怎样由f[φ(x)]求f(x)

由已知的函数关系式f[φ(x)]求f(x),进而求f〔ψ(x)〕的问题,比较抽象,不少学生感到无从入手。现介绍一些常用解法。一、定义法例1 已知f(x-1)=3x~2-8x+10,求f(x)及f(x+a)。分析 f(x-1)是以(x-1)为自变量的函数,欲求其对应关系,可拆项、添项,将已知表达式配凑成关于(x-1)的多项式。     

max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数问题三则

所谓ｍａｘ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]或ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]型函数 ,是指在ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的公共定义域的不同部分 ,取这两个 (或两个以上 )函数值最大的函数式 (或最小的函数式 )作解析式的函数 ,解这类函数有关的问题的最佳方法是数形结合 .本文例举几例说明求解策略 .例 1　已知ｆ(ｘ) =3 -ｘ,ｇ(ｘ) =( 2ｘ +5) 12 ,则ｙ =ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]的最大值为.分析　本题属于非常规性问题中的信息迁移题 ,需要同学们在掌握基本初等函数的图像与性质的基础上 ,根据新定义新信息重新构造新函数 .图 1在同一坐标系内分别画出ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的图…     

由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

例谈max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

lim f[φ(x)]from(x→(x_0))=f[limφ(x)]from(x→(x_0))?

<正> 这里问号“?”的含意是,等式两边是否一定同时存在?倘若同时存在,它们是否一定相等?它们同时存在且相等的条件又是什么? 不是任何两个可以复合的函数这个等式的两边都有意义,首先,两边都没有意义的例子是容易举的,如函数     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。     

Sulle soluzioni non analitiche dell'equazione funzionalef(x 2)-[f(x)]2=kx e su quelle analitiche dell'equazionef(x α)=λ[f(x)]b

Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -) -     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

浅谈方程[f(x)]=g(x)的解法

1987年全国初中联赛第一试填空题第三小硕是: 〔aJ表示不大于数。的最大整数.例如[了百〕=l,〔一丫百」=一2,那么方程2解方程了一〔了可x]+l二0. 〔了了刁=护十l多l,例熟〔3x+l]一ZX一告的所有,的和是_·此题可用下法求解:令:x一粤二,(,为整数),贝IJ有二二吝,十今 ‘任喇又由〔3x+;]二Zx共知o‘(3x+,卜(Zx号)<1即。‘(普,+子)一,相似文献   

关于函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)

定义在实数域上适合方程f(x+y)=f(x)+f(y)(1)的函数,如果再加上连续的条件,就可以证明它是唯一的,即f(x)=ax。本文的目的是从理论上求出定义在任意数域上满足方程(1)的解,而不加任何条件。后面将看到,这里除了个别例子之外,并不能指出所求出的更普遍的函数。原因在于,证明中应用的有策墨罗定理。 1.基本引理引理1.对任意一个数域R必有数集存在,使得R中的任一非0     

冷眼看“f[f~(-1)(x)]=x”

数学作为一种工具,强调应用性,新教材教学极其关注这一点,尤其是知识的综合应用和问题的交叉运用,近年来各省的高考试题有不同程度的体现.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”,从基础出发,重定义,才能至千里.本文主要通过实例,探讨反函数及f[f-1(x)]=x的实质和应用,加强同学们对抽象函数的理解,希望能给大家一点启示.1求抽象函数的反函数——重在理解反函数的定义例1已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),求函数y=f(2x-1) 1的反函数.解析由y=f(2x-1) 1得,f(2x-1)=y-1,∴f-1[f(2x-1)]=f-1(y-1),即2x-1=f-1(y-1),x=21f-1(y-1) 21.∴y=f(2x-1) 1的…     

函数f(x)=的两个基本性质及应用

近年来,与函数f(x)=(1+1/x)x有关的试题在高考中时有出现,由于目前中学数学教材中,对函数f(x)=(1+1/x)x的性质介绍甚少,因此,学生们在求解这类问题时,常常束手无策、颇感为难.本文给出函数f(x)=(1+1/x)x在(0,+∞)上的两个基本性质及应用,供大家参考.……     

关于函数y=f(x)与y=|f(x)|

本文对函数 y=f ( x)与 y=|f ( x) |的部分性质进行了比较和分析 ,指出了它们性质上的区别与联系 .     

关于f(x、y)连续性的几个定理

<正> 关于二元函数z=f(x、y)的连续性,在高等数学中,一般仅给出它的定义,除用定义判断其连续外,却很少涉及其它方法。本文将给出判断二元函数f(x、y)连续的几个充分条件。定理1 设f(x、y)在区域D上有定义,若1)f(x、y)对x、y连续,2)f(x、y)对x是单调的,则     

函数f(x)=[1+1/x]x的两个基本性质及应用

近年来,与函数f(x)=(1+1/x)x有关的试题在高考中时有出现,由于目前中学数学教材中,对函数f(x)=(1+1/x)x的性质介绍甚少,因此,学生们在求解这类问题时,常常束手无策、颇感为难.本文给出函数f(x)=(1+1/x)x在(0,+∞)上的两个基本性质及应用,供大家参考.     

"函数f(x)无零点方程f(x)=0无实根"吗?

在人教A版数学必修1教材中,关于"方程的根与函数的零点"给出了如下结论:方程f(x)=0有实数根(＜＝＞)函数y=f(x)的图象与x轴有交点(＜＝＞)函数y=f(x)有零点.上述结论明确了函数f(x)的零点、方程f(x)=0的实根、函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标之间的等价关系,这也是处理函数零点问题的重要方法和手段,即:将函数零点问题转化为相应方程的实根问题或相应函数图象的交点问题.……     

关于函数f(x)的倒数函数1/f(x)周期性的讨论

“数学通报”1980年第10期所刊“谈谈函数周期性问题”一文中的第二部分的定理1给出了倒数函数1/f(x)的周期性的结论。我们认为结论有错。现作如下讨论,愿与原作者商确。     

∫f(x)dx-∫f(x)dx=0”与“∫f(x)dx=∫f(x)dx+C

在处理不定积分问题时，常常会碰到　是什么的情况，本文通过对不定积分概念本质的分析，说明：　是处理此类问题的基本思想，而不能简单地理解为     

冷眼看“f[f^-1（x）]=x”

数学作为一种工具，强调应用性，新教材教学极其关注这一点，尤其是知识的综合应用和问题的交叉运用，近年来各省的高考试题有不同程度的体现．“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，从基础出发，重定义，才能至千里．本文主要通过实例，探讨反函数及f[f^-1（x）]=x的实质和应用，加强同学们对抽象函数的理解，希望能给大家一点启示．