构造向量,巧证不等式

现行新教材 (试验修订本必修 )中新增加的平面向量 ,具有代数形式和几何直观的双重身份 .向量引入中学课本 ,大大拓宽了解题的思路与方法 ,本文举例说明如何构造向量 ,利用其性质证明不等式 .1　应用 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ公式 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ 中等号在向量 ｐ , ｑ共线时才可能成立 .例 1　设ａ ,ｂ为不相等的实数 ,ｆ (ｘ) =1+ｘ2 ,求证 :ｆ(ａ) - ｆ(ｂ) <ａ -ｂ ,ａ +ｂ >ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) .分析 :构造向量 ｐ =(1,ａ) , ｑ =(1,ｂ) ,ａ ,ｂ为不相等的实数 ,因此向量 ｐ , ｑ不共线 …     

巧证不等式

题目 已知a,b∈R＋,且a＋b=1,求证：a^n＋b^n≥（1/2）^n-1（n∈N^n）．     

巧用向量证不等式

向量作为一种重要的数学工具,在处理有关几何、不等式等问题中能起到化繁为简、化难为易的效果.特别是对含有乘积之和或乘方之和的不等式,根据向量性质可给出简捷明快的证法. 例1 求证(a21十a22)(b21+b22) ≥(a1b1+a2b2)2.     

巧证几何不等式

<正>在△ABC中,D、E分别为边BC和CA上的点,T是DE上的点,S_1、S_2、S分别表示△ADE、△BDT、△ABC的面积,则(S_1/S)^(1/3)+(S_2/S)(1/3)+(S_2/S)^(1/3)≤1.     

巧证一道不等式

设A,B,C为任意三角形的三个内角,对于任意实数x,y,z.求证: x2 y2 z2≥2xycosA 2yzcosB 2xzcosC. 该不等式是研究三角形的一种独特而有力的工具-"母"不等式,其证明通常是构造二次函数来证,本文给出一种新颖的向量证法.     

妙用导数巧证不等式

对一些用一般方法难于证明的不等式进行适当变形,构造典型函数,利用求导数法来研究其单调性,进而再利用其单调性可快捷的证得不等式,往往别开生面,颇有新意.     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

构造长方体巧证不等式

我们知道:长方体有如下性质(为了节省篇幅,本文约定所构造的长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线长为l,本文中所有角均为锐角.):     

构造函数模型 巧证不等式

函数是贯穿中学数学的一条主线,不等式是中学数学的重要内容之一.对于一些不等式的证明问题,通过类比、联想、转化,合理地构造函数模型,利用函数的单调性可以得到巧妙的解决.本文结合具体实例谈一谈怎样构造函数模型来证明不等式问题.     

抓住特征巧证不等式

不等式中的"式子",其整体或某一部分往往显示或隐含着某一特征,这一特征与某一数学概念或公式定理或方法模型有联系,抓住这一点展开分析探索,常常能得到一些巧妙的证明方法.     

以解代证 巧证不等式

解不等式与证明不等式是不等式的两大主干题型，它们之间似乎有一道天堑，无法互相沟通，本文将介绍一种通过解不等式来证明不等式的方法，以实现两者之间的沟通，使天堑变通途。     

利用概率分布巧证不等式

文[1]巧妙地建立一维离散型随机变量X的概率分布,并利用其方差的非负性(D(X)=E(X2)-(E(X))2≥0,当且仅当X服从退化分布时等号成立)给出了柯西不等式的一种构造证法,笔者读后颇受启发,也尝试用该法证明了一些不等式,写在这里与读者分享.     

构造正方形巧证不等式

例1设a、b、c∈(0,1),求证,abc(1-a)(1-b)(1-c)≤(1/4)^3.     

构造向量证三元分式不等式

本文利用高中数学新教材中新增的重要内容——向量，对中学数学期刊上的一些三元分式不等式给出简证、加强和推广．     

巧构直角三角形证无理不等式

根据某些条件若能构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,可使某些无理不等式得到直观巧妙的证法,下举几例以说明之: 例1 设a≥c,b≥c,c≥0,求证并确定等号成立的条件。证明:如图1,在长度为c~(1/2)的线段BC上作Rt△ABE和Rt△ECD,使AB=b-c~(1/2),CD=a-c~(1/2) ,BE=EC=c~(2/1)则AE=,b~(1/2),DE=a~(1/2),连AD,则 S梯形ABCD=S△ABB+S△CDE+S△AED。     

一类几何不等式的巧证

一类几何不等式的巧证２４６１４２安徽省怀宁江镇中学黄全福几何量之间的不等关系，统称为几何不等式．处理几何不等式的方法颇多，常见的方法这里概不涉及．本文从三个方面列举的若于实例，用直角三角形三边长度中的一个简单直观而又鲜为人知的关系式．这就是：（ａ、ｂ...     

一类数列不等式的巧证

数列不等式是高考中久考不冷的热点,此类题目技巧性强,思维量大,一般不容易突破．例如,有一类数列不等式a1＋a2＋…＋an〈c（其中c为常数）,就是常考的题型．本文试对此类题型提供一种解题策略,期望对同学们有所帮助．     

巧证“轮换”不等式

<正>这类不等式的特征是:字母成轮换对称形式,其证法思路是连续三次用均值不等式,并且相加,化简或推理之后可证,方法十分巧妙现举例说明.例1已知a、b、c为实数,且a+b+c=1,求证:a²+b2+b²+c2+c²≥1/3.证法1∵a+b+c=1,当且仅当a=b=c=1/3时,不等式中等号成立.于是有下列证法:     

构造函数巧证不等式题两例

例1在△ABC中三内角分别为α,β,γ,求证：sinα sinβ sinγ≤(33~(1/2))/2．证明在△ABC中有α β γ=π,要证的不等式可化为(sinα sinβ sinγ)/3≤(3~(1/2))/2=sinπ/3,即证(sinα sinβ sinγ)/3≤sin(α β γ)/3．构造函数y= sinx(0＜x＜π)其图像如图所示．     

利用独立事件巧证不等式

有些不等式,若能深入挖掘题目的内含与外延,根据其结构特征,大胆想象,构造独立事件,使不等式获得简证.请看下面两例: