巧用“a+b+c=0”妙解一类分式竞赛题

<正>在数学解题中,经常会碰到已知条件为a+b+c=0的分式求值竞赛的问题,这时若把此条件转化为一些有用的结论,在解题中灵活利用这些结论思考问题,往往能快速找到突破口,收到事半功倍之效,本文就此类问题的解法举例说明.     

运用“ab=0 a=0或b=0”时应注意之点

同学们常运用“ab=0a=0或b=0”原理解题,如解方程2x~2-5x 2=0(2x-1)(x-2)=02x-1=0或x-2=0方程的解为{1/2,2},即是两个“选择方程”解的并集。在这里,分别解两个“选择方程”时,似乎彼此不管,总是这样吗?试看下例: 解方程:①(2x~2-5x 2)(x-2)~0=0; ②(tgx 1)(arcsinx-π/3)=0, 解①由原方程得2x~2-5x 2=0或(x-2)~0=0。由第一个方程得x=1/2、2,第二个方程     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

命题:“若{x≥a,x≤a则x=a”的应用

<正>命题:"若x≥a x≤a,则x=a",体现了"相等"与"不等"的对立统一及其相互转化的关系.命题虽然十分简单,却在解答数学竞赛试题中发挥重要作用.本文举例介绍其应用.一、在求值中的应用例1(2013年全国初中数学联赛)已知实数a,b,c,d,满足:2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.分析与解答一方面,根据菲波那契恒等式和实数的平方是非负数可以得如下不等式:     

当a+b+c=0时

<正>经常会在一些竞赛题中看到当a+b+c=0时,求解分式或整式有关的计算、判断或证明.如果能对其有深入的了解,相信解题会方便不少.从条件a+b+c=0出发,可以推导出一些有用的结论,在解决与三个字母有关的运算或证明时非常有用.下面就结合例题,说说这几个重要的结论:     

满足a+ab=a+b的幂等半环的结构

本文讨论了满足a+ab=a+b的幂等半环的结构,给出这种幂等半环是左零半环的伪强右正规幂等半环,并得出这种幂等半环与环的直积是左环的伪强右正规幂等半环.     

定理〔a,b〕= ab/(a,b)的教学体会

在中等师范算术理论的教学中,有关最小公倍数的定理[a,b]=ab/(a,b)的教学确是一个难度较大的内容。课本对于定理采用格列本卡著《算术》的证法。这种证法抽象,它牵涉的概念多,运用的性质多,证明的步骤繁,其方法实难于使学生在短时间内接受。     

巧用{a≥0 a≤0解赛题

笛卡尔说:“我所解决的每一个问题都将成为一个范例,以用于解决其他问题”．我们知道,不等式组{a≥0 a≤0的解集为a=0,巧妙运用这一范例,可轻松解决一类竞赛题．     

若4ab=4a~2 9b~2且a、b为正数

不少的资料上都有这样一道题: 若4ab=4a~2 9b~2,且a、b为正数,求证lg(2a 3b)/r=1/2(lga lgb)。同时还给出了如下的解答。请同学们认真审查一下,看有没有错误,并指出错在哪里?然后再看答案。解法1 ∵4ab=4a~2 9b~2,∴4a~2 12ab 9b~2=16ab,即(2a十3b)~2=16ab。便有2a 3b=4ab~(1/2),从而有(2a 3b)/4=ab~(1/2),故得lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)。解法2 假定lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)成立     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

用“雪花”模型解竞赛题

1.问题设有一个边长为1的正三角形,记作A1,(如图1);将A1的每条边三等分,在中间的线段上向外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图2);将A2的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A3     

a2+ab+b2的变换技巧及其应用

二元二次式a2 ab b2结构整齐,轮换对称,在数学问题中颇为多见.从不同的角度对它进行思考、联想、变换,不仅能获得较好的解题思路和方法,而且对拓宽解题视野,提高解题能力大有好处.现就一些典型范例进行分析和说明.变换　a2 ab b2=a3-b3a-b(a≠b).例1　求sin220° cos250° sin20°cos50°的值.(1991年全国高考理科第22题)一般解法摆脱不了积化和差、和差化积的繁琐运算.应用上述变换式结合三倍角公式,使过程新颖简洁.解　原式=sin320°-cos350°sin20°-cos50°=(3sin20°-sin60°)-(3cos50° cos150°)4(sin20°-cos50°)=3(sin20°-cos50…     

以a+b+c=0为条件的求值题解析

在初中数学各种竞赛题中经常会见到以a+b+c=0为条件的求值题.笔者现举几例加以解析,以期使读者了解此类题的解题思路.     

证明“线段a=b+c”的基本思路

<正>在初中几何中,三条线段长分别为a,b,c,求证"a=b+c"的证明题是常见问题,尤其对于线段都不在同一直线的情形.本文针对这种情况给出三种基本思路,下面结合一道考试题进行说明.问题如图1,∠B=∠C=90°,AE平分∠DAB,DE平分∠ADC.求证:AD=AB+CD.由于线段AD、AB和CD相互分离,不在同一直线上,因此需要想方设法进行转化,有三种思路.一、将a一分为二此方法将较长线段AD分割成两部分,使     

定理[a,b]·(a,b)=ab的教学探讨

[a,b]·(a,b)=ab是《中师算理》课本中的定理11(P·97)。关于它的证明,由于涉及的概念、性质较多,其证明的思路往往不易为学生所接受。这个定理的教学,很有探讨的必要。武汉师院数学系主办的《中学数学》1983年第5期刊载了洪凰(?)同志关于这个定理的一个很简单的证明,现照录如下:     

满足a＋ab=a＋b幂等半环的结构

本讨论了满足a ab=a b的幂等半环的结构，给出了这种幂等半环是左零半环的伪强右正规幂等半环，并得出这种幂等半环与环的直积是左环的伪强右正规幂等半环。