函数单调性的应用

单调性是函数的一个基本性质 ,该性质有广泛的应用 ,主要用于如下几个方面 :1　比较两个数的大小例 1　比较log2 (x + 1)与log2 ( 2x + 3)的大小 .简析　从题设的两个对数 ,便联想起y =log2 u在 ( 0 ,+∞ )上是单调函数 ,因此只要比较两个真数的大小 ,原题就可获解 .解　由 x + 1>0 ,2x + 3>0 ,解得x >- 1.当x >- 1时 ,有 0 - 1,且x≠ 0 ,n∈N ,n≥ 2 ,求证 :( 1+x) n>1+nx .简析　欲证 ( 1+x) n >1+nx ,需…     

“对数换底不等式”及其应用

众所周知,比较两个底数、真数都不相同的对数的大小,是一个讲究技巧,难度较大的问题。本文试用“对数换底不等式”一般地讨论这一问题,并得出一个使用方便的判别法。先给出关于“对数换底不等式”的定理。     

底数不同的对数不等式的解法

底数不同的对数不等式 ,用常规解法难以奏效 ,须采用特殊的解法 .例如通过某种变换 ,运用函数的单调性 ,可化难为易 ,速得其解 .例 1　解不等式log6 ( 1 x ) >log2 5x.解　设 t=log2 5x,则　 x =5t　 (其中 x >0 ) .原不等式化为 log6 ( 1 5t) >t.得　 1 5t>6 t,两边同除以 6 t得( 16 ) t ( 56 ) t>1 ,令 f ( x) =( 16 ) t ( 56 ) t.则函数 f ( t)在 t∈ R上是减函数 ,且( 16 ) 1 ( 56 ) 1=1 ,∴　 t<1时 ,( 16 ) t ( 56 ) t>1成立 .这时 ,　　 t=log2 5x <1 ,∴　原不等式的解集为 :{x| 0 相似文献   

一道高考试题的推广

1995年高考文科数学试题第 2 3题 :设 {an}是由正数组成的等比数列 ,Sn 是其前n项和 ,证明 :12 (log0 .5 Sn+log0 .5 Sn + 2 ) >log0 .5 Sn + 1.由对数运算性质可知 ,求证不等式可化归为证明其等价不等式SnSn + 2 0 ,当r =1时 ,SpS…     

揭开数e的神秘面纱

我们在学习对数的定义时,出现了一个神秘的数e．教材上写道“在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这种对数称为自然对数（natural logarithm）．e=2．71828…是一个无理数．正数N的自然对数log.N一般简记为lnN”．对此,善于思索的同学一定会问：为什么在我们熟悉的众多的数中不选,偏偏选一个我们并不熟悉的e作为对数的底数,而且还是一个无理数？     

一个对数恒等式的特例和应用

对数恒等式砂。:aN=刀。“aM 式中从从a均为正数,且a手1. 例1计算:7,:20·(去)’:07. 解:原式=71520 .2一l凶.7 =71+102·21一、:7=14·71:2·2一197 二14·2107·2一l:7=14. 从以上解题过程我们看到,利用(*)式,较简便. 例2求证: 109。(109。矿) a logaa=nlog。a.(*)例3解方程组:、、,夕、,..口..上,自才...1 1.尹0939+2少og3x一27,显然比 (1093夕一log3x=1.解:由分。幻“=梦og3x知,方程川可化为:3扩09,x=27,即少”3x=9,上式两边取以3为底的对数.得log3x·10939=2.于是原方程组化为:(3)叭log3x·1093,=2,10939一log3x=1. 1证:左边一}a,09。…     

利用“减数法”比较对数的大小

文[1]用所谓“同底法”比较两个不同底数且不同真数的对数的大小,比较对数值的大小,还可以应用“减数法”．所谓“减数法”,即将“比较A与B”转化为“比较A—C与B—C”,其中减数C的选取因题而异．下面首先用“减数法”解决文[1]中的两道例题．     

"取倒数"技巧的妙用

常言道“小技巧,办大事”,取一个数(式)的倒数,就是这样一个能“办大事”、解难题的小技巧.1分子有理化“取倒数”对于分子有理化,有关键作用,进而可化简根式、比较大小、判断函数单调性等.例1求值log(2-1)(3 22).解log(2-1)(3 22)=log(2-1)(2 1)2=log(2-1)21-12=-2.例2已知c>1     

比较对数大小的一般方法

比较对数大小的一般方法杜家栋（四川省三台师范学校６２１１００）比较两个相差甚微且底数和真数均不相同的对数的大小，由于常用的比较法、中间值法都难以奏效，因此历来是高中数学教学的难点．近十年来，不少论文如［１］、［２］等对此进行了有益的探讨，给出的一些结...     

指数函数和对数函数

指数函数和对数函数是基本的初等函数,指数函数和对数函数的单调性涉及底的大小的讨论,可以培养学生分类讨论的思维品质,对养成良好的数学思维方式大有好处.另外,对数换底公式的灵活应用,对培养学生的应变能力也是非常有益的.一、对数换底公式的应用     

糖水不等式的妙用

<正>在高三暑期一轮复习中,复习对数和对数函数章节时,数学老师介绍了《中学生数学》2020年7月许成文、孙枫老师的文章《你会比较log_23,log_34,log_45的大小吗?》供我学习,收获颇丰.文[1]中分别从对数的运算性质,对数函数的单调性,作差法,作商法等四种方法来比较log_23,log_34,log_45的大小,前面两种方法是对数大小比较的常用方法,后面两种还需结合基本不等式放缩处理,对我们的解题和运算能力都有较高的要求.结合平时的积累下面我再提供一种新的方法,希望给同学们启发.     

从数的大小比较谈起

<正>中学生在小学、初中和高中三个阶段中,始终伴随他们的一个问题是,如何比较数的大小?例如,比较下列各数对中两数的大小:35和53;2.83.5和3.52.8;10(11^(1/2)/2)和11(10(1/2)/2)和11(10^(1/2))/2;π5和5π等.进而提出问题:"能否给出操作性强的比较数的大小的一般性方法?"数的大小比较是初等数学教学中的一个难点,成功处理该问题将极大吸引了我们对数和数学的兴趣,进而提高处理不等式和极值等问题的能力.若解决不好这一问题,将从源头上掐断很多同学对数字和数学的兴趣.     

换底公式的几个推论及其应用

现行高中课本中对换底公式的推论没有系统列出,而只是将部分推论分散在例题和习题中。我们认为,为了让学生系统地学习,可将这些零碎而又分散在例题、习题中的题目,归纳整理,将对数换底公式的推论作系统介绍,在介绍过程中进一步深化、理解、掌握换底公式,又能揭示某些对数变换的规律性,现介绍如后以供选用。 1.把对数的底数、真数同次乘方(不取零次乘方),对数的值不变。即log,N=log_(am)N~m(m≠0) (Ⅰ) 证明:log_aN=log_bN/log_ba=mlog_bN/mlog_ba=log_bN~m/log_ba~m=log_aN~m。     

恒等式M~(log)aN=N~(log)aM及其应用

下面我们通过两个例题,说明在解某些指数对数方程和方程组时,应用恒等式M~(log)aN=N~(log)aM可简化解法,其目的是利用这个恒等式及其变形推导对数中一系列重要运算法则,并举例说明它的应用,文中对数式里的字母,都是使对数式有意义的.     

对数函数一个性质的简单应用

对数函数y=log 。(a>0且a≠1),其定义域是 x∈(0, ∞),根据性质有如下命题成立: 1.a∈(0,1),且。∈(0,1),则log_ax>0; 2.a∈(0,1),且x∈(1, ∞),则 log_a<0; 3.a∈(1, ∞),且x∈(0,1),则 log_ax<0; 4.a∈(1, ∞),且x∈(1, ∞)测 log_ax>0. 以下所述可归纳为:底数a与真数x在可取值的相同区间中,其对数值为正,否则其值为负。这样一来,对某个对数式很快可判断其值的符号,因此,给某些对数式的比较带来方便。举例如下: 例1 比较下面两个值的大小:     

负相协随机变量的指数不等式

该文给出了一些负相协随机变量的指数不等式.这些不等式改进了由Jabbari和Azarnoosh^[4]及Oliveira^[7] 所得到的相应的结果.利用这些不等式对协方差系数为几何下降情形, 获得了强大数律的收敛速度为n^-1/2(log log n)^1/2(log n)^2.这个收敛速度接近独立随机变量的重对数律的收敛速度, 而Jabbari和Azarnoosh^[4]在上述情形下得到的收敛速度仅仅为n^-1/3(log n)^5/3.     

又一种比较对数大小的方法——函数单调法

又一种比较对数大小的方法———函数单调法甘大旺（武汉东西湖吴家山中学４３００４０）比较两个相差甚微且真数与底数均不相等的对数的大小，确实是高中数学教学的难点之一．文［１］、［２］分别探索了突破这一难点的不同方法，耐人寻味．本文再介绍一种方法———函数...     

高考题的解法探究及其变式

<正>2017全国卷Ⅰ第11题:设x,y,z为正数,且2~x=3~y=5~z,则().(A)2x<3y<5z(B)5z<2x<3y(C)3y<5z<2x(D)3y<2x<5z为了便于探讨问题的本质,兹将题目改编为一道解答题:设x,y,z为正数,且2~x=3~y=5~z,试比较2x,3y,5z的大小.由于涉及到指数,要解出这道题,对数运算是无法回避的.比较两数的大小关系,常用的方法有作差和作商两种,因此,有下面的两种解法.     

一种比较对数大小的新方法──析整显微法

一种比较对数大小的新方法──析整显微法陈友才（湖南省资兴矿务局一中４２３４０４）比较两个相关甚微且真数与底数均不相同的对数的大小，历来是高中数学的“难点”．由于常用的比较法、中间值法等对这类问题都难以奏效，因此通常不得不求助于某些“特法特技”（如文［...     

指数方程x~x=x的解法

現行高中代数課本第二册有这样一个指数方程 x~x=x,它的解是x=±1。問題是这样:解指数方程时,通例是利用取对数的方法;而在这題中,用这种方法必然会失去x=-1这一个解。有的人干脆叫学生去“观察”,这是很难說服学生的。我的解法如下: 1.假設x>0,那么,两边取对数,就得log x~x=log x,即 x log x=log x,移項 (x-1)log x=0,如果 x-1=0,那么x=1,如果 log x=0,那么x=1。 2.假設x<0(通常如果指数中含有未知数,习慣上我們总限制底数为正,但如将函数x~x之定义域适当限制,則仍可使x~x有意义——編者註)x=0显見不合原方程),令x=-y,那么y>0,原方程变为