y)的全微分 :du( x,y) =P( x,y) dx +Q( x,y) dy那么方程 ( 1 )就叫做全微分方程。这里 u x=P( x,y) ,　　 u y=Q( x,y)方程 ( 1 )就是 du( x,y) =0 ,其通解为 :u( x,y) =C　 ( C为常数 )可见 ,解全微分方程的关键在于求原函数 u( x,y)。因此 ,本文将提供一种求原函数 u( x,y)的简捷方法 ,并给出证明。1　引入记号为了表述方便 ,先引入记号如下 :设 M( x,y)为一个含有变量 x,y项的二元函数 ,定义 :( 1 )“M( x,y)”表示 M(…     

一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法

通过寻求积分因子f1(x),f2(x),求解一类二阶线性微分方程,包括二阶常系数线性微分方程和二阶Euler方程.     

关于两类二阶隐式常微分方程的解法

讨论就 y″解不出的二阶隐式常微分方程 x=f ( y′,y″)和 y′=f ( x,y″)的解法问题 .     

两类特殊微分方程的积分因子解法

针对满足特殊条件的两类微分方程,利用特殊积分因子法求解．     

二阶线性微分方程的解法改进

本改进了二阶线性微分方程的朗期基解法，只要求出转化以后的一阶微分方程或二阶齐次线性微分方程的一个特解，即可求出二阶线性微分方程的通解。     

对全微分方程的不定积分解法及证明的讨论

文[1]给出的全微分方程的一种求解方法，需要商榷。     

关于微分方程中的几点注记

微分方程是高等数学的重要内容之一．但对其中的某些问题,在一些教材中叙述的不够清晰,容易使初学者产生模糊认识．为此,结合该内容的教学实践,对这些问题作些注释,以帮助学生加深理解．一、关于通解“通解”是微分方程中的一个基本概念．所谓通解,即指一个n阶方程0的含有n个独立的任意常数的解．对此概念,初学者常存在两种认识：一种认为,通解就是包含微分方程的所有解的解,亦即所有解的共同表达式．因此,当通解中的任意常数取遍所有数值时,就可得到方程的所有解．另一种则认为,通解就是含有n个任意常数的解,这些常数随便取什…     

常微分方程中的反问题

研究某函数或函数组是什么常微分方程的通解或特解,这可以称为常微分方程中的反问题.这类问题,可以用"微分法"来解决.研究这类问题的意义在于通过利用"微分法"及"逆向思维方法"解决反问题的过程来加强对常微分方程理论内涵的深刻理解.     

线性微分方程的微分算子级数解法

介绍了微分算子级数法及其求解线性常微分方程通解、特解的原理、方法和实例.这个方法和其它解法的差别,在于不借助其它学科知识的启示,直接通过方程中微分算子的运算求出方程的特解或通解.     

两种类似于齐次方程的微分方程的解法

本文介绍两类可化为齐次方程的微分方程的解法.     

一类二阶线性变系数微分方程通解的解法

采用特解和常数变易法,给出一类二阶线性变系数齐次和非齐次微分方程的通解公式,实例说明如何运用此通解公式.     

常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法

设二阶常系数非齐次线性微分方程 y″+py′+qy=f( x)对应的齐次方程的特征根为 r1,r2 ,f ( x)连续。由韦达定理 :p=-( r1+r2 ) ,q=r1r2从而 y″+py′+qy=f( x)可化为 y″-( r1+r2 ) y′+r1r2 y=f( x)即 ( y′-r1y)′-r2 ( y′-r1y) =f ( x)令 y′-r1y=y1则 :　 y″+py′+qy =f ( x) y′-r1y =y1y′1-r2 y1=f ( x)即原方程可降阶为一阶线性微分方程。解方程组得 y =er1x∫y1e- r1xdx,y1=er2 x∫f ( x) e- r2 xdx所以 ,原二阶方程的通解为 y =er1x∫e( r2 - r1) x .[∫f ( x) e- r2 xdx]dx由此得到 :定理 1　若 y″+py′+qy=f ( x)对应的齐次…     

一类变系数微分方程通解公式的求法

已知微分方程y″+a(x)y′+b(x)y=f(x)相对应的Riccati方程z′+z2-a(x)z+b(x)一个特解,可以导得原二阶线性常系数微分方程的通解公式。     

二阶变系数线性微分方程的解法探讨

给出了变系数满足几种特定条件的二阶变系数齐次线性微分方程的特解形式,得到了一个命题.之后通过几个典型实例验证了命题在求解几类二阶变系数线性微分方程特解和通解中的有效性.     

一道微分方程题目的多种解法

同济大学数学教研室编高等数学 (第四版 )下册 P40 7有一题目 :求方程的通解。学生普遍感到有些困难。下面给出几种解法。y′+x =x2 +y ( 1 )　　解　方法一　令 x2 +y-x=u,则 yx2 +y+x=u,y=u( x2 +y+x) ,两边对 x求导 ,得 dydx= ( x2 +y+x) dudx+u(2 x+dydx2 x2 +y+1 )。代入 ( 1 ) ,得 dudx+u2 ( u+x) =0 ,或udx +2 ( u +x) du =0 ( 2 )易见有积分因子 μ=u,引用之 ,解得 2 u3 +3 xu2 =c1。换回原变量 ,得 ( 1 )的通解为 ( x2 +y) 3 =x3 +32 xy+c.其中 c=c12 为任意常数。方法二　令 u=x2 +yx ,则 x2 +y =ux,两边对 x求导 ,得2 x+dydx2 x…