奇异M-矩阵和广义对角占优阵的实用判定准则

1 引言和符号 首先对本文所采用的符号和术语作一约定和说明,而不再重申. N表示前面n个自然数的集合,而分别用Mn(C)和Mn(R)表示所有n阶复方阵和n阶实方阵的集合,Rn表示n维实列向量.     

关于任意体上全方阵集合的两个定理

在下面的讨论中,K 表示任意体,M_n(K)表示由系数属于 K 的全部 n 阶方阵所组成的集合(n≥2).E 和 O 分别表示 n 阶单位方阵和零方阵;E_(ij)(1≤i,j≤n)表示除第 i 行第 j 列位置上的系数为1外,其余一切系数均为0的那个 n 阶方阵.     

二阶方阵的平方根和三角方阵的三角平方根

二阶方阵的平方根和三角方阵的三角平方根胡结梅（南昌航空工业学院基础一部３３００３４）定义设Ａ是一个ｎ阶方阵，若存在ｎ阶方阵Ｂ，使Ｂ２＝Ａ，则称方阵Ｂ是方阵Ａ的一个平方根．以ｄｅｔＡ表示方阵Ａ的行列式，则由定义得：ｄｅｔＢ＝±ｄｅｔＡ．下面的定理１给出...     

关于复方阵的平方根

本刊文 [1]中提出如何判断一个方阵是否存在平方根的问题 .这里 ,我们就 n阶复方阵情形给出三个判别准则 .设 A是 n阶复方阵 ,JA 表示它的若当标准形 ,则存在相似变换矩阵 P,使得 A=PJAP-1 .有关复方阵 A的若当标准形 JA 以及相似变换矩阵P的求法 ,见本刊文 [2 ]或 [3 ] ,本文不再赘述 .定义 1　设 A是 n阶复方阵 ,若存在 n阶复方阵 B,使得 B2 =A,则称 B为 A的平方根 .为书写简便 ,我们用记号 Jr( x) ( r≥ 1)与diag[B1 ,B2 ,… ,Bs]分别表示 r阶若当矩阵和对角块矩阵 :x 1 x 1x∈ Mr( C) ,B1 B2 Bs.用文 [2 ]中给出的计算复…     

矩阵幂和问题的进一步讨论

本文证明了;(1)F_p~m上p~m次幂矩阵的充要条件;(2)F_p~m上任一方阵都可表示为2个其最小多项式均无重因式的q次幂矩阵之和;(3)任一整数方阵可表示成不超过7个平方次幂整数矩阵之和,从而推广和改进了文[1,2]的结果.     

整数方阵的Waring问题

本文证明了:对任意给定的整数 m≥2和 n≥2,存在正整数 f(n,m),使得任何 n 阶整数方阵均可表示为 f(n,m)个整数方阵的 m 次幂之和.并对 f(n,m)作了估计,从而推广、改进了 M.Newman 1985年的结果.     

本期问题

<正> 1.设A为n阶方阵,秩为r,且所有特征根为实数,则(trA)~2≤相似文献   

关于用矩阵多项式表示矩阵函数的存在性与唯一性问题

利用Banach 空间的极限理论证明用矩阵多项式表示矩阵函数(收敛的方阵幂级数)的存在性与唯一性.     

(0,1)-方阵的置换相抵

<正> 设A和B是n阶方阵,如果方阵A可经行的置换与列的置换化为方阵B,即存在n阶置换方阵P和Q,使得B=PAQ,则方阵A和B称为是置换相抵的.1974年,B.Gordan,T.S.Motzkin和L.Welch用图论的方法,证明了当permanent为1,2和3时n阶(0,1)-方阵置换相抵标准形的定理.由于方阵的置换相抵是方阵的一种等价关系,它自然应属于矩阵论的范畴,因此有必要从矩阵论的角度重新加以讨论.本文的目的是给出B.Gordan等人的结论的一个矩阵证明,方法是构造性的,且具有一般意义.作为一个说明,     

关于矩阵分解为对称矩阵的乘积

<正> 矩阵的乘积分解是矩阵论中有意义的问题之一,[3]中证明了任意域上的方阵都可表为不超过四个对称矩阵的乘积.本文将证明任意域上的方阵,都可表为两个对称矩阵的乘积.设 F 为一域,M_n(F)是 F 上所有 n×n 矩阵的集合,G_n(F)是 M_n(F)中非奇异矩阵所成的乘法群.设 S∈M_n(F),S~T 表示 S 的转置矩阵,如果 S=S~T,则称 S 为对称矩阵.     

由点矩阵的表示生成的分形矩阵的维数

本文利用n阶整数元方阵作为表示基,以Z~n上的有限个点矩阵作为表示系数,构造了空间R~n中的点矩阵的加法表示系统和乘法表示系统,并分别给出了这两种表示系统导出的分形矩阵在不满足开集条件下的Hausdorff维数的上下界.     

实方阵的正定性

<正> 众所周知,对于实对称方阵和 Hermite 方阵,都讨论它们的正定性.对于一般的复方阵,K.Hoffman 和 R.Kunze 在他们的著作 《Linear Algebra》的第329页上定义了正定复方阵,并指出,任意一个复方阵 A 正定的必要而充分条件是,A 是正定 Hermite 方阵.但对一般的实方阵没有深入讨论.本文给出正定实方阵(不一定对称)的定义,讨论正定实方阵的特征根性质,并给出正定实方阵在合同下的标准形,以及一个实方阵正定的必要而充分条件.在以下讨论中提到的方阵都指实方阵.     

从一道全国大学生数学竞赛试题浅谈方阵迹性质的应用

方阵的迹是矩阵的一种重要的特征,本文从一道大学生数学竞赛题目总结归纳方阵迹的性质,并给出方阵迹的相关应用.     

有限几何与不完全区组设计的构作(Ⅷ)利用有限域上酉几何中的极大全迷向子空间构作的多个结合类的结合方案

<正> §1.一个多个结合类的结合方案F_q~2表示 q~2个元素的有限域,q 是一个素数的冪.F_q~2有一个自同构(?)这个自同构的固定子域是 F_q.设 n=2ν+δν>0,而δ=0或1.熟知 F_q~2上n阶非奇异厄米方阵皆合同于     

多元回归系数线性估计可容许的几个结果

设Ａ和Ｂ均为矩阵，符号Ａ＾－表示Ａ的“减”的广义逆，λｉ（Ａ）表示方阵Ａ的第ｉ大特征根，ｔｒ（Ａ）表示方阵Ａ的“逆”，ＡＢ表示矩阵Ａ和Ｂ的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积，Ａ表示Ａ按行拉直Ａ≥Ｂ或Ａ＞Ｂ表示Ａ－Ｂ对称且半定或正定，符号″Ｍ→Ｎ”表示可由命题Ｍ推导出命题Ｎ，″→Ｎ”表示命题Ｍ和Ｎ等价。     

实方阵的另外一种实相似标准型

具有相同初等因子的方阵是相似的,运用这个结果,通过分块初等变换,给出了实方阵在实相似下的一种新标准型,这种标准型类似于复方阵的Jordan标准型,从而更有利于相关计算.这对于同学们对Jordan标准型的拓展理解是十分有益的.     

典型域上的调和函数论(Ⅰ)——矩阵双曲空间的调和函数

<正> 的狄里希勒(Dirichlet)问题,此处(?)是 m×n(m≤n)矩阵 Z 的元素,(?)表 Z 的共轭元素组成的方阵,Z' 表 Z 的行列互换,I~((m))表 m×m 么方阵.一哈尔密方阵>0,表此方阵是定正的.偏微分方程(1)在(?)中是橢圆型的,在(?)的边界上是蜕化的.因此我们要考虑到     

对称非负定矩阵反问题解存在的条件

R~(n×m)表示所有n×m阶实阵集合,R_r~(n×m)表示R~(n×m)中秩为r的子集.R_K表示所有K阶对称非负定阵集合.A≥0(>0)表示方阵A对称非负定(正定).R(A),N(A),A~+分别表示A的列空间,零空间和Moore-Penrose广义逆.dim(·)表示子空间维数,I_K表示K阶单位阵.||·||表示Frobenius范数.现考虑如下问题:     

整数环上矩阵平方和的两个新结论

本文利用 F2 上方阵为平方矩阵的充要条件 ,证明了 :1任一阶数为偶数的整数矩阵可表示成 5个平方次幂整数矩阵之和 ;2任一整数矩阵可表示成 6个平方次幂整数矩阵之和 ,从而改进了文 [2 ,3 ]的主要结论 .     

矩阵的扰动与广义逆

本文采用文[1]中的术语与记号,个别不同之处则另作说明.文[2]研究了将一奇异方阵扰动到一非奇异方阵的方法,并且给出了用此扰动方法计算方阵的 Moore-Penrose 逆的若干结果.本文研究了将一奇异方阵扰动到非奇异方阵的一般理论,刻划了为得到方阵的某种广义逆而所需的扰动的特征性质;并将这些理论与性质搬到一般的长方矩阵上去,给出了将任意矩阵扰动到非奇异阵的某些一般性结果;最后给出了我们结果的几个应用.